弗协调多主体认知逻辑系统

弗协调多主体认知逻辑系统⁽¹⁾

郝旭东

本文将简述多主体认知逻辑的一些基本思想，然后在弗协调单主体认知逻辑的基础上，将弗协调逻辑的措施应用到有m（m≥1且m∈N）个主体认知逻辑中，从而建立一系列基本的弗协调多主体认知逻辑系统。

一、多主体认知逻辑思想简述

由于单主体认知逻辑不能满足科学快速发展的需要，于是多主体认知逻辑应运而生。多主体认知逻辑的命题，总是涉及两个以上的认知主体。我们把这种研究多个主体的认知命题形式及其规律的逻辑，称为多主体认知逻辑。在讨论多主体认知逻辑之前，有必要先来明确几个与“知道”的多样性相关的概念⁽²⁾。

在多主体逻辑中，主体之间相互知道是推理的重要依据，这也是主体将相互沟通的重要方式，我们把这种知道成为“互知”（Interaction Knowledge）。互知是指，一个认知主体不仅知道某一事态，而且知道他自己知道这一事态，以及知道其他认知主体也知道这一事态，并且其他主体也知道他们自己知道此事态。

在多主体认知逻辑推理中，有时各认知主体以他们都持有的知识为推理前提，我们称之为“共同知识”（Common Knowledge）。共同知识是指，一个命题是真并且一个群体的所有成员都知道该命题。共同知识总是相对于一定的群体来说的，并且总是有它自己的适用范围，我们称之为共同知识域。

与共同知识相关的是“公共知识”（Public Knowledge），它是经公共部门承认或某一群体约定的公共知识，群体的所有成员都有义务承认但并不一定为该群体每个成员实际上所确实知道的知识。

一个群体中每个主体分别持有的个别知识集中起来所推出的知识称为“协同知识”（Distributed Knowledge）。认知主体a知道A，而认知主体b知道A→C，那么尽管这两个认知主体都不是单独地知道C，但C仍是这个两人系统的协同知识。

多主体认知逻辑的语言主要是通过把认知主体的个体符从1扩展到m（m≥1，且m∈N），将单主体认知算子K_a和P_a分别扩展为认知算子K₁，…，Km和P₁，…，P_m（m≥1，且m∈N），并且增加多主体认知算子C（……为共同知识）、E（每个人都知道……）、D（……为协同知识）而得到的。由于算子C、E、D都可以通过算子K₁，…，K_m（m≥1，且m∈N）来定义得到，所以这些算子的语义赋值也可以通过算子K₁，…，Km的语义赋值而得到。

多主体认知逻辑的常用公理模式有的形似单主体，有的则包含多主体认知算子C、E、D。简约起见，以下在讨论弗协调多主体认知逻辑系统公理模式的时候，将不涉及认知算子C、E、D。与这些公理模式相关的弗协调多主体认知逻辑系统，将作为今后的研究内容加以补充。

下面，就开始着手建立弗协调的多主体认知逻辑。

二、弗协调多主体认知逻辑

1.弗协调多主体认知逻辑的语言

弗协调多主体认知逻辑的语言，是由弗协调命题逻辑C_n（1≤n＜ω）的语言L₀通过附加多主体认知算子而得到的。

弗协调多主体认知逻辑的初始符号如下：

（1）命题符：p₁，…，p_n，…，n为自然数；

（2）联结符：（否定），∧（合取），∨（析取），→（蕴涵）；

（3）认知符：K₁，…，K_m（认知），m∈N；

（4）标点符：）（右括号）和（（左括号）。

其中，K_iA的直观含义是“主体i认知A”，“认知”广义地代表“知道”、“相信”、“断定”等认知语词；P_iA＝_dfKA（强的K_i，P_i可将定义中的改为～），P_iA的“主体i认为A是可能的”。

把由全体符形成的集合记作Expr（）。

弗协调多主体认知逻辑的公式形成规则如下：

（1）单独的命题符是公式；

（2）若A是公式，则A是公式；

（3）若A和B都是公式，则（A∧B），（A∨B），（A→B）都是公式；

（4）若A是公式，i是认知个体变元，则K_iA是公式；

（5）A是公式，当且仅当，A是有穷次引用以上四条规则而得到的。

全体命题符构成的集合记作Atom（），并称之为原子公式；全体公式构成的集合记作Form（），并且Atom（）≤Form）。

2.弗协调多主体认知逻辑的语义

定义2.1　框架

一个关于m个主体的框架是一个多元组F＝（W，R₁，…，R_m）。其中，W是认知可能世界或状态w的集合；对于i＝1，…，m且m∈N，R_i是认知可能世界或状态W上的二元关系。

定义2.2　对于i＝1，…，m且m∈N，

①如果A w E w′（wR_iw′），则称R_i是持续的。

②如果A w（wR_iw），则称R_i是自返的。

③如果A w₁A w₂A w₃（w₁R_iw₂∧w₂R_iw₃→w₁R_iw₃），则称R_i是传递的。

④如果A w₁A w₂A w₃［w₁R_iw₂∧w₁R_iw₃→E w′∈W（w₂R_iw′∧w′R_iw₃）］，则称R_i是弱有向的。

定义2.3　对于i＝1，…，m且m∈N，

①一个框架是持续框架，iff，R_i是持续的。

②一个框架是自返框架，iff，R_i是自返的。

③一个框架是传递框架，iff，R_i是传递的。

④一个框架是弱有向框架，iff，R_i是弱有向的。

定义2.4　赋值

①V（A，w）＝0→V（A，w）＝1；

②V（A，w）＝1→V（A，w）＝1；

③V（B^（n），w）＝V（A→B，w）＝V（A→B，w）＝1→V（A，w）＝0；

④V（A→B，w）＝1→V（A，w）＝0或V（B，w）＝1；

⑤V（A∧B，w）＝1→V（A，w）＝1且V（B，w）＝1；

⑥V（A∨B，w）＝1→V（A，w）＝1或V（B，w）＝1；

⑦V（A（n），w）＝V（B^（n），w）＝1→［（AΔ₁B）^（n），w］＝［（Δ₂A）^（n），w］＝1，其中，Δ₁∈｛∧，∨，→｝，Δ₂∈｛K_i｝，i＝1，…，m且m∈N；

⑧V（K_iA，w）＝1→对于所有的i（i＝1，…，m且m∈N），使得w′∈W［wR_iw′→V（A，w′）＝1］。

定义2.5　模型

一个关于m个认知主体的模型就是由一个框架F和F上的一个赋值V组成的二元组M＝（F，V）。

①持续框架上的模型称为持续模型。

②自返框架上的模型称为自返模型。

③传递框架上的模型称为传递模型。

④弱有向框架上的模型称为弱有向模型。

定义2.6

设公式A∈Form（），称A在模型M＝（F，V）中为真，当且仅当，对任意的w∈W有V（A，w）＝1，记作MA；

②称A在框架（W，R₁，…，R_m）上有效，当且仅当，在框架（W，R₁，…，R_m）上的任意赋值V都有MA，记作（W，R₁，…，R_m）A或FA；

③令犉为任一框架类，称A在框架类上有效，当且仅当，对于任一F∈犉，A在F上有效，记作犉A；在由全体X-框架形成的类上有效的公式被称为X-有效的。

④令犕为一模型类，称A在模型类犕中为真，当且仅当，对于任一M∈犕，A在M中为真，记作犕A。

3.弗协调多主体认知逻辑诸系统

（1）弗协调多主体认知逻辑C_nE_mK（1≤n＜ω）

弗协调多主体认知逻辑C_nE_mK（1≤n＜ω）是在弗协调命题逻辑C_n（1≤n＜ω）的基础上，通过增加公理A（n）→（K_iA）^（n）（i＝1，…，m且m∈N）和多主体认知公理K_i（A→B）→（K_iA→K_iB）（i＝1，…，m且m∈N）得到的。

C_nE_mK（1≤n＜ω）的公理（模式）如下：

A1①A→（B）；

②（A→B）→［A→（B→C）→（A→C）］；

③A→（B∧B）；

④A∧B；

⑤A∧B→B；

⑥（A→C）→［（B→C）→（A∨B→C）］；

⑦A∨B；

⑧B∨B；

⑨A∨A；

⑩A；

⑪B^（n）→［（A→B）→（（A→B）→A）］；

⑫A（n）∧B^（n）→（A∧B）^（n）∧（A∨B）^（n）∧（A→B）^（n）；

A2①A（n）→（K_iA）^（n）（i＝1，…，m且m∈N）；

②K_i（A→B）→（K_iA→K_iB）（i＝1，…，m且m∈N）。

C_nE_mK（1≤n＜ω）的推理规则如下：

R1（分离规则）由A和A→B可推出B；

R2（认知概括规则）由A可推出K_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

定义2.7　（形式）可推演关系和证明

称公式A在C_nE_mK（1≤n＜ω）中是由Γ（形式）可推演的，记作Γ├C_nE_mKA，当且仅当，存在一个有穷的公式序列A₁，A₂，…，A_m使得Am＝A，并且对于任一的j（1≤j≤m），A_j满足下列条件之一：

①A_j是C_nE_mK（1≤n＜ω）的公理之一；或者

②A_j∈Γ；或者

③存在小于j的l和k使得A_j是从A_l和A_k（＝A_lj）利用R1得到；或者

④存在小于j的l使得A_j（＝K_iA_l）是从A_l利用R2得到的。

称公式A在C_nE_mK（1≤n＜ω）中是可证的，记作├C_nE_mKA，当且仅当，存在一个有穷公式序列A₁，A₂，…，A_m使得A_m＝A，并且对于任一的j（1≤j≤m），A_j满足下列条件之一：

①A_j是C_nE_mK（1≤n＜ω）的公理之一；或者

②存在小于j的l和k使得A_j是从A_l和A_k（＝A_lj）利用R1得到；或者

③存在小于j的l使得A_j（＝K_iA_l）是从A_l利用R2得到的。

在不引起混淆时，把Γ├C_nE_mKA简记为Γ├A；把├C_nE_mKA简记为├A。

由C_nE_mK（1≤n＜ω）的公理（模式）和形成规则可知，系统C_n（1≤n＜ω）是包含于C_nE_mK（1≤n＜ω）的子系统。因此，C_n-定理也都是C_nE_mK-定理。

定义2.8　C_n-变形

设A是任意公式，A的C_n-变形记作A′，是删去A中所有模态算子和认知算子后得到的公式。严格地讲，C_n-变形是公式到公式的映射：

①（A）′＝A′；

②（A∧B）′＝A′∧B′；

③（A∨B）′＝A′∨B′；

④（A→B）′＝A′→B′；

⑤（K_iA）′＝A′，（i＝1，…，m且m∈N）。

定理2.1　任一C_nE_mK-定理的C_n-变形都是C_n-定理。

证明：一个公式是C_nE_mK-定理，当且仅当，存在该公式的C_nE_mK-证明。施归纳于证明长度即可。

定理2.1也即是说，若A是C_nE_mK-定理，则A′是C_n-定理；若A′不是C_n-定理，则A不是C_nE_mK-定理。

定理2.2　在C_nE_mK（1≤n＜ω）中有：

①若A∈Γ，则Γ├A；

②若Γ├A且Γ≤Δ，则Δ├A；

③若Δ├A且Δ├A→B，则Δ├B；

④若Γ├A且Δ，A├B，则Γ，Δ├B；

⑤若Γ₁├A，Γ₂├A→B，并且Γ₁，Γ₂≤Δ，则Δ├B。

定理2.3　在C_nE_mK（1≤n＜ω）中有：

①若Γ₁├A，Γ₂├A→B，并且Γ₁，Γ₂≤Δ，则Δ├B。特别地，当Γ₁＝Φ时，有若├A，Γ₂├A→B，并且Γ₂≤Δ，则Γ₂├B；当Γ₂＝Φ时，有若Γ₁├A，├A→B，并且Γ₁Δ，则Γ₁├B；

②Γ├A₁₂，Γ├A₂₃，…，Γ├A_m－1m，→Γ├A_1m；

③Γ├A∧B→Γ├A并且Γ├B；

④Γ├A→Γ├A∨B并且Γ├B∨A；

⑤Γ，A├C并且Γ，B├C→Γ，A∨B├C；

⑥Γ，A├B^（n），且有Γ，A├B，Γ，A├B→Γ├A。

定理2.4　对于i＝1，…，m且m∈N，在C_nE_mK（1≤n＜ω）中有：

①├A→B→├K_iA→K_iB；├A→B→├P_iA→P_iB，（i＝1，…，m且m∈N）；

②├A→B→├K_iA→K_iB；├A→B→├P_iA→P_iB，（i＝1，…，m且m∈N）；

③├P_i～A→～K_iA，（i＝1，…，m且m∈N）；

④├K_iA∧K_iB→K_i（A∧B），（i＝1，…，m且m∈N）；

⑤├P_iA∨P_iB→P_i（A∨B），（i＝1，…，m且m∈N）；

⑥├K_iA∨K_iB→K_i（A∨B），（i＝1，…，m且m∈N）；

⑦├P_i（A∧B）→P_iA∧P_iB，（i＝1，…，m且m∈N）；

定理2.5　对于i＝1，…，m且m∈N，在C_nE_mK（1≤n＜ω）中有：

①├A→├K_iA；

②├A^（n）→├（K_iA）^（n）。

证明：

①的证明：

因为├A，那么存在一个有穷公式序列A₁，…，A_m使得A_m＝A；并且对于任一的j（1≤j≤m），A_j满足下列条件之一：

a.A_j是C_nE_mK（1≤n＜ω）的公理之一；或者

c.有小于j的l使得A_j是A_l利用R2得到的。

对A_m（＝A）使用R2，可得K_iA；因此，公式序列A₁，…，A_m，K_iA就是├K_iA的一个证明。

②的证明：

因为├A^（n），那么存在一个有穷公式序列A₁，…，A_m使得A_m＝A^（n）；并且对于任一的j（1≤j≤m），A_j满足下列条件之一：

a.A_j是C_nE_mK（1≤n＜ω）的公理之一；或者

b.有大于l和k的j使得A_j可以从A_l和A_k（A_k＝A_lj）利用R1；或者

c.有小于j的l使得A_j是A_l利用R2得到的。

由A_m（＝A^（n）），根据公理A2①，使用R1，可得（K_iA）^（n）；因此，公式序列A₁，…，A_m，（K_iA）^（n）就是├（K_iA）^（n）的一个证明。

定理2.6　对于i＝1，…，m且m∈N，在C_nE_mK（1≤n＜ω）中有：

①├K～A→K_iA；

②├A^（n）→（K_iA→P_i～A）；

③├K（A）^（n）→K_iA；

④├A^（n）→（K_iA→P_iA^（n））；

⑤├K_i（A∧B）→（K_iA∧K_iB）；

⑥├K_iA→～P_i～A；

⑦├K_i～A→～P_iA；

⑧├～P_i（A∧B）→（～P_iA∨～P_iB）；

⑨├P_i（A∨B）→（P_iA∨P_iB）。

推论2.1　对于i＝1，…，m且m∈N，以下公式不是C_nEK-定理：

①K（A∧A）　　②K（A∧A）→K_iB　　③K_iA∧KA→K_iB

④P（A∧A）⑤P（A∧A）→P_iB⑥P_iA∧PA→P_iB

证明：对以上公式做C_n-变形，使用拟真值表即可以验证以上公式都不是C₁-定理，因而它们也都不是C_n-定理，所以这些公式也就都不是C_nE_mK-定理。

定理2.7　C_nE_mK（1≤n＜ω）公理（模式）A1①—和A2①—②在任意框架上有效。

证明：首先，由定理2.1.12⁽³⁾，可得公理（模式）A1①—在任意框架上有效。下面验证公理A2①—②在任意框架上有效：

先验证公理A2①：A（n）→（K_iA）^（n），i＝1，…，m且m∈N。

当V（A^（n），w）＝0时，根据赋值定义2.4⑧，可得V［（K_iA）^（n），w］＝0；那么根据赋值定义2.4④，可得V［A^（n）→（K_iA）^（n），w］＝1。当V（A^（n），w）＝1时，根据赋值定义2.4⑧，可得V［（K_iA）^（n），w］＝1；那么根据赋值定义2.4④，可得V［A^（n）→（K_iA）^（n），w］＝1。所以，由w的任意性，根据定义2.6，可得公理A2①A^（n）→（K_iA）^（n）在任意框架上是有效的。

再验证公理A2②：K_i（A→B）→（K_iA→K_iB），i＝1，…，m且m∈N。

当V（A，w）＝0且V（B，w）＝0时，根据赋值定义2.4④，可得V（A→B，w）＝1；再根据赋值定义2.4⑧，可得V（K_iA，w）＝0且V（K_iB，w）＝0；因而，根据赋值定义2.4④，可得V（K_iA→K_iB，w）＝1；那么再根据赋值定义2.4④，可得V［K_i（A→B）→（K_iA→K_iB），w］＝1。同理可证，当V（A，w）＝0且V（B，w）＝1时，V（A，w）＝1且V（B，w）＝0时，V（A，w）＝1且V（B，w）＝1时，都有V［K_i（A→B）→（K_iA→K_iB），w］＝1。所以，由w的任意性，根据定义2.6，可得公理A2②K_i（A→B）→（K_iA→K_iB）在任意框架上是有效的。

定理2.8　对于i＝1，…，m且m∈N，令是一个框架类，则有：

①若A，A→B在上有效，则B在上有效。

②若A在上有效，则K_iA在上有效。

①的证明：

②的证明：

设A在上有效，令（W，R₁，…，R_m）是中的任一框架，V是该框架上的任一赋值。那么，对于任意一个w∈W，有V（A，w＝1）。因此，对任一个w′∈W，有wR_iw′→V（A，w′）＝1。因此就有对于i＝1，…，m，V（K_iA，w）＝1；由w的任意性可得（W，R₁，…，R_m）K_iA，再由（W，R₁，…，R_m）的任意性可得，对于i＝1，…，m有 K_iA，即，对于i＝1，…，m且m∈N，K_iA在上有效。

定理2.9　C_nE_mK（1≤n＜ω）是可靠的，即：

①若Γ├C_nE_mKA，则ΓC_nE_mKA；②若├C_nE_mKA，则C_nE_mKA。

证明：由于②是①当Γ＝Φ的特例，所以，仅证明①即可。由定理2.7和定理2.8，施归纳于证明长度可得。

定义2.9

①对任意公式集Γ≤Form（L^CnE_m0），Γ^＊＝｛A∈Form（L^CnE_m0）：Γ├A｝，若Γ^＊＝Γ，则称Γ演绎封闭的。

②称Γ为不足道的，当且仅当，Γ^＊＝Form（L^CnE_m0）；否则，称之为足道的。

③称一足道集Γ是极大的，当且仅当，对任意公式A，若A∈Γ，则Γ∪｛A｝是不足道的。

④称Γ是不协调的，当且仅当，有公式A使得Γ├A且Γ├A。

引理2.1　令Γ≤Form（）且A∈Form（），那么，

①如果有Γ├A∧～A，那么有Γ是不足道的；

②如果Γ是不足道的，那么存在公式A使得Γ├A∧～A；

③Γ├A，当且仅当，Γ∪｛～A｝是不足道的；

④如果Γ是极大足道的且A∈Γ，那么Γ∪｛A｝├A∧～A；

⑤如果Γ是极大足道的且A∈Γ，那么Γ∪｛A｝├A。

引理2.2　如果Γ是极大足道的，那么：

①Γ├A，当且仅当，A∈Γ；

②若A∈Γ，则～A∈Γ；若～A∈Γ，则A∈Γ；

③A∈Γ或～A∈Γ；

④若├A，则A∈Γ；

⑤若A，A^（n）∈Γ，则A∈Γ；若A，A^（n）∈Γ，则A∈Γ；

⑥若A∈Γ，A→B∈Γ，则B∈Γ；

⑦若A^（n）∈Γ，则A∈Γ或A∈Γ；

⑧若A^（n）∈Γ，则（A）^（n）∈Γ。

引理2.3　如果Γ是极大足道的，那么：

①A∈Γ→A∈Γ；

②A∈Γ→A∈Γ；

④A→B∈Γ∈Γ或B∈Γ；

⑤A∧B∈Γ∈Γ且B∈Γ；

⑥A∨B∈Γ∈Γ或B∈Γ；

⑦A^（n），B^（n）∈Γ→（A→B）^（n），（A∧B）^（n），（A∨B）^（n），（A）^（n），（K_iA）^（n）∈Γ。

引理2.4　（极大扩张引理）　每一个足道集都可以扩张成极大足道集。

引理2.5　Γ├A，当且仅当，A是maxΓ中任一极大足道集的元素，即，A X∈maxΓ（A∈X），也即，├A是任一个极大足道集的元素。

定义2.10　C_nE_mK（1≤n＜ω）的典范模型是M＊＝（W＊，，…，，），其中

W＊＝max；

XY→｛A∈Form）：K_iA∈X｝≤Y；

引理2.6　对每一个非负整数k，有：

①XR＊_iY→｛A∈Form）：K_iA∈X｝≤Y；

②XR^＊_iY→｛P_iA∈Form（）：A∈Y｝≤X。

证明：施归纳于k可证。

引理2.7　F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）是一个C_nE_mK-框架。

证明：该定义即是要证明任意框架都是C_nE_mK-框架。首先，分离规则和认知概括规则在任意框架上都是有效的；其次，C_n公理在任意框架上也都是有效的；再次，由定理2.7可得，对于i＝1，…，m且m∈N，公理A2①A^（n）→（K_iA）^（n）和公理A2②K_i（A→B）→（K_iA→K_iB）是在任一框架上是有效的。因此，任意框架都是C_nE_mK-框架。所以，F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）也是一个C_nE_mK-框架。

引理2.8　M＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m，V＊）是一个C_nE_mK-模型。

证明：由引理2.7可知，F^＊＝（W＊，R＊）是一个C_nEK-框架。引理2.3保证V＊满足赋值定义2.4的①—⑦。下面验证对于i＝1，…，m，V＊满足赋值定义2.4的⑧。首先，我们有：

V＊（K_iA，X）＝1

→K_iA∈X

（V＊的定义）

X′∈W＊（XR＊_iX′∈X′）（R＊_i的定义）

X′∈W＊［XR^＊_iX′→V^＊（A，X′）＝1］（V^＊的定义）

其次，假设A X′∈W＊［XR^＊_iX′→V^＊（A，X′）＝1］，根据V^＊的定义则有：

A X′∈W＊（XR＊_iX′∈X′）

→｛B：K_iA∈X｝├A（引理2.5）

→X中有K_iB₁，…，K_iB_k，使得

├B₁∧…∧B_k（形式可推演定义）

→X中有K_iB₁，…，K_iB_k，使得

├K_iB₁∧…∧K_iB_k→K_iA（定理2.4①）

已知K_iB₁，…，K_iB_k∈X，根据引理4.2.3（3）则有

K_iB₁∧…∧K_iB_k∈X

→K_iA∈X（引理2.2⑥）

→V^＊（K_iA，X）＝1（V＊的定义）

因此，V^＊满足赋值定义2.4的⑧。所以，M＊＝（W＊，R^＊，V^＊）是一个C_nE_mK-模型。

定理2.10　C_nE_mK是完全的，即：

①如果Γ├C_nE_mKA，那么ΓC_nE_mKA；②如果├C_nE_mKA，那么C_nE_mKA。

证明：若C_nE_mKA，设。根据极大扩张引理，则存在一个极大足道集w且A∈w；由于w∈W＊，所以V^＊（A，w）＝0；又因为（W＊，，…，）是C_nE_mK-框架，所以（W＊，

R₁^＊，…，R_m＊）_nm。这与前提不符，因此，假设错误。所以，若C_nE_mKA，则├C_nE_mKA。

（2）弗协调多主体认知逻辑C_nE_mD（1≤n＜ω）

C_nE_mD（1≤n＜ω）是在C_nE_mK（1≤n＜ω）的基础上，通过增加多主体认知公理K_iA→P_iA（i＝1，…，m且m∈N）得到的。

C_nE_mD（1≤n＜ω）的公理（模式）如下：

①C_nE_mK（1≤n＜ω）的全部公理（模式）；

②A3　K_iA→P_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

C_nE_mD（1≤n＜ω）的推理规则如下：

R1（分离规则）由A和A→B可推出B；

R2（认知概括规则）由A可推出K_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

由以上C_nE_mD（1≤n＜ω）的公理（模式）和推理规则可知，系统C_nE_mD（1≤n＜ω）是系统C_nE_mK（1≤n＜ω）的直接扩张。因而，C_nE_mK-定理也都是C_nE_mD-定理。

定理2.11　C_nE_mD（1≤n＜ω）是可靠的，即：

①若Γ├C_nE_mDA，则ΓC_nE_mDA；②若├C_nE_mDA，则C_nE_mDA。

证明：类似于定理4.2.9的证明，略。

引理2.9　F^＊＝（W＊，R^＊₁，…，R^＊_m）是一个C_nE_mD-框架。

证明：证F^＊是一个C_nE_mD-框架，也即是要证F^＊是一个持续框架，只需证F^＊满足：A X（X∈W＊）→E X′（XR＊_iX′），这等价于需证：A X（X∈W＊）→E X′（｛A：K_iA∈X｝≤X′）。

如果｛A：K_iA∈X｝是足道的，那么根据极大足道集扩张引理，它总是可以扩张为一个极大足道集。设该极大足道集为Γ，Γ属于极大足道集的集合max（即∈W＊），并且足道集｛A：K_iA∈X｝又总是属于Γ，所以就可以将Γ视为X′。因此，只需证明｛A：K_iA∈X｝是足道的。

下面，证明｛A：K_iA∈X｝是足道的。

给定前提X∈W＊和公式集｛A：K_iA∈X｝，假设｛A：K_iA∈X｝是不足道的，则

｛A：K_iA∈X｝中有公式集｛B₁，…，B_m｝

使得B₁∧…∧B_m├C∧～C　　　（引理2.1①）

→B₁∧…∧B_m├C且B₁∧…∧B_m├～C　　　（定理2.3③）

→├B₁∧…∧B_m→C且├B₁∧…∧B_m→～C　　　（演绎定理）

→├K_iB₁∧…∧K_iB_m→K_iC且├K_iB₁∧…∧K_iB_m→K_i～C　　　（定理2.4①）

再由前提｛K_iB₁，…，K_iB_m｝∈X，根据定理4.2.3（3），则有

K_iB₁∧…∧K_iB_m∈X

→K_iC∈X且K_i～C∈X　　　（引理2.2⑥）

→P_i～C∈X　　　（公理A3和引理2.2⑥）

→～K_iC∈X　　　（定理2.4③）

因为X中同时有公式K_iC和公式～K_iC，根据引理2.1①可得，X是不足道的，即X∈W＊，而X∈W＊是给定的前提。因此，假设错误。于是，｛A：K_iA∈X｝是足道的。所以，F^＊是一个持续框架，即，F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）是一个C_nE_mD-框架。

引理2.10　M＊＝（W＊，R^＊₁，…，R^＊_m，V^＊）是一个C_nE_mD-模型。

证明：由引理2.9可知，F^＊＝（W＊，R^＊）是一个C_nE_mD-框架；又由引理2.8可知V＊满足赋值定义2.4的①—⑧。所以，M＊是一个C_nE_mD-模型。

定理2.12　C_nE_mD（1≤n＜ω）是完全的，即：

①如果Γ├C_nE_mDA，那么ΓC_nE_mDA；②如果├C_nE_mDA，那么C_nE_mDA。

证明：若C_nE_mDA，设。那么，根据极大扩张引理，则存在一个极大足道集w且A∈w；由于w∈W＊，所以V^＊（A，w）＝0；又因为（W＊，R^＊）是C_nE_mD-框架，所以

（W＊，R^＊）。因此，假设错误。所以，若C_nE_mDA，则├C_nE_mDA。

定理2.13　公理A3不是C_nE_mK-定理。

证明：我们构造一个具体的模型（W，R₁，…，R_m，V）使用反模型的方法，来证明它是C_nEK-模型，并且它是公理A3的反模型。

设（W，R₁，…，R_m，V）是一个多元组，其中W是认知可能世界集，R_i空集，V是任一赋值。由模型定义可知，（W，R_i，V）是一个模型。根据C_nE_mK-引理2.6可知，任一模型也都是C_nE_mK-模型，所以此模型也是C_nE_mK-模型。下面证明它又是K_iA→P_iA（i＝1，…，m且m∈N）的反模型。

由R空集可知，不存在w′∈W使得wR_iw′，根据赋值定义2.4⑧则有，对任一V都有V（K_iA，w）＝1。有根据P_i定义和赋值定义2.4⑧可知，P_iA在w上总是为假，即，对任一V都有V（P_iA，w）＝0。因此，对任意的V有V（K_iA→P_iA，w）＝0。所以，公理A3在该模上非有效。所以，公理A3也不是C_nE_mK的定理。

定理2.14　系统C_nE_mD（1≤n＜ω）是C_nE_mK（1≤n＜ω）的真扩张。

证明：由定理2.13和真扩张的定义可得。

（3）弗协调多主体认知逻辑C_nE_mT（1≤n＜ω）

C_nE_mT（1≤n＜ω）的公理（模式）如下：

①C_nE_mK（1≤n＜ω）的全部公理（模式）；

②A4　K_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

C_nE_mT（1≤n＜ω）的推理规则如下：

R1（分离规则）由A和A→B可推出B；

R2（认知概括规则）由A可推出K_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

由以上C_nE_mT（1≤n＜ω）的公理（模式）和推理规则可知，系统C_nE_mT（1≤n＜ω）是系统C_nE_mD（1≤n＜ω）的直接扩张。因而，C_nE_mK-定理和C_nE_mD-定理也都是C_nE_mT-定理。

定理2.15　C_nE_mT（1≤n＜ω）是可靠的，即：

①若Γ├C_nE_mTA，则ΓC_nE_mTA；②若├C_nE_mTA，则C_nE_mTA。

证明：类似于定理2.9的证明，略。

引理2.11　F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）是一个C_nE_mT-框架。

证明：证F^＊是一个C_nE_mT-框架，也即是要证F^＊是一个自返框架，只需证F^＊满足：A X∈W＊（XR＊_iX），这等价于需证：A X∈W＊（｛A：K_iA∈X｝≤X）。

给定前提X∈W＊和公式集｛A：K_iA∈X｝，设任意公式B∈｛A：K_iA∈X｝，根据定理2.2①，可得｛A：K_iA∈X｝├B；再根据定理2.5①，可得｛A：K_iA∈X｝├K_iB，于是可得K_iB∈X；由公理A4，可得├K_iB→B；所以根据引理2.2⑥，可得B∈X；因为B的任意性，因此｛A：K_iA∈X｝≤X。所以，F^＊是一个自返框架，即，F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）是一个C_nE_mT-框架。

引理2.12　M＊＝（W＊，R^＊₁，…，R^＊_m，V＊）是一个C_nE_mT-模型。

证明：由引理2.11可知，F^＊＝（W＊，R^＊）是一个C_nE_mT-框架；又由引理2.8可知V＊满足赋值定义2.4的①—⑧。所以，M＊是一个C_nE_mT-模型。

定理2.16　C_nE_mT是完全的，即：

①如果Γ├C_nE_mTA，那么ΓC_nE_mTA；②如果├C_nE_mTA，那么C_nE_mTA。

证明：设C_nE_mTA，也即，A是C_nE_mT有效的，则有

在任意一个C_nE_mT-框架上有效　　　（框架类有效定义）

在任意一个C_nE_mT-模型上有效　　　（模型类为真定义）

在M＊中为真　　　（M＊是C_nE_mT-模型）

X∈max［V^＊（A，X）＝1］　　　（模型为真定义）

X∈max（A∈X）　　　（V＊的定义）

→├C_nE_mTA　　　（引理2.5）

定理2.17　公理A4不是C_nE_mK-定理。

证明：类似于定理2.13的证明，只需构造一个具体的模型（W，R₁，…，R_m，V）使用反模型的方法，就可以证明它是C_nE_mD-模型，并且它是公理A4的反模型。

定理2.18　系统C_nE_mT（1≤n＜ω）是C_nE_mK（1≤n＜ω）的真扩张。

证明：由定理4.2.17和真扩张的定义可得。

（4）弗协调多主体认知逻辑C_nE_m4（1≤n＜ω）

C_nE_m4（1≤n＜ω）是在C_nE_mT（1≤n＜ω）的基础上，通过增加多主体认知公理（A5）K_iA→K_iK_iA（i＝1，…，m且m∈N）而得到的。

C_nE_m4（1≤n＜ω）的公理（模式）如下：

①C_nE_mT（1≤n＜ω）的全部公理（模式）；

②A5　K_iA→K_iK_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

C_nE_m4（1≤n＜ω）的推理规则如下：

R1（分离规则）由A和A→B可推出├B；

R2（认知概括规则）由A可推出K_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

由以上C_nE_mT（1≤n＜ω）的公理（模式）和推理规则可知，系统C_nE_m4（1≤n＜ω）是系统C_nE_mT（1≤n＜ω）的直接扩张。因而，C_nE_mK-定理和C_nE_mT-定理也都是C_nE_m4-定理。

定理2.19　C_nE_m4（1≤n＜ω）是可靠的，即：

①若Γ├C_nE_m4A，则ΓC_nE_m4A；②若├C_nE_m4A，则C_nE_m4A。

证明：类似于定理2.9的证明，略。

引理2.13　F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）是一个C_nE_m4-框架。

证明：证F^＊是一个C_nE_m4-框架，也就是证明F^＊是一个传递框架，只需证F^＊满足：A X₁A X₂A X₃∈W＊（X₁R＊_iX₂∧X₂R＊_iX₃→X₁R＊_iX₃）。这等价于需证：对于A X₁A X₂A X₃∈W＊，有：（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₂）且（｛A：K_iA∈X₂｝≤X₃）→（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₃）。

给定前提A X₁A X₂A X₃∈W＊及（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₂）且（｛A：K_iA∈X₂｝≤X₃），设任意公式K_iA∈X₁，根据公理A5，可得├K_iA→K_iK_iA；那么根据引理2.2⑥，可得K_iK_iA∈X₁；由X₁R^＊_iX₂，可得K_iA∈X₂；再由X₂R^＊_iX₃，可得K_iA∈X₃；因此，A X₁A X₂A X₃∈W＊（X₁R＊_iX₂∧X₂R＊_iX₃→X₁R＊_iX₃），所以，F^＊是一个传递框架，即，F^＊是一个C_nE_m4-框架。

引理2.14　M＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m，V＊）是一个C_nE_m4-模型。

证明：由引理2.13可知，F^＊＝（W＊，R＊）是一个C_nE_m4-框架；又由引理2.8可知

V＊满足赋值定义2.4的①—⑧。所以，M＊是一个C_nE_m4-模型。

定理2.20　C_nE_m4（1≤n＜ω）是完全的，即：

①如果，那么；②如果├C_nE_m4A，那么C_nE_m4A。

证明：若，设。那么，根据极大扩张引理，则存在一个极大足道集w且A∈w；由于w∈W＊，所以V＊（A，w）＝0；又因为（W＊，R＊）是C_nE_m4-框架，所以（W＊，

R＊）├。因此，假设错误。所以，若C_nE_m4A，则├C_nE_m4A。

定理2.21　公理A5不是C_nE_m4-定理。

证明：类似于定理2.13的证明，只需构造一个具体的模型（W，R₁，…，R_m，V）使用反模型的方法，就可以证明它是C_nE_mT-模型，并且它是公理A5的反模型。

定理2.22　系统C_nE_m4（1≤n＜ω）是C_nE_mT（1≤n＜ω）的真扩张。

证明：由定理2.21和真扩张的定义可得。

（5）弗协调多主体认知逻辑C_nE_m4G（1≤n＜ω）

C_nE_m4G（1≤n＜ω）是在C_nE_m4（1≤n＜ω）的基础上，通过增加多主体认知公理（A6）P_iK_iA→K_iP_iA（i＝1，…，m且m∈N）而得到的。

C_nE_m4G（1≤n＜ω）的公理（模式）如下：

①C_nE_m4（1≤n＜ω）的全部公理（模式）；

②A6　P_iK_iA→K_iP_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

C_nE4（1≤n＜ω）的推理规则如下：

R1（分离规则）　由A和A→B可推出├B；

R2（认知概括规则）　由A可推出K_iA（i＝1，…，m且m∈N）。

由以上C_nE_m4G（1≤n＜ω）的公理（模式）模式和推理规则可知，系统C_nE_m4G（1≤n＜ω）是系统C_nE_m4（1≤n＜ω）的直接扩张。因而，C_nE_mK-定理、C_nE_mT-定理和C_nE_m4-定理也都是C_nE_m4G-定理。

定理2.23　C_nE_m4G（1≤n＜ω）是可靠的，即：

①若Γ├C_nE_mGA，则ΓC_nE_mGA；②若├C_nE_mGA，则C_nE_mGA。

证明：类似于定理2.9的证明，略。

引理2.15　F^＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m）是一个C_nE_m4G-框架。

证明：证F^＊是一个C_nE_m4G-框架，也即是要证F^＊是一个弱有向框架，只需证F^＊满足：A X₁A X₂A X₃∈W＊（X₁R＊_iX₂∧X₁R＊_iX₃）→E X′∈W＊（X₂R＊_iX′∧X′R＊_iX₃）这等价于需证，对于A X₁A X₂A X₃∈W＊有：

X₁R＊_iX₂∧X₁R＊_iX₃→E X′∈W＊（X₂R＊_iX′∧X′R＊_iX₃）

→（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₂）∧（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₃）→

E X′∈W＊（｛A：K_iA∈X₂｝≤X′）∧（｛A：K_iA∈X′｝≤X₃）

→（｛P_iA：A∈X₂｝≤X₁）∧（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₃）→

E X′∈W＊（｛A：K_iA∈X₂｝≤X′）∧（｛P_iA：A∈X₃｝≤X′）

→（｛P_iA：A∈X₂｝≤X₁）∧（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₃）→

E X′∈W＊（｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝≤X′）

如果可以证明公式集｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝是足道的，那么根据极大足道集扩张引理，就总是可以将公式集｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝扩张成为一个极大足道集Γ，Γ属于极大足道集的集合max（即∈W＊），且足道集｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝又总是属于Γ的，所以就可以将Γ视为X′，也即这样的X′总是存在的。所以，为证F^＊是一个弱有向框架，只需证公式集｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝是足道的。

假设X₁R＊_iX₂∧X₁R＊_iX₃，也即假设了（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₂）∧（｛A：K_iA∈X₁｝≤X₃），也即假设了（｛P_iA：A∈X₂｝≤X₁）∧（｛A：K_iA∈X₁｝）≤X₃。使用反证法，假设公式集｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝是不足道的，也即假设了在公式集｛A：K_iA∈X₂｝中有B₁，…，B_j且在公式集｛P_iA：A∈X₃｝中有C₁，…，C_k使得├～（B₁∧…∧B_j∧C₁∧…∧C_k），这等价于├B₁∧…∧B_j→～（C₁∧…∧C_k）。

因此，根据定理2.4①，可得├K_iB₁∧…∧K_iB_j→K_i～（C₁∧…∧C_k）；由K_iB₁，…，K_iB_j∈X₂，可得K_iB₁∧…∧K_iB_j∈X₂；根据引理2.2⑥，就可得K_i～（C₁∧…∧C_k）∈X₂。

那么由假定｛P_iA：A∈X₂｝≤X₁，可得P_iK_i～（C₁∧…∧C_k）∈X₁；由公理A6，根据引理2.2⑥，可得K_iP_i～（C₁∧…∧C_k）∈X₁；再由假定｛P_iA：A∈X₃｝，可得P_i～（C₁∧…∧C_k）∈X₃，即，～K_i（C₁∧…∧C_k）∈X₃；但是，K_i（C₁∧…∧C_k）∈X₃。根据引理2.2②，这是不可能的。

所以，假设公式集｛A：K_iA∈X₂｝∪｛P_iA：A∈X₃｝不足道是不成立的。因此，F^＊是一个弱有向性框架。也即，F^＊是一个C_nE_m4G-框架。

引理2.16　M＊＝（W＊，R＊₁，…，R＊_m，V＊）是一个C_nE_m4G-模型。

证明：由引理2.15可知，F^＊＝（W＊，R＊）是一个C_nE_m4G-框架；又由引理2.8可知V^＊满足赋值定义2.4的①—⑧。所以，M＊是一个C_nE_m4G-模型。

定理2.24　C_nE_m4G（1≤n＜ω）是完全的，即：

①如果Γ├C_nE_m4GA，那么ΓC_nE_m4GA；②如果├C_nE_m4GA，那么C_nE_m4GA。

证明：设CnEm4GA，也即，A是C_nE_m4G有效的，则有

在任意一个C_nE_m4G-框架上有效　　　（框架类有效定义）

在任意一个C_nE_m4G-模型上有效　　　（模型类为真定义）

在M＊中为真　　　（M＊是C_nE_m4G-模型）

X∈max［V＊（A，X）＝1］　　　（模型为真定义）

X∈max（A∈X）　　　（V^＊的定义）

→├C_nE_m4GA　　　（引理2.5）

定理2.25　公理A6不是C_nE_m4G-定理。

证明：类似于定理2.13的证明，只需构造一个具体的模型（W，R₁，…，R_m，V）使用反模型的方法，就可以证明它是C_nE_m4-模型，并且它是公理A6的反模型。

定理2.26　系统C_nE_m4G（1≤n＜ω）是C_nE_m4（1≤n＜ω）的真扩张。

证明：由定理2.25和真扩张的定义可得。

参考文献

［1］冯棉：《可能世界与逻辑研究》，华东师范大学出版社1996年版。

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［5］Li Na，Hao Xu-dong：A Paraconsistent Epistemic Logic System C_nEK，《南京大学学报》（数学半年刊）2007年1月。

［6］郝旭东、李娜：《弗协调单主体认知逻辑系统C_nEK及其扩张》，《重庆工业学院学报》（社会科学版）2009年第2期.

［7］Gabby，D.and Guenthner，F.：Handbookof Philosophical Logic，Second Edi-tion，Boston：Kluwer Academic Publishers，2002，Volume 6：287—394.

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［9］N.C.A.da Cosda，O.Bueno，and A.G.Volkov：Outlines on a paraconsistent category theory，In P.Weingartner（ed.），Alternative Logics：do sciences need them？Springer，2004.pp.95—114.

（作者单位：华东师范大学哲学系）

【注释】

(1)本文由华东师范大学冯契基金和上海高校选拔培养优秀青年教师科研基金项目（79301601）资助完成。

(2)参见弓肇祥：《认知逻辑新发展》，北京大学出版社2004年版，第152—154页。

(3)郝旭东、李娜：《弗协调单主体认知逻辑系统C_nEK及其扩张》，《重庆工业学院学报》（社会科学版）2009年第2期.