全要素生产率测算方法

一般在测算全要素生产率时是将产量的增长率分成要素投入的增长率和全要素投入的增长率两部分，即：

其中，TFP为全要素增长率，sn为要素投入的份额（权数），为要素投入的增长率。因此，如何正确测算总产出与总要素投入量的变动以及如何对总产出的变动进行正确的分解关系到对全要素生产率的正确测算。

全要素生产率的测算通常有两种方法：一种是参数方法，另一种是非参数方法。参数方法通常是先估计一个生产函数，并且对该生产函数中误差项目的复合结构及其分布形式进行考虑，然后根据误差项的分布假设不同，采用不同方法来估计生产函数中的各个参数。比较而言，人们在实践中更倾向于使用参数方法来测算生产效率。

常用的生产函数形式一般有以下几种：

（1）C-D生产函数，在两投入要素下，其形式为：

（2）超越对数（trans-logarithm）生产函数，即：

（3）两要素的常替代弹性（CES: constant Elasticity of Substitution）生产函数也可以用来测算TFP的增长，其基本形式为：

参数方法主要有索洛余值法和乔根森的指数法。

索洛余值法是以索洛增长模型为基础，在确定各投入要素的产出弹性之后，进而测算出全要素生产率。这种方法首先要设定一个规模报酬不变，并且技术进步为希克斯中性的生产函数：

其中A （t）为技术效率参数，用来度量在给定的资本和劳动下生产函数的变化，常常被等同于技术的变化，是一个较通用的指标，用来表示每单位投入的产出。

索洛没有设定生产函数的具体形式，一般可根据实际问题选取满足上述条件的生产函数。对生产函数式两边关于t取全微分，并除以Y可得

其中，为资本和劳动的产出弹性，分别表示资本收入和劳动收入的份额。式中变量上的“·”表示对时间的导数。分别表示产出、技术进步、资本投入和劳动投入的增长率，可分别记作：gY，gA，gK，gL，则（6-2）式写为：

（6-3）式也就是索罗的经济增长模型。进而可得：

这个“索洛剩余”涵盖了很多的内容，比如规模因素的作用、制度因素的作用、组织创新的作用等，还有一些测量误差，省略的变量等。但技术变化是“索洛剩余”的重要源泉，因此人们常把“索洛剩余”等同于TFP的增长率。虽然用索洛余值法测算全要素生产率也有一定的缺陷，但无疑它是到目前为止测算全要素生产率的一种较好的方法。因此在我国对技术进步在经济增长中贡献的测算中这种方法被大量采用。

若人们在研究TFP的增长时采用的是C-D生产函数，那么在两投入要素下，其形式为：

对上式两边同时取对数，则变为：

通过计量方法可以估计其中的参数。用该函数测算TFP增长的具体算式为：

在规模报酬不变的情况下，即α+β=1，则TFP的增长率可以写为：

其中，y = Y/L，k = K/L 。

在实际运用时，一般假定C-D生产函数含有时间参数，即

两边同时取对数，则变为：

一般通过对实际的时间序列数据进行计量回归，可以得到各个参数的估计值。若人们在研究TFP的增长时采用的是超越对数（trans-logarithm）生产函数，即：

当αKK = αKL=-αKL及规模收益不变时，上式变为：

该函数的资本和劳动的产出弹性分别为：

且

当αKK=αKL=αLL=0时，超越对数生产函数就简化为C-D生产函数。含时间参数的超越对数生产函数为：

在规模报酬不变的假定条件下，超越对数生产函数可以改写成集约形式：

含时间参数的更一般形式的超越对数生产函数为：

很直观地可以看出，这种形式函数的TFP增长率为：

若采用的是两要素的常替代弹性（CES : constant Elasticity of Substitution）生产函数也可以用来测算TFP的增长，其基本形式为：

式中A表示效率系数；δ为分配系数，0＜δ＜1； ρ为替代系数，-1 ≤ρ ＜∞ ； μ为反映规模报酬的参数。该生产函数的要素替代弹性为σ=1/（1 +ρ）。

当ρ = ∞时，σ=0，投入要素之间完全不可替代，CES函数趋近于固定比例生产函数（又称投入产出生产函数或Leotief生产函数）：Y=Amin［αK，βL］。

当ρ=-1时，σ=∞，CES生产函数变为线性函数：Y = A［δK + （1-δ）L］。

当ρ =0时，CES生产函数趋近于C-D生产函数形式：Y = AKδL1-δ。对CES生产函数取对数，并在ρ=0处作台劳级数展开，取关于ρ的线性部分可得：

这便是假定αKK = αKL=-αKL且不含时间参数的超越对数生产函数。以lnY为因变量，以lnK，lnL和［lnK/L］2为自变量，应用计量经济学的方法就可以估计上式中的各项参数A、 ρ、 δ和μ。对上式取微分，可得TFP增长率的表达式为：

另一种参数方法就是乔根森的方法，他将生产率增长的度量细化到了部门的层次，并在部门和总量两个增次上来度量经济的增长。而且把资本和劳动投入的增长分解为了数量增长和质量增长。

其中，分别为产出、中间投入的价格，资本投入的服务租赁价格和劳动投入的价格。并且等于产出对该投入的弹性，即：

部门TFP增长率是当中间投入、资本和劳动投入不变时，产出对时间的增长率。对于离散的数据，在相邻两年t和t-1间，各部门TFP增长率是产出增长率和中间投入、资本和劳动投入增长率的加权和之间的差：

（6-6）中的权数是期间部门中间投入、资本和劳动投入占部门产出值份额的平均值：

当X =0时，即不考虑中间投入，则部门生产函数就转换为总量增加值Y的生产函数：

Y = f（K，L，t）

对于离散的数据样本，假定生产函数为超越对数形式，则TFP的增长率为：

式中L即为相应资本和劳动投入的平均份额：

对于n年短周期间总量TFP的年平均增长率t也可利用下述公式计算：

假设资本和劳动投入K和L的总量是由各自的组成元素相加而得，即：

KK是p种资本中的第k种子类，Ll是q种劳动投入中投入的第l种劳动。假定各种资本和劳动投入是可分离的，且每个产业部门的产出具有规模收益不变的特性。则各种子类资本和劳动投入在相应总量中的份额分别为：

式中PKkPLl是各子类资本和劳动投入的价格。并且各种子类投入占相应总量的份额等于总量对该种投入的弹性。若总量的资本和劳动是其各种组元的超越对数函数，相邻两年间，K和L投入增长率为：

式中的权数是相邻两年每种组成元素的费用占部门中间投入费用份额的平均值：

第三种参数方法就是随机边界法（Stochastic frontiers），随机边界模型是由Aigner、 Lovell和Schmidt于1977年各自独立提出的。很多研究用该模型测算了主要一些因素对技术效率的影响。这个模型允许技术无效和对测度产出的随机扰动，Kumbhakar和Lovell （2000）的模型较有代表性，他们的模型是如下给出的：

其中，Yt是国家i=1，2，…，I某一特殊工业的产出，xi是由n种由国家i的投入组成的向量，f （xi，β）是生产边界，β是一个待估计的技术参数向量。TEi是国家i工业部门的技术效率。可观察到的产量的比例

?

决定了最大可能的产出。当且仅当TEi = 1时，Yi达到它最大的可能值。

将每一个国家的特定的随机扰动合并到一个生产函数中就得到了随机生产边界模型。将（6-7）式改写成如下形式：

其中f（xi，β）· exp ｛vi｝是随机生产边界。随机生产边界由以下两部分组成：确定的部分是f（xi ，β），对每一个国家都是相同的，另一个是国家特定的部分exp ｛ vi ｝，它度量了每一个国家的随机扰动的影响。由随机生产边界得到：

（6-8）式就是可观测产出和最大可能产出比的技术效率。在使用生产边界法时一般使用两步法，第一步是估计生产函数用来计算技术无效，第二步是根据众多的解释变量和附加的随机误差来确定一个回归模型来预测技术无效。在第二步中一般使用OLS法来估计参数。

在非参数方法中主要有：数据包络分析（DEA）方法和Malmquist指数方法。数据包络分析法（DEA）已在前一章做了详细介绍。Malmquist指数方法基于数据包络分析（DEA）方法而提出。主要用来对一国或某一地区的全要素生产率的变化进行测度和分解。这种生产率指数有两个主要的优点：第一，它不需要相关的价格信息。第二，是其可以分解为生产效率变化和技术进步变化两个部分，这样，我们就可以从中测算出效率和技术的变动情况。

Malmquist指数方法的基本思路如下：在规模报酬不变的假设下，令，

其中，表示第i个地区在时期t包括资本K和劳动L的投入向量，表示产出Y。令和分别表示以t时期的技术Tt为参照的、时期t和时期t+1生产点的距离函数。从t时期到t+1时期，以技术Tt为参照的时期到时期的Malmquist数量指数为：

类似地，以t+1时期技术Tt+1为参照的t时期到t+1时期的Malmquist数量指数为：

因此，从t时期到t+1时期TFP增长率测度的Malmquist指数可以表示成：

进一步，它可以变换成如下形式：

第一部分就是从t到t+1期产出效率的变化，离生产前沿距离的变化；而第二部分就是从t到t+1期技术的变化率。

由度量TFP增长率测度的Malmquist指数可知，当＞1时，说明从t时期到t+1时期TFP为正增长，若小于零，则为负增长；若等于零，则TFP无变化，如图6-1。

图6-1　产出角度的Malmquist生产率指数

在实际应用时，需要计算出投入和产出的各种距离函数，而这些距离函数就要通过解第i个地区DEA的问题来完成：

其中，r，s是时期。

然后，再用。这样就可以把距离函数的运算与DEA模型C2R结合起来，得到最后结果。

参数方法的最大优点是通过估计生产函数对个体的生产过程进行描述，从而使对全要素生产率估计得到控制。非参数方法与参数方法相比的优点是不需要设定具体的函数形式，从而避免因错误的生产函数而带来的问题。