微观经济学基础

但他在大学时代就察觉到，数学会为现代经济学带来革命。他持续研究数学，到现在还记得第一次看到拉格朗日乘子的情景……

——萨缪尔森，《我成为经济学者的演化之路》（1985）

公共支出的理论建立在微观经济学基础之上。我们假定读者已经具备了中级水平的微观经济理论知识，本章的任务是对与公共支出理论有关的一些微观经济学基础知识进行简要回顾和梳理，以帮助读者更好地进入公共支出的研究领域。因为是基础（foundation），所以本章的语言相当数学化（2.5节除外，这一节采用了几何分析）。对于想要全面学习中高级微观经济学的读者，我们建议使用专门的教材。

微观经济学的研究内容主要由消费者行为（需求）、生产者行为（供给）和市场均衡三个部分构成，下面我们就分别从这三个方面进行考察。

2.1 消费者行为

2.1.1 偏好

为了分析消费者行为，我们首先需要描述消费者的偏好（preference）。经济学对于消费者偏好做出了一些基本的假定，主要包括：

（一）完备性（completeness）

完备性定义：给定消费空间里任何一对消费组合x和y，下列三者关系之一必成立：或者xy，或者yx，或者x～y。

完备性意味着，消费者总可以在两组消费组合中做出明确的判断。

（二）传递性（transitivity）

传递性定义：给定三组消费组合x、y和z，如果x—~y且y—~z，则蕴含着x—~z；如果x～y且y～z，则蕴含着x～z。

传递性是说，如果消费者认为x比y好，y又比z好，那么，他一定认为x比z好。也就是消费者的选择一定是保持一致的，不会自相矛盾。

完备性和传递性是关于消费者偏好的两个最基本的公理性假定。如果一个消费者的偏好同时满足完备性和传递性，那么他的偏好就是理性的。

考虑一个幼儿园老师的偏好，她喜欢又聪明又漂亮的小孩子，那么她的偏好是理性的么？答案是否定的，因为她的偏好虽然符合传递性，却违反了完备性。

接下来再介绍几个比较重要的关于偏好的基本假定。

（三）连续性（continuity）

连续性定义：给定消费空间里的一个成对序列{xn，yn}∞n=1，如果对任意有限的n，xn—~yn均成立，且当n→∞时，xn→x，yn→y，则x—~y。

连续性的含义是，消费者的偏好不会发生突然的跳跃或逆转。我们可以举一个违背连续性的例子。考虑词典式偏好，也就是消费者在比较两个消费组合时，总是先比较两个组合中第一种商品的数量（即第一个元素）而不管其他商品（即其他元素）的数量多少，只有当两个组合的第一种商品数量相等时，才会比较第二种商品的数量，以此类推。这种偏好与词典的排序类似，故此得名。显然，词典式偏好是理性的，但它不是连续的。假定具有词典式偏好的消费者面临两个消费组合的序列，xn=（1/n，0），yn=（0，1）。对于任意有限的n，均有xnyn，然而当n→∞时，两个序列的极限分别是x=（0，0），y=（0，1），这时yx，偏好发生了逆转。

（四）单调性（monotonicity）

单调性定义：以x=（x1，x2，…，xL）和y=（y1，y2，…，yL）表示两个消费组合，如果对所有的j=1，2，…，L，都有xj≥yj，且其中至少存在一个k使得xk>yk，则xy。（严格而言，这是强单调性的定义。）

单调性意味着消费者是永不满足的，她总是希望“越多越好”，即在其他条件都不变的前提下，某种商品数量越多，她的满意程度也就越高。

（五）凸性（convexity）

凸性定义：如果x～y，z=αx+（1-α）y，其中0≤a≤1，则z—~x。用文字表示，就是如果消费者认为x和y是无差异的，而z是x和y的线性组合，那么，他一定认为z至少和x一样好。

凸性偏好的意思是说，消费者喜欢多样化消费。

2.1.2 效用函数与无差异曲线

直接利用偏好排序来分析经济问题不太方便，我们还需要引入效用函数来刻画消费者的偏好关系。

并不是所有的偏好关系都存在效用函数，但可以证明，如果消费者的偏好是理性的（完备的和传递的），连续的，那么就一定存在一个能代表该偏好的连续效用函数u：RL+→R。其中，L表示消费空间的维度，也就是商品的种类，除非做特别说明，我们总是假定L=2，即消费者消费x1和x2两种商品。我们还假定偏好是单调的和凸的，则效用函数u是单调递增和拟凹的（拟凹函数等价于函数上等值集为凸集。可以证明，所有凹函数都是拟凹函数，但反之并不成立。）。

给定上述假定，我们还能够得到一组形状良好的无差异曲线，消费者的无差异曲线是一组向下倾斜和凸向原点的曲线，离原点越远，其代表的效用水平越高（关于偏好与效用函数的进一步讨论，参见：马斯-克莱尔等.微观经济学.北京：中国社会科学出版社，2001；瓦里安.微观经济学（高级教程）.北京：经济科学出版社，1997.）。课后习题要求读者思考这样一个问题，究竟是哪个关于偏好的假设导致了无差异曲线向下倾斜，又是哪个假设保证了无差异曲线凸向原点。

一个常用的效用函数形式是柯布—道格拉斯效用函数：

u（x1，x2）=Axα1xβ2 （2.1）

其中，A>0，0<α<1，0<β<1。显然它是连续的，凹的（凹函数的判定条件是函数的海塞矩阵负定，其导数条件为u11≤0，u22≤0，u212-u11u22≤0。），在每个变量之上都是递增的。

2.1.3 效用最大化

给定效用函数和预算约束，消费者面临的问题就是在预算约束条件下追求效用最大化。其预算约束可以表示为：

p1x1+p2x2≤w （2.2）

其中，p1，p2分别为两种商品的市场价格，w则表示消费者拥有的财富（或收入）。给定偏好的单调性，这一约束必定是紧的，也就是p1x1+p2x2=w。

则消费者的效用最大化问题可以描述为：

{maxx—u（x1，x2）

s.t.—p1x1+p2x2=w （2.3）

上述问题的拉格朗日函数可以写为：

L=u（x1，x2）+λ（w-p1x1-p2x2） （2.4）

这一问题的一阶条件为：

u—x1=λp1 （2.5）

u—x2=λp2 （2.6）

在效用函数拟凹和约束集凸的前提下，上述条件是充分必要的（对于约束条件下的最优化问题，保证其一阶必要条件也是充分条件的前提是目标函数拟凹，同时约束集为凸集。在这个例子里，效用函数是凹函数，符合拟凹条件；而约束集是预算线与坐标轴围成的三角形，显然这是一个凸集。所谓凸集，要求集合中任意两个点的线性组合（即两点间的连线）仍然包含在该集合内部。）。两式相除，得到：

u—x1/u—x2=p1/p2 （2.7）

（2.7）式意味着消费者实现效用最大化的条件是消费两种商品最后一单位的边际效用之比等于这两种商品的价格之比。

我们将消费者无差异曲线的斜率（绝对值）定义为边际替代率（MRS），表示在保持效用水平不变（比如u-）的前提下，增加一单位商品x1的消费，消费者愿意放弃的商品x2的消费数量，即MRS=-dx2—dx1，用商品x2的数量衡量了消费者对商品x1的边际评价。无差异曲线的数学形式为：u（x1，x2）=u-，表示使消费者的效用水平达到u-的所有商品组合。两边全微分，有u—x1dx1+u—x2dx2=du-=0，这样我们就得到，-dx2—dx1=u—x1/u—x2。这一结果表明，边际替代率（MRS）等于边际效用之比。

求解上述问题，可以得到消费者效用最大化的解：

x*1=x1（p1，p2，w） （2.8）

x*2=x2（p1，p2，w） （2.9）

（2.8）和（2.9）式就是消费者的（马歇尔）需求函数，表示当市场价格和消费者财富水平分别为p1，p2，w时，消费者愿意购买的商品x1和x2的数量。

将x*1，x*2代入效用函数。显然，u（x*1，x*2）=u［x1（p1，p2，w），x2（p1，p2，w）］是在给定价格和财富水平时消费者所能达到的最大效用。我们令：

v（p1，p2，w）=u［x1（p1，p2，w），x2（p1，p2，w）］ （2.10）

v（p1，p2，w）是一个值函数，它表示随着价格和财富水平的变化，消费者所能够达到的最大效用的变化。我们将其称为间接效用函数，因为价格和财富水平的变化是通过改变需求间接影响了消费者的最大效用水平。

下面我们给出两个特例。

（一）柯布—道格拉斯偏好

消费者的效用最大化问题为：

maxx—Axα1xβ2

s.t.—p1x1+p2x2=w

一阶条件为：Aαxα-11xβ2=λp1和Aβxα1xβ-12=λp2，两式相除得到：

αx2—βx1=p1—p2

将上式代入约束条件，可以得到：x*1=αw—（α+β）p1，x*2=βw—（α+β）p2。

（二）拟线性偏好

如果消费者的偏好是拟线性的，那么他的效用函数的形式为：u（x1，x2）=x1+（x2），这时，给定相对价格不变，消费者愿意消费的商品x2的最优数量是唯一的，无论消费者的财富水平怎样变化（只要满足w≥p2x*2）。为了说明这一点，我们来解消费者的最大化问题：

maxx—x1+（x2）

s.t.—p1x1+p2x2=w

一阶条件是：1=λp1，′（x2）=λp2，得到：′（x2）=p2/p1，则x*2=′-1（p2/p1），这意味着x*2仅仅是相对价格的函数，与财富水平无关。给定相对价格不变，财富的变化只会改变消费者对x1的消费数量，而不会改变他对x2的消费数量。

假定（x2）=lnx2，则有：x*2=p1/p2，x*1=w/p1-1。

拟线性偏好在公共经济学领域，特别是公共产品和外部性理论中有广泛的应用。

2.2 生产者行为

2.2.1 生产集与生产函数

现在我们考察生产者（企业）的行为。企业总是在特定的技术约束下将投入品转化为产品，从而可行的生产计划总是受到特定技术的约束。我们把在技术上可行的所有投入和产出组合（生产计划）的集合称作生产集，用Y表示。假定只有一种投入品z，一种产品y，图中的阴影部分就是生产集。通常，我们假定生产集是一个非空的闭集，也就是说生产集包括它的边界，这条边界线所对应的函数就是生产函数，用y=f（z）表示。这样，我们就可以把生产集Y写成：Y={（z，y）：y-f（z）≤0，z≥0}。

通常，我们还假定生产集是凸的，也就是任意两个可行的生产计划的线性组合也一定是可行的。可以证明，对于单一产出的生产技术，生产集凸等价于生产函数凹（关于生产集及其与生产函数关系的进一步讨论参见马斯－克莱尔等：《微观经济学》；瓦里安：《微观经济学（高级教程）》。）。

2.2.2 产出最大化

为了考察企业在成本约束下的最优投入品组合，现在我们假定生产中存在两种投入要素：z1和z2（比如资本和劳动）。生产函数为y=f（z1，z2）。企业面临的问题是给定成本约束，选择最优的投入品组合，使其产出最大化，即：

maxz—f（z1，z2） （2.11）

s.t.—ω1z1+ω2z2≤c

其中，c为企业的最高成本约束；ω1，ω2分别为两种投入品的市场价格。一阶条件分别是f/z1=λω1和f/z2=λω2。假定生产函数是凹的，则上述条件是充分必要的。两式相除，得到：

f/z1—f/z2=ω1—ω2 （2.12）

上式表明产出最大化要求使两种要素投入的边际产出之比（即边际技术替代率MRTS）等于要素价格之比。

2.2.3 成本最小化

上述产出最大化问题的一个对偶问题是成本最小化问题，即给定产出约束，选择最优投入品组合使成本最小化：

minz—ω1z1+ω2z2 （2.13）

s.t.—f（z1，z2）≥y

其中，y为企业的最低产出约束。一阶必要条件为λf/z1=ω1和λf/z2=ω2。假定生产函数凹（即约束集凸），上述条件是充分必要的。将其代入约束条件，可以解得：

z*1=z1（ω1，ω2，y） （2.14）

z*2=z2（ω1，ω2，y） （2.15）

（2.14）和（2.15）被称为条件要素需求函数，也就是在产量水平达到y的条件下使成本最小化的要素需求。令：

c（ω1，ω2，y）=ω1z*1+ω2z*2=ω1z1（ω1，ω2，y）+ω2z2（ω1，ω2，y） （2.16）

c（ω1，ω2，y）实际上就是企业的成本函数，表示给定要素价格和产量水平条件下的最小成本。如果生产函数是凹的，可以证明成本函数对于产量y是凸的。

2.2.4 利润最大化

企业的最终目标是利润最大化，而成本最小化实际上只是实现利润最大化的必要条件，在此基础上，企业还需要根据产品的市场价格选择产量使得利润水平达到最大。上述问题可以表示为：

maxy—py-c（ω1，ω2，y） （2.17）

在完全竞争市场上，企业是价格的接受者，也就是价格p对于企业而言是给定的。这时，上述问题的一阶必要条件是p=c/y，由于目标函数对y是凹的，这一条件也是充分必要的（对于无约束最大化问题，保证其一阶必要条件也是充分条件的前提是目标函数凹。）。这意味着企业要实现利润最大化的条件是选择产量使得生产的边际成本刚好等于产品价格。因此，边际成本函数实际上就是企业的供给函数。

2.2.5 生产可能性集

现在我们考虑两种产品的情况，为了与2.1节的符号保持一致，分别用x1和x2表示这两种产品。生产函数分别为：x1=f1（z11，z12）和x2=f2（z21，z22）。我们可以分别求解得到这两种产品的要素需求函数：

zj*l=zjl（ω1，ω2，xj） l=1，2； j=1，2 （2.18）

假定投入品总量分别为z-1和z-2，且被完全充分利用，则有：

z-l=z1l（ω1，ω2，x1）+z2l（ω1，ω2，x2）—l=1，2 （2.19）

称为生产可能性集，其中FF曲线被称为生产可能性边界，它表示当资源（所有投入要素）被充分利用时，两种产品所有的最大可能性组合，也就是，随着其中一种产品的产量变化，另一种产品所能获得的最大产量的变化轨迹。

我们将生产可能性边界的斜率（绝对值）定义为边际转换率（MRT），表示当资源充分利用时，多生产一单位x1，需要放弃多少单位的x2。因此，边际转换率实际上是以一种产品数量表示的另一种产品的边际生产成本。

一般用生产转换函数F（x1，x2）=0来表示生产可能性边界，则生产可能性集就可以写作：{（x1，x2）：F（x1，x2）≤0，且x1，2≥0}。我们通常假定生产可能性集是一个凸集，F（x1，x2）是一个凸函数。对生产转换函数两边全微分，得到：F—x1dx1+F—x2dx2=0。这意味着，F—x1/F—x2=-dx2—dx1=MRT。

另外，经济学中还有一个常用的结论，就是边际转换率等于两种产品的边际成本之比。现在我们来证明这个结论。

首先，在生产可能性边界上，资源被充分利用，因此，无论两种产品的产量怎么组合，其总成本不变，记为c-。这样，在生产可能性边界上两种产品的总成本函数可以表示为：

c（x1，x2）=c- （2.20）

对上式两边进行全微分，得到c—x1dx1+c—x2dx2=0，即沿着生产可能性边界，必然有，MRT=-dx2—dx1=c—x1/c—x2。这意味着，两种产品之间的边际转换率等于它们的边际成本之比。

2.3 竞争性市场均衡

市场均衡是一种状态，它表示影响市场活动的各种力量之间达到了一种平衡。对于竞争性市场而言，均衡就是影响供给和需求的力量之间的平衡。

一般而言，完全竞争市场的本质特征是所有参与人都是价格接受者（price taker），这就要求经济中存在许多消费者和生产者。但为了分析方便，我们假定只有两个消费者，两个生产者。当然我们也可以把两个消费者理解为两群消费者，把两个生产者理解为两群生产者。

假定这两个消费者A和B，消费两种商品x1和x2，分别由企业1和2生产。假定有两种生产投入品z1和z2，但投入品不能直接用于消费。我们还假定投入品禀赋属于消费者，分别由zAl和zBl（l=1，2）表示，满足：zAl+zBl=z-l（l=1，2）。假定消费者拥有企业利润，其利润份额用θij表示（i=A，B，j=1，2），满足：θAj+θBj=1（j=1，2）。

我们用xA1和xA2表示消费者A消费两种产品的数量，用xB1和xB2表示B消费的数量，则：xAj+xBj=xj（j=1，2）。

所谓竞争性市场的一般均衡（general equilibrium），是指完全竞争市场上的一组资源配置{（xA*1，xA*2），（xB*1，xB*2）；x*1，x*2；（z1*1，z1*2），（z2*1，z2*2）}和一组价格{p*1，p*2；ω*1，ω*2}，使得：

（一）生产者实现了利润最大化

即对每一家企业j，x*j满足：

p*jx*j-cj（ω*1，ω*2，x*j）=maxxp*jxj-cj（ω*1，ω*2，xj），j=1，2

我们假定成本函数对xj是凸的，则上述条件等价于：

p*j=cj（ω*1，ω*2，x*j）—xj，j=1，2

将j=1式与j=2式两式相除，得到：

p*1/p*2=c1（ω*1，ω*2，x*1）—x1/c2（ω*1，ω*2，x*2）—x2=MRT （2.21）

（二）消费者实现了效用最大化

即对每一个消费者i，（xi*1，xi*2）满足：

ui（xi*1，xi*2）=maxxui（xi1，xi2），i=A，B

s.t.—p*1xi1+p*2xi2≤ω*1zi1+ω*2zi2+2—j=1θij［p*jxj-cj（ω*1，ω*2，xj）］

我们假定效用函数是拟凹的，成本函数对xj是凸的，则上述条件等价于：

ui（xi*1，xi*2）—xij=λp*j，i=A，B，j=1，2

将j=1式与j=2式相除，得到：

p*1/p*2=ui（xi*1，xi*2）—xi1/ui（xi*1，xi*2）—xi2=MRSi，—i=A，B （2.22）

（三）市场出清

即xA*j+xB*j=x*j，j=1，2；z1*l+z2*l=z-l，l=1，2。

可以证明，在消费者偏好和生产技术凸性等前提下，竞争性市场均衡是存在的（关于竞争性均衡存在性问题的进一步讨论参见马斯—克莱尔等：《微观经济学》；瓦里安：《微观经济学（高级教程）》。）。

2.4 福利经济学第一基本定理：数学分析

下面我们讨论竞争性市场均衡的福利性质。其中最重要的结论包含在下面的福利经济学第一基本定理中。

福利经济学第一基本定理

每一个竞争性市场均衡配置都是帕累托有效的。

下面我们来证明这个重要的定理。

首先我们给出帕累托效率（pareto efficiency）的数学条件。所谓帕累托效率，也称为帕累托最优，是一种资源配置的状态，在这种状态下没有一个社会成员能够改善自己的福利（境况），而不损害其他人的福利（境况）（帕累托效率也称作帕累托最优（pareto optimality），是由19世纪末20世纪初的意大利经济学家帕累托（pareto）最早提出来的一个衡量资源配置效率的标准，也是经济学中最重要的概念之一。）。帕累托效率也可以表示为，在不损害其他人效用的前提下使某个人的效用达到最大。数学上，一个帕累托最优问题可以写作：

maxx—uA（xA1，xA2）

s.t.uB（xB1，xB2）≥u- （2.23）

F（x1，x2）≤0

这里，我们用F（x1，x2）=0表示生产可能性边界。在单调性假设下，上述约束实际上都是紧的。这一问题的拉格朗日函数是：

L=uA（xA1，xA2）-λ［u--uB（xB1，xB2）］-μF（x1，x2） （2.24）

该问题的一阶条件分别是：

uA—xA1=μF—x1 （2.25）

uA—xA2=μF—x2 （2.26）

λuB—xB1=μF—x1 （2.27）

λuB—xB2=μF—x2 （2.28）

我们假定效用函数是拟凹的，生产转换函数是凸的，则上述一阶条件是充分必要的。将（2.25）和（2.26）两式相除，得到：

uA—xA1/uA—xA2=F—x1/F—x2 （2.29）

将（2.27）和（2.28）两式相除，得到：

uB—xB1/uB—xB2=F—x1/F—x2 （2.30）

（2.29）和（2.30）两式意味着：MRSA=MRSB=MRT，这实际上就是资源配置实现帕累托最优的条件。

回忆2.3节中的（2.21）和（2.22）式，这三个式子意味着竞争性市场达到均衡时必定满足MRSA=MRSB=MRT。因此只要竞争性均衡存在，那么均衡就一定符合帕累托最优的条件，也就是说，竞争性均衡一定是帕累托最优的。这样，我们就完成了福利经济学第一基本定理的证明。

2.5 福利经济学第一基本定理：几何分析

对于不太喜欢数学证明的读者，下面我们运用几何方法，对福利经济学第一基本定理给出一个非技术性的讨论。

福利经济学第一基本定理是说每一个竞争性均衡配置都是帕累托有效的。为了理解这个定理，我们的分析思路是，先讨论实现帕累托有效配置需要满足什么条件，然后再讨论竞争性市场均衡是否满足这些条件。如果满足，那就表明福利经济学第一基本定理成立。

所谓帕累托效率，即一种资源配置的状态，在这种状态下没有一个社会成员能够改善自己的境况而不损害其他人的境况。一般而言，帕累托有效配置需要满足两个条件，其中第一个条件是所谓的纯交换条件，要求每个人的边际替代率（MRS）都要相等。

我们可以通过埃奇沃斯方形图（Edgeworth box）来说明这个纯交换经济里的条件（埃奇沃斯方形图是由19世纪末20世纪初的爱尔兰经济学家埃奇沃斯（Edgeworth）提出的一种分析工具。）。考虑一个两人经济，由A和B组成，他们拥有x1和x2两种禀赋（不需要生产出来的商品）。横轴Os（＝O′r）表示x1的总量，纵轴Or（＝O′s）表示x2的总量，O点为A的原点，O′点为B的原点，w为初始的禀赋分配点，表示A拥有x1商品的数量是Oe，B拥有X商品的数量是O′f，合计为Os（＝O′r）；A拥有x2商品的数量是Ou，B拥有Y商品的数量是O′v，合计为Or（＝O′s）。

现在我们假定A和B之间可以就双方拥有的商品进行交换，原则上如果不考虑交换的得失，那么从初始点w出发，他们可以来到方盒中的任何位置，因为方盒中的任一点都代表了两种禀赋在A和B之间的一种分配。

在经济学里，假定所有消费者都是理性的，他们总是选择给自己带来更大效用的消费组合，因此A和B之间可行的交换组合只是方盒中很小的一部分。我们分别画出两人通过初始禀赋点w的无差异曲线，aa代表A的无差异曲线，bb代表B的无差异曲线（我们是在假定A和B的偏好都是理性的、连续的、单调的、严格凸的条件下，才能画出这样形状良好的无差异曲线。）。我们知道无差异曲线表示所有给消费者带来效用水平相同的消费组合的集合，也就是aa曲线上所有的点对于A的效用是相同的或无差异的，而aa曲线右上方的消费组合给A带来的效用要比w点高。同样对B而言，bb曲线上所有的点给B带来的效用是无差异的，而bb曲线的左下方的组合给B带来的效用要比w点高（注意B的原点是O′）。由于A和B都是理性的，那么他们一定会选择给自己带来的效用比w点高的组合进行交换。这样所有可行的交换组合就一定在两条无差异曲线之间的棱镜形区域中。

现在考虑A和B两人经过交换各自的禀赋来到棱镜形区域里的某个位置，比如t点，显然在t点双方的效用都提高了（或至少没有改变），但是故事并没有结束。只要双方经过t点的无差异曲线仍然有两个交点，那么这两条无差异曲线之间就一定还会存在一个棱镜形区域可以作进一步交换。

那么何时双方会停止交换呢？答案是当双方的无差异曲线相切的时候。双方交换到m点。A和B经过m点的无差异曲线a′a′和b′b′在m点相切，这时双方的交换将停止下来。因为如果双方作进一步交换，那么至少有一个人的效用将会下降。根据帕累托效率的标准，m点就是一个帕累托有效配置。A和B双方从w点出发通过交换来到m点的过程，称为帕累托改善（pareto improvement）。

上面的分析说明，帕累托有效配置要求双方的无差异曲线相切，而两条无差异曲线在切点处的斜率相同。我们知道无差异曲线的斜率就是边际替代率，这就意味着：

MRSA=MRSB （2.31）

消费者的边际替代率相等是纯交换经济里实现帕累托有效配置的条件。

在埃奇沃斯方形图中，存在着众多交换双方无差异曲线相切的点，它们都满足帕累托有效配置的条件。所有帕累托有效配置点的集合被称为帕累托集（pareto set），连接O和O′点，经过m点的曲线就是帕累托集，它包含了所有A和B的无差异曲线相切的点。反过来说，帕累托集上的所有点都是帕累托有效的，当然对于不同的初始禀赋分配，不是所有的帕累托有效配置都是可行的。比如双方从w点出发进行交换，可行的帕累托有效配置集合只是cd间的一小段曲线。这时，曲线cd被称为契约曲线（contract curve），它是从w点出发，双方有可能达成契约的所有点的集合。但究竟会到达契约曲线cd的哪个位置，依赖于双方讨价还价的能力（m点只是无数种可能性中的一种）。

帕累托有效配置的第二个条件是在一个带有生产的经济里生产和交换的最优组合条件，这一条件要求消费者的边际替代率等于生产的边际转换率，即：

MRS12=MRT12 （2.32）

现在我们来说明这个条件。在一个带有生产的经济里，资源禀赋不再能够直接用于消费，需要经过生产才能转化为可供消费的商品。假定全部资源用来生产x1和x2两种商品，FF曲线为生产可能性边界。

当生产组合确定时，也就定义了一个交换的埃奇沃斯方形图。在这个方形图中，OO′为交换的帕累托集，其中所有的点都满足交换的帕累托效率条件，但是在带有生产的经济里，这些点并不都满足生产和交换组合的帕累托效率条件。

我们知道无差异曲线的斜率，即边际替代率衡量了消费者对商品x1的边际评价（用商品x2表示）。而生产可能性边界的斜率，即生产的边际转换率则衡量了用商品x2表示的生产商品x1的边际成本。如果MRS12>MRT12，就意味着消费者对x1的边际评价大于生产x1的边际成本，增加x1的产量能够提高消费者的福利。反之，如果MRS12<MRT12，意味着消费者对x1的边际评价小于生产x1的边际成本，应该减少x1的产量。两种情况都不满足帕累托效率的要求。只有当边际替代率等于边际转换率，即消费者对商品的边际评价等于生产的边际成本时，才达到福利最大化。

E点满足这一条件，经过E点的无差异曲线的切线与经过O′点的生产可能性边界的切线平行，即它们的斜率相等。

我们已经表明，要实现帕累托有效配置，就必须满足（2.31）和（2.32）两个条件（有些作者还强调第三个条件，即生产要素的边际技术替代率MRTS相等。但如果把生产要素也看做是商品的话，那么这个条件就已经包含在第一个条件（即边际替代率相等）中了。），现在我们来讨论，为什么竞争性均衡配置能够满足上述帕累托效率条件（这里我们假定完全竞争市场的一般均衡配置是存在的。关于均衡的存在性问题的讨论超出了本书的范围，这里关键的一点是要求消费者具有凸性偏好而生产者具有凸性技术。）。

在完全竞争市场上，所有的消费者和生产者都是价格接受者，他们面临给定的市场价格。追求效用最大化的消费者会选择无差异曲线与预算线相切的商品组合，意味着无差异曲线的斜率等于预算线的斜率，即边际替代率等于两种商品的价格之比。由于在竞争性市场上所有的人都面临同样的价格，他们的边际替代率也就一定相等，即：

MRSA=MRSB=p1/p2 （2.33）

这说明在竞争性市场上，消费者的效用最大化行为将导致均衡配置必然满足帕累托效率的条件（2.31）。

追求利润最大化的企业则会选择使边际成本等于市场价格的产量来进行生产。考虑一家生产商品x1的企业，作为价格接受者，它面临水平的需求曲线，为了实现利润最大化，它将选择满足MC1=p1的点进行生产。

也就是说当完全竞争市场达到一般均衡时，每种商品的边际成本都会等于其价格，这意味着两种商品之间的边际转换率，也就是两种商品的边际成本之比等于两种商品的价格之比，即：

MRT12=MC1/MC2=p1/p2 （2.34）

综合（2.33）和（2.34）式，我们得到：

MRS12=p1/p2=MRT12 （2.35）

这意味着竞争性市场的一般均衡配置必然满足帕累托有效的条件（2.31）和（2.32）。因此，竞争性市场的均衡配置必然是帕累托最优的，这就是福利经济学第一基本定理的含义。

2.6 福利经济学第二基本定理

本章对微观经济学基础的回顾以福利经济学第二基本定理作为终点。后者实际上就是福利经济学第一基本定理的逆定理，但需要满足一些凸性条件。

福利经济学第二基本定理

在满足消费者偏好和生产技术凸性等条件下，每一个帕累托有效配置都是一个竞争性市场均衡配置。

对福利经济学第二基本定理的证明超出了本书的范围，我们在此仅给出一个简单的说明：福利经济学第二基本定理是说任何一个帕累托有效配置都能得到竞争性市场机制的支持，也就是说对于任何一个帕累托有效配置（即帕累托集里的每一个点）而言，完全竞争市场上总会形成一组价格，在这组价格上，该帕累托有效配置是某个适当禀赋配置条件下的竞争性市场均衡配置。

福利经济学的两个基本定理是微观经济学与公共支出理论的衔接点。下一章，我们将在此基础上，探讨政府的经济职能。

本章小结

1.经济学通常假定消费者偏好是理性的（即完备性和传递性），连续的，从而存在一个连续的效用函数来代表消费者偏好。而偏好的单调性与凸性则保证了无差异曲线具有良好的性状，即向下倾斜并凸向原点。

2.在竞争性市场上，消费者的效用最大化行为决定了需求，最大化条件是两种商品之间的边际替代率等于其市场价格之比。而生产者的利润最大化行为则决定了供给，其条件是生产的边际成本等于产品的市场价格。

3.竞争性市场均衡配置是一组资源配置和价格，使得消费者实现效用最大化、企业实现利润最大化以及市场出清。

4.福利经济学第一基本定理指出，每一个竞争性市场均衡都是帕累托有效的。

5.福利经济学第二基本定理是第一基本定理的逆定理，它意味着在满足某些凸性条件下，每一个帕累托有效配置都是某个适当禀赋条件下的竞争性市场均衡配置。

复习与思考

1.为什么偏好的单调性和凸性决定了无差异曲线向下倾斜并凸向原点？

2.设u（x1，x2）=1/2lnx1+1/2lnx2，证明x1，x2的边际效用递减。

3.假定消费者的效用函数为u（x1，x2）=x21x2，商品1和2的价格分别为p1，p2，消费者收入为w。推导马歇尔需求函数和间接效用函数。

4.假定生产函数为q=KαLβ，劳动工资率和资本租金率分别为w，r，产品价格为p。证明成本函数可以写作：c（q，r，w）=Bq1/α+βrα/α+βwβ/α+β（B是依赖于α，β的常数）。

5.已知成本函数为c（q）=q2+5q+4，产品价格为p，求企业的供给函数s（p）和利润函数π（p）。

6.考虑两个消费者和两种商品的纯交换经济，消费者的效用函数与禀赋如下：

uA（xA1，xA2）=（xA1xA2）2 A=（18，4）

uB（xB1，xB2）=lnxB1+2lnxB2 B=（3，6）

（1）写出契约曲线的函数形式（提示：所谓契约曲线，就是所有符合帕累托效率条件和禀赋条件的配置的集合）。

（2）找到竞争性市场均衡配置（提示：先求出需求函数，再利用禀赋条件求出相对价格）。

进一步阅读文献

1.范里安.微观经济学：现代观点（第六版）.上海：格致出版社，2006.

2.平新乔.微观经济学十八讲.北京：北京大学出版社，2001.

3.马斯克莱尔等.微观经济学.北京：中国社会科学出版社，2001.