线性规划的假设和应用

第9章　程序化决策

【学习目标】

学完本章后，你应该能够：

■阐述优化资源配置和最小化资源浪费及成本的一些合理的程序化决策技术。

■构建基础的库存控制和线性规划模型。

■认识建立一套公认的资源管理方法的必要性，尤其是要注意由于敏感度分析带来的配置变化。

■描述隐含在简单线性规划模型里的假设。

9.1　引言

现代定量分析方法的基础在第二次世界大战时期就开始形成，当时，对于战争双方战场上的表现来说，后方人员谨慎地配置资源是十分关键的。早期科学管理思想的基础由Henry Fayol（1841-1925）和Fredrick Winslow Taylor（1856-1917）创立。这两个人都强调信息的价值，并且高度评价了为设计、管理和控制工作有效进行而做的分析。直到现在仍有大量的研究都以这些定量分析的决策制定方法为研究对象，这类研究常常会产生复杂的计算程序，其中包含了几百个变量，经过计算机反复进行计算，最终得出结果。定量分析的决策制定，本质上讲是一种涉及广泛领域的研究活动。大学图书馆的书架上常常塞满了为经理人员所著的、关于运营研究和系统理论方面的定量分析方法的书籍，并且在许多国家都有关于这类原理的专业团体。本章的目标主要是介绍一种关于科学管理的某个分支在概念上的理解，用它的数学模型化技术来进行程序化决策。

一些哲学家认为生活中或企业中没有什么东西是绝对可以肯定的，即便在这种情况下，我们也可以假设某些很可能发生的东西是肯定要发生的。在这类决策中，我们就可以这样假设：一旦决策执行以后，其结果可以完全预知。这些简单、常规的决策，多以一系列已知目标为特征，不会由于存在分歧或者人为影响而变化，所以可以把它们划归到程序化决策制定的方法中来。

以一个人买几听罐装汤为例。附近的超级市场几乎肯定会有大量罐装汤，所以你可以直到最后一分钟才去买。因为超级市场在某个时间没有汤的可能性是极小的。进一步讲，“有汤”或“没汤”的结果对我们可能并不重要。我们可以仅在需要的时候去买汤，而不是买回来放在柜子里储存着。库存决策对许多企业来讲是十分重要的，这也是本章的焦点内容之一。

作为一种选择，某城镇的官方可以制定一个政策来决定该城镇街道上路灯的替换。试想有两个选择：一是换掉坏了的灯泡；二是按部就班地定时换灯泡，而不管其是否已坏。这两个目标的区别之处在于：一是最小化所必需的维持成本；二是保障安全照明。该决策参数的原因和影响都很容易测量，像这类决策我们就可以通过建立一个模型来处理与其类似的各种各样的情况。

其他可以划归为自动化的常规决策类型如进度管理，它或者是有关产品制造过程的进度管理，或者是服务产业里对职工工作的进度管理，还可以是关于一个运输系统里车辆的进度管理。

科学管理给我们提供了工具、技术和方法论，使我们能够处理许多管理问题。而情感、道德和心理因素对这些过程发生并无关系，尽管它们对于总体判断也存在一定影响。科学管理处理的是数据收集、理解和发表的过程。然而，数据因素对决策制定很重要，这使弄清楚在用方法的限制条件、假设条件和具体应用性是十分重要的。在有些情况下，科学管理通过主观打分和风险评估等手段，还可以帮助我们测量数量方面的因素的影响。

本章检视了程序化决策的几个方面，其内容主要以风险、系统分析和建模三个问题为基础。

9.2　背景

Turton（1991）发明了一个简单的方格模型来描述决策制定与不确定性之间的关系（图9.1）。该模型是对大量决策制定过程研究的延伸，它用原因和影响（清楚或不清楚）与目标（共享的/一致的或分歧的）两个维度来把决策进行分类。

本章集中讲述了具有清楚的原因和影响且有共享、一致的目标的决策制定，或者如Turton描绘的那样，是“理性的与逻辑的”决策，这种决策最能被说成是“确定性”的了。当我们目标不清楚但原因和影响清楚时，我们需要进行谈判并折中处理（如在一些项目管理决策中）。当原因和影响清楚时，政治、文化和其他因素就会影响决策判断结果，这点在第11、12、13章中会进行讨论。实际情况下，Turton模型的界限是很模糊的。面对这种情况，我们支持或说是规劝管理者试着使用理性的决策制定过程来协助解决这类受政治因素影响的问题，其中，该问题一般存在一定程度的分歧。理性决策制定在与某模型相匹配时，可以作为一个方面的内容来支持该模型，但是，如果模型不合适的话，它就不能支持了。这里“相匹配”的意思是指要与决策制定者所倾向的决策或偏好相一致。

图9.1　决策模型——不确定事件

资料来源：adapted from R.Turton（1991），Behaviour in a business context：Thomson Business Press。

如果我们有了确定的或说是完全的信息，我们又该如何着手来制定决策呢？利用这类确定性方法解决决策问题的好处就是解决起来比较简单。你可能已经遇到过一些用来计算库存存储量或订购量的运算法则，如第7章的经济订购批量。这些法则使用的前提假设是完全的信息；这只是一个简单的例子。然而，从一定意义上说，它们同样也说明了不确定性的重要性。试想我们需要100件产品，但是我们的供应商平均只能交付给我们订购量的90％。这里的90％只是我们需求量整体上被满足了的一个可能估计数。确定性条件下的建模和不确定性条件下的建模之间的区别在于特殊事件发生的内含可能性，因此，不确定性条件下所建立的模型一般称作或然或者随机模型，以与确定性模型相对应。

练习9.1

考虑以下这些“日常的”决策。你怎样把它们归类到Turton的方格里呢？

1.购买一套房屋。

2.接受一份工作。

3.支付信用卡账单。

4.选择一个度假场所。

5.去工作。

当然如何评价这些决策将是件仁者见仁，智者见智的事情，在这里我们的提议是可以将它们分别按顺序放在象限3、4、1、2、1里。

9.3　确定性条件下的建模

本书中介绍的很多科学管理技术都可以在计算机里得到很好的应用。计算机确实带来了许多有用的管理工具，它们与纯学术活动相挂钩。当计算机普及以后，一些数学技术如线性规划的应用不再限于那些价值不高的阶段已成为可能（或已在员工工作中被证明）。例如，在化学工业里，我们可以靠同时含有几百个变量的函数来进行日常的评估计算，通过它们，使企业能够组织起最有效的生产和最廉价的原料采购。

计算机也让管理者把“如果……怎么样？”的情境模式转化成了一个比过去更加具体的情境。这对于那些希望把各种各样的经营计划成本作对照的管理者来说，是一种无价的财产。

第二次世界大战时期有个关于早期经营研究的趣事。一个小组在存在各种各样的分歧情况下，对稀缺弹药资源的各种长处进行评估。如果我们把一粒子弹的价值描述为“具有造成毁坏和伤害的能力”，那么，应该是步兵团而不是一架轰炸机上的炮手班造成的毁坏最大。这是由于相对于轰炸机而言，一个步兵用子弹击中目标的可能性更高。为了说明这个问题，我们假设一名步兵造成毁坏的可能性是20％，炮手是2％。从数学角度考虑，把有限子弹供应全都给步兵要更值一些。所以实际决策要做的就是：怎样发放有限供应的子弹呢？是全部给步兵团，还是也分点给轰炸机炮手班，从而使得步兵团能分的少了？

最终的决策还是要以心理因素的影响为基础。如果不给炮手班配发弹药，我们估计全体机组人员的士气会受到影响，机组人员会因为不能保护自己而不愿起飞。所以，弹药还是应该供应给他们。

尽管科学管理给管理者提供了许多有用的工具来帮助决策制定，但是我们依然要在其被创造的系统环境里对其进行评估。定量分析方法，无论是确定性的还是随机性的，都对决策制定的过程有贡献。图9.2通过把我们较为熟悉的按管理判断和经验分类的几种定量分析方法做对比，描述了定量分析技术在决策制定过程中所起的作用。

图9.2　定量分析的作用

确定性模型不考虑可行性，它遵守的假设是：只要给定一系列的输入，就会产生一系列既定的输出。我们可以通过调整输入水平和分析出模型对这些变动的敏感性，得出该模型的可行性结果。这个被称作敏感度分析。

第7章介绍的经济订购批量（EOQ）模型对输入的变动并不非常敏感。图9.3显示了成本变化如何影响订购量变化。在这个特例中，EOQ的值62.5随着总成本的微小变化可能会增至70或者减至50。

图9.3　EOQ模型的敏感度

很多管理者用来帮着制定决策的确定性模型都是这种形式。第8章里我们在检视决策制定的管理会计方法时就介绍了几个重要的模型，其本质上来讲也是这个。

对于许多稀有资源的分配，如资金、人才、机器、时间和原材料，我们有大量的技术方法都是集中在这类问题上面的。线性规划（LP）是用于协助解决该类决策的主要方法。这里LP的使用把靠具体数字表示的结果考虑了进来，它代表的是一种“答案”。例如，如果你坚持按2∶1的比率分别投资于两种产品，也即你在一种产品上投了33.3％的钱，另一种产品上投了66.7％。然而，大量的问题的解都要求是整数，例如人员分配问题。你当然不能计划着把一个人分成两半用（除非这个人能在不同的时间工作）。LP的这个变化称之为整数规划，它仅能产生整数形式解。简单的LP模型不能完全解决的另一种情形是目标不唯一的情形。例如，一个公司的目标可能包括有最大化市场占有率、最小化成本和留住所有员工。解决这类问题可以利用的技术我们称之为目标规划。

练习9.2

在你已有的决策制定经验的基础上，试着找出两种或三种能主要通过定量分析信息解决的决策。列出制定决策所需要的信息，并且找出所有可能涉及的数量因素。

9.4　一个库存模型

库存管理一直以来都被看做是管理者所面临的常规的重要问题之一。历史上，库存管理一直围绕着供应系统的数学建模问题而出现，它的建立目标有两个：

■达到客户服务水平；

■最小化库存成本。

本部分内容将利用库存控制来描述数学建模全过程。为达到这个目的，我们先给出一个有关库存问题的简要轮廓，然后再讲建模的过程。

9.4.1　持有库存的原因

在Goldratt的小说《目标》一书中，库存被当做是决定企业业绩的三个影响因素之一，另外两个是运营成本和营业额。在书中，一家努力奋斗的企业紧紧把握住了它的库存冲突并最终取得成功。Goldratt把库存定义为企业所有的用于创造产品的财产。对于大部分企业来讲，库存要求管理者需要注意的主要问题是那些按照规定构成消耗的主要材料。

库存有三种形式：

■材料库存——那些用于产品生产的原材料库存；

■产成品库存——那些已完成加工的产品库存；

■半成品库存——那些未加工完毕的产品库存。

持有材料库存的原因有：

■安全库存的作用在于使产品生产系统工作顺利地进行，它把一切运输耽误因素，或者产品生产过程中会出现的变化因素都考虑了进来。它们的存在是由于不确定性和不可靠性，而在能预防这些风险发生的前提下，企业明显应该从自身的利益出发想方设法地来减少它们。

■规模经济通常与批量采购和低单位订购（运输）成本联系在一起。通过这些可以影响企业的采购和供给政策。

■预防性和季节性库存是企业预期到会出现供应中断的情况而产生的。这种中断可能会发生在一些季节性产品上，或者是由整个产业或政治上的不稳定性所导致。在1974年英国矿业工人大罢工过后，所有的发电站逐渐提高了煤的存储量，几乎达到了可以用一年的程度，当1983年又发生大罢工时，虽然持续了一年的时间，但是英国的电力生产并没有再次受到国内煤的短缺的影响。

■采购节约的实现利用的是产品出现一个不寻常的低价。如果附近超级市场里的汤很便宜，你就很可能被诱惑去买几罐。

持有产品库存的原因有：

■节约运输成本使所有的车辆都可以分派到其他任务。

■通过拉长特殊产品的生产过程，取得生产成本节约的效益。

■通过早生产产品并加以储存来应付季节性需求时的高峰需求，例如生鱼片汉堡或者中国的月饼。

■维持客户服务——已加工完毕的库存产品将被放在仓库里以保证及时迅速地满足客户需求。

■通过保持库存水平与需求波动的一致，使企业能够平衡人员需求，从而提供稳定的工作数量，而不是出租和解雇职员，或者是签订转包合同。

半成品库存（WIP）包含在生产转换系统中的材料物品。在年末公布会计账目时，总会不可避免存在库存。在该年度中，WIP会随着在加工产品的种类和产成品转换系统的转换效率的变化而变化。

供应链管道（图9.4）说明了供应商与客户之间的连接关系，流程越平稳流畅，公司的效力越大。如果该管道充满了节点和弯曲，流程就会变得不确定，就像水管里的水。库存大小与水管里的水流量是相等的，即每分钟内水流的容量。如果我们减少管道的直径，我们就减少了水的流量，那么就需要增大水流的速度来达到相同的容量。

图9.5说的是一个类似的例子，在转化过程中我们有几个库存池。库存池无论出现在什么时候，我们都会损失价值。该管道有时也被称为价值链。在每个阶段上的价值增值是很重要。我们必须让客户看到价值增值，或者是以价格的形式，或者是以服务的形式（Teale，1999）。

该管道通过材料单向流动和信息双向流动，把供应商和消费者连接在了一起。如果该链条中任何一个部分出现问题都可能出现消费者不满意。我们可以把这种管道方法应用到供应链中的所有活动里去，甚至还可以延伸理论来支撑那些活动，如备件管理原理和资本交易管理原理。

图9.4供应链管道

图9.5　中断的管道

资料来源：Teale，1999：196。

我们有很多理由来最小化库存量，不仅仅是成本原因。例如，零售商最小化库存的原因并不只是为了成本节约，他们还想扩大商店的增值领域，即扩大消费者愿意购买的产品的领域。相反，他们也有必要保证产品对客户来说要不断的可用。如果他们的供应商积极响应，他们就可以建立一套准时制系统（JIT）。拥有多方供应的零售商要比非结盟的、独立的商店——被迫持有小仓库（锁定），有更大的范围去降低库存。

9.4.2　库存控制

与之相关的重要问题有：

■库存分类（控制什么？）

■再订购点（何时订购？）

■经济订购批量（订购多少？）

■现代技术的应用（如何订购？）

要想开发一套库存控制系统，我们需要了解这个系统会产生的成本和收益。它的成本既包括最初的开发成本，也包括继续运行时有关数据收集和分析的成本。它的收益主要是指通过减少库存而带来的成本节约。

库存成本

材料成本计算系统的局限性就是它们倾向于把目光放在采购成本上，而不是放在包括采购、交货和库存在内的总的成本上。它其实还应包括，如Goldratt所指出的，当库存用尽时所导致的周转亏损成本。

与库存相关的成本包括：

■采购（订购）成本，如交付成本、采购人员成本、管理信息系统成本。

■持有成本，如存储成本、利息费用、折旧和损失。

■产品生产成本，源于产品损失或者效率不高。效率不高指的是库存会经常掩饰生产低效率的情况。

前两个类型的成本发生在相反的方向上。随着订购量的增加，就会影响每单位采购成本的减少和总持有成本的上升（图9.6）。在库存控制中一个重要的决策就是估计出持有成本和采购成本平衡时的合适数量。然而，说要把注意力集中在这个平衡上，意思并不是要把对找减少采购成本方法的管理注意力转移掉。产品生产成本，指在产品短缺的情况下，是潜在的最大的成本，并且反映了管理者在库存水平上的决策。

图9.6　库存成本结构

库存分类

在库存相关问题的解决过程中，我们有必要了解一些有关持有库存的成本，然后还有必要把这些成本与库存中断导致的成本平衡一下。但是，在我们考虑这些成本以前，企业首先应明白库存问题的范围。把珍贵的管理工作时间花在检查和开发昂贵的物料库存控制程序中是完全没有意义的，且该程序并不需要这样的举措。例如，一家制造企业里的办公用纸库存控制系统与某件产品的电子配件库存控制系统是不同的。

为将库存进行分类，我们可以利用一项叫做ABC的分析技术。该技术把最重要的物料分为A类，把最不重要的物料分为C类。该项分析技术以帕累托定律为基础，把“琐碎的多数”和“必要的少数”分开来。

■目录A下的物料（包含了被使用物料种类的20％）占据了80％的库存价值；

■目录B下的物料（包含了物料的30％）占据了10％的库存价值；

■目录C下的物料（包含了物料的50％）占据了10％的库存价值。

表9.1中的数据摘自一家小型电力公司的库存记录。

表9.1　库存成本

我们需要执行一套控制系统来最小化库存水平，同时保证不能出现物料短缺。那么，我们开发一套复杂的系统具体是为了哪些项目呢？

为将各种物料归类到ABC的形式里（表9.2），我们首先应计算出年总成本（把年总需求量与单位成本相乘）。然后把这些数字按照递减的顺序进行排列以便于计算出价值的累计百分比（100×累计价值/总价值）。表9.2说明了目录A里的物料1～4是主要成本；物料5～7属于目录B；目录C里的物料9～15代表的是“琐碎的多数”。所有的控制系统都应把注意力放在物料1～4上。可以使用简单的集装箱系统来控制物料9～15。图9.7说明了这些数据。

当我们把库存分好类，我们就可以把注意力转移到开发合适的控制系统上了。

表9.2　ABC分析法

图9.7　ABC分析法

经济订购批量（EOQ）

我们现在来解决应该订购多少库存的问题。为解决这个问题我们必须建立一个数学模型（通常情况下称作经济订购批量，EOQ）。EOQ可以利用图像来表示，如图9.8所示。

为建立我们的基本模型，我们假设：需求是不间断的，每单位成本并不取决于订购批量，整个交付过程在同时进行，订购和持有成本是已知的、独立的。经代数处理后我们得到：

图9.8　库存成本

其中：D=年需求比率；Co=变动订购成本；Ch=变动持有成本。

支撑简单EOQ模型的假设，在实际使用起来时都要受到限制。然而，在这个简单的经济订购批量模型的基础上，人们已经开发出了大量其他的模型。每种模型都说明了EOQ的这个问题，并且都试着想办法把它与实践结合起来，例如把批量订购中价格折扣因素考虑进来，再把生产和交付的时间滞后因素也包含了进来。

实例9.1

Sue Eel为Salmon修车厂去买汽油。该修车厂每月对汽油的需求量总为20桶。每桶成本50英镑，订购过程和交付安排的成本是60英镑，持有成本是18英镑/年。请问经济订购批量和总成本各是多少？

解：先将某类产品的有关数据详细地列出来，对我们解题是有所帮助的：

D=20×12=240桶/年

Co=60英镑一次订购

Ch=18英镑/年/桶

将以上数据代入到EOQ公式里有：

订购成本是60×240/40=360英镑

持有成本是18×40/2=360英镑

这些成本是相等的，如你所料，在图9.8里两条线的交点处即极小值点上，两类成本就是相等的。

所有汽油的成本是240×50=12000英镑

年度总成本是12720英镑

再订购点

另一个有关库存的重要概念就是什么时候再订购。再订购工作应该发生在物料被用尽前，并且必须把用于订购的过程和交付的时间因素考虑进来，即指该时期内的平均需求量和订货至交货的时间差。如果这两个要素估计错误，那么库存短缺就会产生，或者说该企业就要负担过多的库存。为了抵消掉短缺，企业必须持有一定的安全库存，其中安全库存的数量应该由订货至交货时间差内的需求量变动估计值得来。

为了估算出安全库存，我们可以假设两次盘点间隔期和需求量的变动会遵循一项统计分布原理，本例中为正态分布。我们同样要用到我们为消费者提供的服务水平的判断结果。服务水平表明了实际情况下如果用尽库存所可能导致的风险水平，它可以从正态分布表中找到。表9.3显示了在任何一个给定的系统中，服务水平Z的值（安全库存的标准差个数），该值与库存中断的概率相等。

表9.3　服务水平和库存短缺概率

我们可以使用下面的公式来说明再订购点：

M=D×L+2σd

其中：M是再订购点；D是日平均需求量；L是两次盘点间隔期；Z是服务水平（安全库存的标准差个数）；σd是间隔期内需求量的标准差。

实例9.2

假设上例中Salmon修车厂订购的汽油的两次盘点间隔期是两个星期，那么它的再订购点是多少？

如果供应商不能保证在两个星期内交货，并且如果在前3桶汽油的订货与交付时间差内，发生了汽油的用途改变导致了对其需求量改变，那么，提供一个不低于95％的服务水平需要什么样的再订购点？

解：需求量/周=20/4=5桶

再订购点是D×L=5×2=10桶

再订购点会带来安全库存。95％以上的服务水平等价于低于5％的库存短缺概率，或者相当于正态分布表里服务水平（Z）为1.64时的值。因此有：

再订购点=10+1.64×3=14.92，如15桶

图9.9说明了这些概念是如何与一段时间内即时补给的库存水平联系在一起的。

图9.9　即时补充条件下的库存水平

9.5　线性规划模型

线性规划（LP）一般用于资源分配问题的求解，其前提是该问题可以定义成数学线性函数ax+by+…=c的形式。要使用LP模型，该问题必须数学公式化，通过数学方程解出答案以后，再将答案转换成实际语言。同样，决策情境必须拥有明确的目标，还应包含一系列的约束条件。LP模型尤其适用于有着强有力的确定性字眼、一致性的目标和强有力的原因——影响关系的问题求解，即：

■我们需要求某个参数的最大值或最小值。例如，我们可能希望最小化材料成本，增大收入，或者希望最大化机器的利用，这个参数称为目标函数。

■问题在求解过程中要受到一系列的条件约束。例如，一个体育中心所开设的活动项目要受到可用的员工数量、场地和时间等因素的约束。该体育中心可能想让场地的使用（目标函数）最大化，它的约束条件就是可用的员工数量、低于目标价值的成本花费和开放的时间（从早上9点到下午9点）。这些约束条件本质上还应可以进行定量分析而不是定性分析。

■必须有大量可选的答案（否则就不能制定决策）。例如，休闲中心在一个场地里开设健美操、柔道和舞蹈三个练习班，并且这三种活动的相关组合可以变化。LP模型会试着找到最好的组合进行最大化求解，求解的是场地的最大化利用。但如果答案没有可选的组合，那么我们就不再需要LP模型了。

■目标函数和约束条件必须都表示成线性关系式，例如，X+Y=Z就是一个简单等式。有时候，关系式还可以表示成线性不等式的形式，例如A+B≥0，它代表的是模型的最小值要求，或者如C+D≤0，它表示的是在该约束条件下可用资源的最大数量（10）。

实例9.3

一家公园家具公司，Rustica，希望通过计算出长凳和野餐桌两种产品的生产数量，来取得最大利润。现已估算出每条长凳的利润是9英镑，桌子是6英镑。共需进行两道工序。各种家具被打造好后，会通过油漆上木头防腐剂保护起来。每条长凳的打造需要4小时，油漆需要2小时。每张桌子的打造需要3小时，油漆需要1小时。共有3名员工可以做油漆工作，且每周总工时为120小时。共有9名员工可以做木工工作，且其每周总工时为260小时，请将该情境表达为线性规划模型。

解：其约束条件主要是油漆工作和打造工作的可用时间限制。自然地，最大化利润是其唯一目标，但若将最小化浪费的目标也考虑进来也是可以接受的。长凳和桌子的生产数量是独立的。我们把长凳的生产数量称为X1，把桌子的生产数量称为X2，则LP模型就是：

需要用到最后一个约束条件的原因是桌子或长凳的生产数量不可能小于0，由于这只是一个二元问题，我们可以利用图形来解。作法如下：

1.画一个图形（图9.10），以X1为横轴，X2为纵轴（这也就意味着横轴以上、纵轴的右边区域满足非负约束）。

2.对于两个约束条件：

（a）令X1=0，解出X2的值，并标出该点。对于油漆时间约束我们得到（0，120）、（60，0）两点。

（b）令X2=0，解出X1的值，并标出该点。对于打造时间约束我们得到（0，80）、（60，0）两点。

（c）分别将两点用线连起来。

■找出直线的哪一边是可行区域，如果原点（0，0）也满足不等式，那么可行区域应该是包含原点在内的那一边。将这部分区域画上阴影，以显示出可行解所处的区域。

图9.10　图解法（没有按比例作图）

3.找出最优点：

■根据各个约束条件画出阴影部分后，我们就可以找到可行的区域了，在该区域内存在着大量的可能答案。

■给目标函数挑选一个任意值，然后像上面一样解此方程，以便将此目标函数在图中标出来。

■向上移动目标函数曲线直到一个拐点处，即得到该目标函数的最大值，而向相反方向移动可得最小值。这一点就将是最优解点，且其对应的X1和X2值代表的也是最优的。

找出最优点的一种方法是过一个远离原点但仍在阴影区域内的点画一条平行线，即令利润等于100，并解出此时的X1和X2值。在Rustica的例子中，100=9X1+6X2，所以，当X1=0时，X2=16.6；当X2=0时，X1=11.1。然后我们就可以标出这两个点，即（0，16.6）、（11.1，0）。

再回到Rustica的例子中，我们可以通过作几条已标明了在约束条件下可行和不可行解的直线，使用图解法求解。例如，对于第一个约束条件，我们可以根据X1和X2的值，标出一条直线。

如果我们令X1=0，那么X2=120；

如果我们令X2=0，那么X1=60。

把约束条件标在图形上以后，我们就可以看到可行解的区域了。任何一种位于图中阴影区域内的产品组合点都是可行解。为找出最大利润，我们必须用到目标函数。如果我们象征性地令利润等于400英镑，那么，代表目标函数的直线方程是：

400=9X1+6X2

如果我们令X1=0，那么X2=67；

如果我们令X2=0，那么X1=44。

我们同样可以将该直线在图上画出来。为了实现最大利润，我们在约束条件下移动目标函数使之达到最大值。如果是按比例标明图上各点，那么我们就会发现X1=50条是它的解，对应的X2=20张。

因此，Rustica例中的最大利润是9×50+6×20=570英镑，它来自于每周生产50条长凳和20张桌子。

练习9.3

用图解法解下面的线性规划问题。

练习9.4

Dixon和Mason是高档结婚蛋糕的供应商。生产出的蛋糕有两种规格：三层或者四层。两种蛋糕的生产工艺相同。三层蛋糕需要烘烤2小时，准备1小时；四层蛋糕需要烘烤3小时，准备2小时。下一个生产阶段，共有240小时的烘烤时间，140小时的准备时间可用。每个四层蛋糕可以获得25英镑的利润，而每个三层蛋糕可以获得15英镑的利润。列出公式并求解该组合问题的LP模型，找出产生最大利润的最佳蛋糕组合。注意用图解法求解（如前所示）。

9.6　线性规划的假设和应用

线性规划模型使用的限制要求所求问题具有以下特征：

■它是线性的。许多企业的成本在一系列独立的影响要素的约束下，按照一种复杂的方式进行变动，并且一个变量的变动可能会影响到其他变量的变动。

■有单一的目标。很多决策都要牵涉到成本、质量和速度各竞争性目标的协调问题。

■有连续的目标变量。LP模型解的答案常包含有小数，这与实际情况并不一致。

在长期，要想使用这类模型，就要求管理者必须持续对该模型进行完整性复查。正是这个理由，LP模型对于帮助进行持续的项目改进是一件十分有用的工具。但是如果没有对该模型进行持续的、有规律的复查，那么该模型的使用很可能会对企业产生潜在的伤害。

LP模型在短期是最适用的。学习（或者经验）曲线会影响工作时间；机器可靠性会影响产出比率，事实上，许多变量经常相互影响。某件新产品的增长或减少在较长时期内可能会导致顾客忠诚度的增加或减少。

实施LP的一个主要好处就是它能把注意力集中在问题范围以内。越是注意给定的问题，输入模型计算的数据就会越确定，而其结果也会越可靠。LP模型的使用，与其他所有模型一样，并不是替管理者去做决策，而是帮助他们对自己制定的决策结果更加自信，还为管理工作变动提供了证据。

9.6.1　软件

实际情况下，许多LP模型的常规构建和解答都是通过计算机来实现的，为说明软件的使用，我们继续以Rustica的问题为例，通过使用Excel电子数据表解答工具对其进行求解。

电子数据表里的一个单元格一般记为目标单元格。在这个单元格里包括了目标函数，所以我们要在单元格里输入公式并说明这个函数要求的是最大值还是最小值。

表9.4的公式是：

=9*$D$4+6*$E$4

然后，我们把需要变化的单元格进行赋值，本例中只有两个参数：长凳和桌子，X1和X2。

我们在输入约束条件时，要与先前的方法有细微的不同，我们把非独立的变量先输进去，并让其占一格，如表9.4所示，在解答工具里我们可以把约束条件赋值为：

$H$4≥2*$D$4+$E$4

$H$5≥4*$D$4+3*$E$4

$D$，$E4，≥0

当把问题赋值完毕以后，我们按下Solve键，则答案就会显示在目标单元格里。和前面计算结果一样，企业通过生产50条长凳和20张桌子取得570英镑的利润。

表9.4　线性规划应用解答

练习9.5

试着把练习9.4用Excel系统里的解答工具表示出来。

小结

程序化决策在日常的、有规律的和无争议的决策类型制定中是很常见的。当管理人员把该领域的决策作为他们正常事务的一部分，且做起来又费力又费时的时候，建立这样一种方法的必要性就增大了。这类模型的建立往往要以专业人员在实验和数学方面的潜在工作为基础。一旦模型建立成功，它还需要进行维护。许多企业并未如它们能做的那样来做这项工作的原因在于，常规决策制定所需的数据和模型要么过时，要么已不能代表变化了的环境。

管理科学中对决策制定最有用的方法之一就是线性规划。许多方法的起始点就是线性规划，它们主要用于帮助我们说明当有了确定的信息时的行动过程。我们需要清楚地了解模型的目标和其服从的约束条件。确定性模型常用于求解分配问题，如要生产的产品数量或运输车辆的路线。当模型在有规律的原则下使用时，我们还要注意确保与时间保持一致。

决策日记

回忆一下你最近所遇到的决策情景，看看是否可以利用LP模型方法进行解决？试将之表达成一个模型并求解。

参考文献

Goldratt，E.（1993）The Goal.Aldershot：Gower.

Teale，M.W.（1999）“Supply chain management”，in Greasley，A.（ed.），Operations Management in Business.Cheltenham：Stanley Thornes.

Turton，R.（1991）Behaviour in a Business Context.London：Chapman & Hall.

扩展阅读

Anderson，D.R.，Sweeney，D.J.and Williams，T.（1991）An Introduction to Management Science.St Paul，MN：West Publishing.

Goldratt，E.（1993）The Goal.Aldershot：Gower.

Taylor，F.W.The Principles of Scientific Management.New York：Harper & Row.

Turton，R.（1991）Behaviour in a Business Context.London：Thomson Business Press.

Vonderembse，M.A.and White，G.P.（1996）Operations Management：Concepts，Methods and Strategies.St Paul，MN：West Publishing.

重点词汇

正态分布：统计学中使用最广泛的连续性概率分布就是正态概率分布。该曲线呈典型的钟形，它代表均值为μ，标准差为σ时的概率分布。正态分布的概率可以通过使用标准正态分布表进行计算，其中正态分布的均值μ=0，标准差σ=1。该曲线一般用于计算某个给定系统成功或失败可能性的大小问题。例如，库存控制中的存货用尽可能性大小；如果存货高于均值的标准差是2，那么它的可能性大小就等于2％。

敏感度分析：用于计算一个公式里输出的结果如何随输入参数的变化而变化的一项技术。

附录　选做练习答案

练习9.3

首先，画一个图形，以X和X2（通常是Y）分别表示两个轴线，并以此表示非负约束条件。

第二步，对于每个约束条件，即约束条件1，如果X1=0，那么X2=3；如果X2=0，那么X1=6，可得两点（0，3），（6，0）。在图上标出两点并连接两点，该直线便形成了第一个约束条件的界限。

再解第二个约束条件。可得点（0，6）和（4，0），然后画出第二条直线。

然后来画目标函数曲线。给该函数选一个合适的值，如6：

6=3X1+3X2

由此可得点（0，2）和（2，0），画出该直线。

平行移动该目标函数直线直到它位于约束条件的界限上为止。

本例中，可行解之一就是：X1=6和X2=4，对应的目标值是12。

练习9.4

设三层蛋糕为X1，四层蛋糕为X2。

目标函数：

若我们令利润=300，那么我们就可以得到目标函数曲线上的两点（0，12）和（20，0）。

我们最后得到的答案可以是56个三层蛋糕和42个四层蛋糕，对应的利润是1890英镑。

我们可以通过将以上各值代回到约束条件中去来检验并保证它们的真实性。本例中，我们的烘烤工序中存在松弛部分，即：

2×56+3×42=238，烘烤工序中的松弛部分为2，

且有：

56+84=140，准备工序中没有松弛部分。

这说明了图解法虽然好用，但并不是完美的。练习9.5的最佳组合解如下表所示，该图附有解答工具及答案。它意味着生产60个三层蛋糕和40个四层蛋糕就可以获得1900英镑的利润。

练习9.5