发展对象本人现实表现

第十四章　阿罗不可能定理

前文曾经多次提到，遵循公共选择经济学的研究框架，学者们在探究各种集体选择过程的时候，总是会受到循环问题的困扰。从西方政治学、社会学和经济学发展的历史来看，人们对于循环问题的关注由来已久。早在1785年，马尔基·德·孔多塞就曾经分析过，委员会采取简单多数规则可能会导致循环问题的出现。一个世纪以后，C.L.道奇森（1876）又重新研究了这一问题。邓肯·布莱克（1948b）的研究成果也表现出他对于循环问题的浓厚兴趣。其后，肯尼斯·约瑟夫·阿罗（1951）的相关论述更是引起了众多经济学流派的广泛关注，并且使得循环问题成为公共选择经济学研究领域中一个无法绕开的重要问题。虽然詹姆斯·布坎南曾经多次强调，阿罗的全部努力都在于寻找某种形式的社会福利函数。阿罗（1951，中文2000年版，第13页）本人的论述也的确是在福利经济学的研究框架下展开的，他在《社会选择：个性与多准则》一书中曾经明确指出，“从个人愿望中如何实现社会最大化的问题就是目前福利经济学的中心问题”。但是，即便如此，也不能忽视阿罗所关注的问题及其研究成果对于公共选择经济学具有的重要意义和产生的重大影响。

第一节　阿罗关注的问题

阿罗（1951）关注的问题是，给定所有备选的社会状态，是否能够从所有个人的偏好序i出发为整个社会寻找到某种“社会序关系”，^[1]其中i= （1，2，…，n），n为经济中的个人人数。如果能够从整体上为社会寻找到某种序关系，我们就说，存在着符合这一序关系的社会福利函数。根据阿罗（1951，中文2000年版，第37页）在他的著作《社会选择：个性与多准则》中给出的定义，“社会福利函数是指这样一个过程或规则，对各社会状态的每一个个人序关系”的集合，都“有一个相应的备选社会状态的社会序关系”。由此看来，的确像布坎南所指出的，阿罗的全部努力都在于寻找某种形式的社会福利函数。

无论如何，阿罗秉承的个人观念仍旧是西方主流经济学的“经济人”假设，因此，他在构建理论体系时，也同样面临着如何为处于某一集体选择过程中的“经济人”引入相关约束条件的问题。但是，阿罗关注的焦点毕竟与布坎南等人不同。布坎南致力于解释那些约束“经济人”行为选择的条件——相应的制度规则产生的原因。阿罗关注的问题是，给定相应的制度规则，能否为整个社会寻找到某种序关系，进而是否存在某种制度规则，使得我们能够从所有个人的偏好序出发为整个社会寻找到某种合理的“社会序关系”。正因为如此，阿罗总是在一开始就谈到相关的制度规则。在他看来，目前世界各国普遍采用的集体选择方式大致可以分为以下四种：

一是遵守某种投票规则。这种方式通常出现在民主国家中个人参与某一集体选择过程的时候。

二是服从市场机制的作用。这种方式通常出现在个人做出经济决策的过程中。

三是服从独裁统治。个人完全服从由某一统治者或某一占统治地位的小团体做出的决策。

四是采用传统的方法。个人完全服从传统规则，比如宗教法规等，由那些包罗万象的传统规则做出社会决策。

阿罗认为，在那些服从独裁统治或者采用传统方法的社会中，理论上不会出现个人意愿发生相互冲突的情况。遵循某种投票规则或者服从市场机制的作用，这两种集体选择方式都要综合考虑所有个人的偏好序，因而必须注意个人意愿发生冲突的可能性。由于存在个人意愿发生冲突的可能性，学者们在研究投票规则和市场机制约束下的个人行为选择时，就会遇到是否能够从整体上为社会设定某种形式的序关系的问题。阿罗（1951，中文2000年版，第12页）在《社会选择：个性与多准则》一书中曾经明确指出，他致力于研究的问题可以被表述为，试图“在形式上”“构造一个由已知的个人嗜好集合到社会决策模式的过程，并且使得这一过程满足一定的自然条件”。当然，阿罗的很多论述都特别关注投票规则，特别是简单多数规则约束下的个人行为选择，他在福利经济学的研究框架下对于“社会序关系”——社会福利函数存在性的探究，与公共选择经济学中的循环问题相互呼应。所有这一切都决定了，对于阿罗不可能定理的理解和反思，构成了公共选择经济学中不可或缺的一个环节。

第二节　假设条件

在具体展开论述之前，阿罗先讨论了他所遵从的若干假设条件。首先，阿罗假设所有个人的偏好都是稳定的，不会随着决策过程的变化而变化。^[2]其次，阿罗认为，那种坚持主张个人偏好之间具有某种可比性的做法不具有任何意义。此外，阿罗阐述一般可能性定理时还尽量避免对个人的策略性行为进行分析，他关注的是，给定所有个人的偏好序，是否能够寻找到某种“社会序关系”来描述集体选择的结果，而不在于对处于某一具体的集体选择过程中的个人行为选择进行分析。正像阿罗（1951，中文2000年版，第18页）在《社会选择：个性与多准则》一书中强调的，他的研究仅仅局限在“集体社会选择的形式方面”。

阿罗认为，从所有个人的偏好序出发所得出的“社会序关系”还必须“满足一定的自然条件”才会有意义。^[3]给定备选对象集合X，阿罗要求所得出的“社会序关系”，即某种形式的社会福利函数必须能够满足三个理性公理假设：

理性公理假设Ⅰ（完备性假设）：对于集合X中的任意两个备选对象x和y，^[4]由某一集体选择过程得出的“社会序关系”或者满足xy，或者满足x刍y，或者有二者同时成立。

除此以外，阿罗还要求所得出的“社会序关系”，即某种形式的社会福利函数必须满足以下的五个假设条件：

条件Ⅲ：对于由n个备选对象组成的任意集合X，任取集合X中的k个元素组成集合X1，我们用xj表示集合X1中的任意备选对象，xj∈X1，且j=（1，…，k）；我们用x－j表示属于集合X却不属于集合X1的备选对象，x－j∈X，x－j埸X1。那么，经济中的每一个人进而整个社会对集合X1中的所有备选对象进行排序时，其排序结果将与集合X1外的备选对象x－j无关。这一条件也被称为无关备选对象的独立性假设。

阿罗也意识到，现实生活中总是存在许多不满足无关备选对象独立性假设的情况，比如通过加总所有运动员得分来决定运动队成绩的体育规则，^[5]在各种类型的俱乐部中常常会采用的不同形式的分级排序法，等等。下面我们通过一个简单的例子，来尝试说明委员会采用分级排序法可能会导致不满足无关备选对象独立性假设的结果。假设存在三位投票人a、b、c，以及一个由四个备选对象x1、x2、x3、x4组成的集合X。其中，a关于四个备选对象的偏好序为x1ax2ax3ax4，b关于四个备选对象的偏好序与a完全相同，采取x1bx2bx3bx4的形式，c关于四个备选对象的偏好序为x3cx4cx1cx2。当委员会采用分级排序法对x1、x2、x3、x4进行讨论的时候，令在每一位投票人的偏好序中排在第一位的备选对象得分为4，排在第二位的备选对象得分为3，排在第三位的备选对象得分为2，排在第四位的备选对象得分为1，这样我们就得到了博尔达计票法。^[6]加总每一个备选对象的得分，在博尔达计票法的约束下，x1将成为最终的社会选择结果。但是，如果把备选对象x2从集合X中排除出去，由余下的三个元素x1、x3、x4组成新的备选对象集合X1。当委员会采用博尔达计票法对x1、x3、x4进行讨论的时候，令在每一位投票人的偏好序中排在第一位的备选对象得分为3，排在第二位的备选对象得分为2，排在第三位的备选对象得分为1，加总每一个备选对象的得分，根据博尔达计票法，x1和x3都将成为最终的社会选择结果。可见，在上述例子中，依靠特殊的分级排序法——博尔达计票法所得出的社会选择结果违反了无关备选对象独立性假设的要求。虽然现实生活中存在着不满足条件Ⅲ的情况，但是，包括阿罗在内的许多经济学家还是强调，无关备选对象的独立性假设应该被看做是约束“社会序关系”的一项“自然条件”。

条件Ⅳ：所得出的“社会序关系”是非强加的。

所谓强加的“社会序关系”指的是下述情况，无论所有个人的偏好序采取何种形式，根据“社会序关系”，对x和y两个备选对象都有xy成立。

进一步考察条件Ⅱ和条件Ⅳ，其中条件Ⅱ要在“社会序关系”与个人偏好序之间建立起某种正向联系，条件Ⅳ则排斥了对个人选择的任何强制行为，认为社会选择的结果取决于经济中所有个人的行为选择。正像许多学者强调的，条件Ⅱ和条件Ⅳ表达了一种公民主权的思想。

条件Ⅴ：所得出的“社会序关系”是非独裁的。

所谓独裁的“社会序关系”指的是下述情况，经济中存在个人i，使得对于任意两个备选对象x和y，不管所有其他个人的偏好序采取何种形式，只要i的偏好序满足xiy，在“社会序关系”中就有xy；只要i的偏好序满足x刍iy，在“社会序关系”中就有x刍y成立；只要i的偏好序满足x～iy，在“社会序关系”中就有x～y成立。此时称i为独裁者，i个人的偏好序i同时也代表了“社会序关系”，i个人的效用函数也就是社会福利函数。

第三节　阿罗不可能定理

人们通常把阿罗的研究成果称为阿罗不可能定理，阿罗本人则把它称为社会福利函数的一般可能性定理。

一、阿罗不可能定理

阿罗在上述假设条件的基础上，进一步探讨了是否能够从经济中所有个人的偏好序i出发得出某一“社会序关系”，其中i=（1，2，…，n）。按照备选对象的数量，阿罗分别在两种情况下讨论了社会福利函数的一般可能性定理：其一是只存在两个备选对象的情况；其二是存在两个以上备选对象的情况。我们的叙述也将遵循阿罗的做法渐次展开。

作为阿罗列出的若干“自然条件”中的一项，条件Ⅰ要求，备选对象集合X中至少存在三个元素x、y和z，并且不能以任何形式限制任何个人关于x、y和z三个备选对象的偏好类型，也就是说，所有个人偏好序的集合是相当宽泛的。但是，当集合X中只有两个备选对象x和y时，阿罗认为，我们不必对任何个人的偏好序i采取任何形式的限制，就能够找到某种序关系，用以描述整个社会在x和y两个备选对象之间进行的选择，其中表示从所有个人的偏好序i出发得出的“社会序关系”，虽然该“社会序关系”不满足条件Ⅰ的要求。

定理14.1（两个备选对象的可能性定理）：如果给定备选对象集合X，X中只存在两个元素x和y，且x≠y，那么，采用简单多数规则的社会选择过程将会得出某一“社会序关系”，使得该“社会序关系”能够满足三个理性公理假设和条件Ⅱ~条件Ⅴ四个假设条件的要求。

阿罗（1951，中文2000年版，第68页）还发现，即便放松只存在x和y两个备选对象的假设，“对任何备选对象空间，少数服从多数的决策方法”都能够帮助我们寻找到满足三个理性公理假设和条件Ⅱ～条件Ⅴ四个假设条件的“社会序关系”，但该“社会序关系”要求对所有个人的偏好类型施加适当的限制，从而不满足条件Ⅰ的要求。阿罗的相关论述让我们回想起第七章曾经介绍过的简单多数规则定理（定理7.3）。该定理要求对所有个人可能存在的偏好类型进行适当的限制，除了完备性、自返性、传递性三个理性公理假设以外，个人的偏好序还要同时满足极值限制公理假设的要求。根据简单多数规则定理，适当地限制所有个人的偏好类型，在采用简单多数规则的条件下，可以从所有个人的偏好序i出发得出某一“社会序关系”。进一步分析还可以发现，所得到的“社会序关系”能够与所有个人的偏好序i之间建立起某种正向联系，同时也能够满足无关备选对象的独立性假设，并且既不是强加的，也不是独裁的，可见，这样得到的“社会序关系”能够满足三个理性公理假设和条件Ⅱ～条件Ⅴ四个假设条件的要求。

除了上述只存在x和y两个备选对象的特殊情况外，更为重要的是，阿罗还讨论了在至少存在三个备选对象的情况下，是否能够从所有个人的偏好序i出发得出某一“社会序关系”。他把自己的研究成果称为社会福利函数的一般可能性定理。

定理14.2（社会福利函数的一般可能性定理）：给定备选对象集合X，且X中至少存在x、y和z三个元素，假设依靠给定的制度规则可以寻找到某一“社会序关系”，如果该“社会序关系”能够同时满足三个理性公理假设和条件Ⅰ～条件Ⅲ三个假设条件的要求，那么，一定是强加的或者是独裁的。

二、阿罗不可能定理的简单证明

下面我们先来介绍阿罗在证明一般可能性定理时曾经用到的一个非常重要的概念。

下面我们来简单梳理一下一般可能性定理的证明过程，阿罗是利用反证法来证明上述定理的。

给定某一备选对象集合X，且集合X中至少存在x、y和z三个备选对象。给定某一制度规则，^[7]当不约束所有个人偏好序i的时候，假设一般可能性定理描述的不相容情况不会发生，依靠给定的制度规则能够寻找到某种“社会序关系”，使得对于备选对象集合X中的任意两个元素x′和y′，且x′≠y′，都有x′y′，或者x′～y′，或者x′刍y′成立，并且该“社会序关系”能够同时满足三个理性公理假设和条件Ⅰ～条件Ⅴ五个假设条件的要求。

根据条件Ⅰ，备选对象集合X中一定存在x、y和z三个元素，使得我们能够不限制任何个人关于x、y和z可能存在的偏好类型。依照给定的制度规则，对x、y和z中的任意两个备选对象x′和y′，且x′≠y′，都能够找到由某些个人组成的集合，使得只要该集合中的所有个人都认为x′iy′，即便集合外的所有个人都认为y′-ix′，也一定会有“社会序关系”满足x′y′，也就是说，该集合对于判定x′y′是决定性的。因为对x、y和z中的任意两个备选对象，有xy，yx，xz，zx，yz和zy六种排序，针对其中的每一种排序，都可以找到对于判定该排序是决定性的集合。在六个集合中挑选出某一由k个人组成的集合V，其中k≤n，n为参与社会选择的个人人数，且V是所有六个集合中其成员人数最少的一个。根据条件Ⅴ，一定有k>1成立，否则，所得出的“社会序关系”将会是独裁的。

假设集合V对于判定xy是决定性的，只要V中的所有个人都认为xiy，即便V之外的所有个人都认为y-ix，也一定会有“社会序关系”满足xy，其中i代表集合V中的任意个人，－i代表集合V之外的任意个人。

任取集合V中的任意一位个人组成集合V1，令V2为集合V中除去V1以外的所有其他k－1个个人组成的集合，V3为经济中除集合V以外的所有其他n－k个个人组成的集合。引入备选对象集合X中的另外一个元素z，且z≠x，z≠y，假设V1中的个人关于x、y和z的偏好序可以表示为：

x1y1z 　　　　　　（14.1）

V2中的所有k－1个个人关于x、y和z的偏好序可以表示为：

z2x2y 　　　　　　（14.2）

V3中的所有n－k个个人关于x、y和z的偏好序可以表示为：

y3z3x 　　　　　　（14.3）

因为假设依靠给定的制度规则所得出的“社会序关系”能够满足条件Ⅰ的要求，根据条件Ⅰ，不限制任意个人关于x、y和z三个备选对象的偏好类型，所以，如（14.1）式、（14.2）式、（14.3）式所描述的个人偏好序是允许存在的。

考虑x和y两个备选对象，因为集合V1中的个人其偏好序为x1y，集合V2中的个人其偏好序为x2y，集合V3中的个人其偏好序为y3x，又因为假设由V1和V2组成的集合V对于判定xy是决定性的，所以有“社会序关系”满足：

xy　　　　　　（14.4）

进一步考虑y和z两个备选对象，因为集合V1中的个人其偏好序为y1z，集合V3中的个人其偏好序为y3z，集合V2中的个人其偏好序为z2y，如果所得出的“社会序关系”满足zy，就说明集合V2对于判定zy是决定性的。又因为前文假设针对x、y和z中任意两个备选对象的任意排序，都能找到对于判定该排序是决定性的一个集合，其中，集合V中的个人人数为k，是我们能够找到的六个类似的决定性集合中人数最少的一个，而且，根据条件Ⅱ的要求，在“社会序关系”与个人偏好序之间存在着某种正向联系，所以，由k－1个个人组成的集合V2对于判定zy不可能是决定性的。可见，当集合V1中的个人偏好序为y1z，集合V3中的个人偏好序为y3z，而只有集合V2中的个人偏好序为z2y时，zy不可能成立，此时有“社会序关系”满足：

根据前文假设，依靠给定的制度规则所得出的“社会序关系”还必须具备有传递性，并且符合条件Ⅲ——无关备选对象独立性假设的要求，所以，由（14.4）式和（14.5）式可知，关于x、y和z三个备选对象的“社会序关系”可以写为xyz。这就要求人们在比较x和z两个备选对象的时候，一定有下式成立：

xz 　　　　　　（14.6）

重新考虑前文列举的所有个人的偏好序，只有集合V1中的个人其偏好序采取x1z的形式，对于集合V2和V3中的所有个人都有z2x和z3x成立。可见，若要使得（14.6）式成立，就必须承认集合V1对于判定xz是决定性的。又因为前文假设，依靠给定的制度规则所得出的“社会序关系”还能够同时满足条件Ⅳ和条件Ⅴ的要求，既不是强加的，也不是独裁的，如果承认集合V1对于判定xz是决定性的，那么V1中就不可能只有一个人，这一结论与前文假设V1是由V中的某一个人组成的集合相互矛盾。可见，对于任意三个或三个以上的备选对象，如果依靠给定的制度规则能够寻找到某一“社会序关系”，那么，该“社会序关系”不可能既满足三个理性公理假设和条件Ⅰ～条件Ⅲ三个假设条件的要求，同时又是非强加的和非独裁的。

根据一般可能性定理，不存在任何机制能够帮助我们寻找到同时满足三个理性公理假设和条件Ⅰ～条件Ⅴ五个假设条件的“社会序关系”，社会福利函数的存在并不是必然的。如果要使得某种形式的社会福利函数存在，就要破坏三个理性公理假设和五个假设条件中的一项或几项。包括阿罗在内的许多经济学家都主张适当地放松条件Ⅰ的约束，借此确保某种形式的“社会序关系”，即社会福利函数的存在。在他们看来，如果某些个人关于备选对象的偏好序不被社会所容许，他们为了避免引致对自己更加不利的结果，就很有可能会选择隐瞒真实的偏好情况，从而使得条件Ⅰ在一开始就不必得到满足。

第四节　简单评价

从阿罗关注的问题和研究视角来看，他与包括布坎南在内的众多公共选择经济学家一样，也继承了西方主流经济学的“经济人”假设和方法论个人主义原则。阿罗与公共选择经济学家的另一个共同点在于，他们都对某些社会选择过程，特别是那种流行于欧美各国的受某些投票规则约束的民主政治倾注了学术热情，虽然公共选择经济学更加明确地把自己的研究局限在政治领域。

阿罗的一般可能性定理与公共选择经济学中的循环问题关注的是大致相同的问题，虽然阿罗提出的命题要更加宽泛。一般可能性定理认为，不存在任何机制能够帮助我们寻找到符合若干“自然条件”的“社会序关系”，社会福利函数的存在并不是必然的。而循环问题则强调，在简单多数规则的约束下，投票过程存在着无法选出最终获胜议案的可能性，委员会关于所有备选议案的排序可能不具有传递性。而这又进一步说明，简单多数规则不能帮助我们寻找到符合若干“自然条件”的“社会序关系”，使之能够描述委员会的投票结果。

基本概念和术语

“社会序关系”社会福利函数　完备性　自返性　传递性　无关备选对象的独立性　强加的“社会序关系”独裁的“社会序关系”阿罗不可能定理

思考题

1.请比较阿罗眼中的社会福利函数与西方经济学传统的关于社会福利函数的认识有何不同。

2.请简单介绍两个备选对象的可能性定理及其内涵。

3.请简要说明，在阿罗的研究框架内，如何断定由某些投票人组成的集合对于判定某一“社会序关系”是决定性的。

4.请简单介绍阿罗不可能定理，并谈一谈您的看法。

【注释】

[1]为方便起见，本章用i来指代任意个人i的偏好序，用来指代“社会序关系”。

[2]假设个人的偏好是稳定的，这一做法通常能够得到大多数经济学家的认可，虽然有很多学者在分析具体问题的时候常常偷偷放松这一假设条件，还有诸如凡伯伦、克拉克、奈特等学者坚持认为，关于个人偏好稳定性的假设与客观的现实情况并不相吻合。

[3]通常情况下，要求讨论过程中论及的各个层次上的行为主体都符合与“经济人”相同的行为假设，包括完备性、自返性、传递性等理性公理假设，这在西方主流经济学的研究框架内被许多学者认为是必须遵守的。正像罗斯柴尔德（1946～1947，第50页）曾经强调过的，“除非各经济单位都按照某种理性模式来行事，否则就不可能从一些假设中得出一般性的理论”。当然，除了完备性、自返性、传递性等理性公理假设外，阿罗还要求所寻找到的“社会序关系”满足其他五个假设条件。

[4]阿罗在福利经济学的研究框架下通常把我们这里所说的备选对象表述为各种备选的社会状态。在公共选择经济学的研究框架下，这里所说的备选对象通常被表述为不同的备选议案，或者参与竞选的候选人。

[5]亨廷顿（1938）曾经分析过类似的体育规则。

[6]前文曾经提到过，博尔达计票法是分级排序法的一种特殊形式。

[7]遵照阿罗的研究思路，当提及某一制度规则的时候，指的可能是某种投票规则，也可能是市场机制。当然，在公共选择经济学的研究框架下，我们更加关心的是身处政治领域并且受各种制度规则，特别是某种投票规则的约束下，所有个人的行为选择及其导致的政治结果。