储油罐的变位识别与罐容表标定方法

储油罐的变位识别与罐容表标定方法

储油罐的变位识别与罐容表标定方法^[1]

赵佩珊　高　沛　赵　静

摘　要:本论文针对地下储油罐在日常生活中易发生变位的实际情况，建立合乎题意并符合实际情况的假设，利用积分的基本原理组建模型。

解决问题一时，先对模型的椭圆侧面积分，然后再在垂直于椭圆侧面的方向进行重积分，得到模型未发生位变时所含油体积V。对于发生位变的模型，算法与未发生位变模型类似，只是椭圆侧切面右面高度是以测量高度H为参数的函数。借助MATLAB和Excel软件处理附件1中的数据得到所求罐容表。

解决问题二时，将模型分割成为圆柱体和球冠体两部分。发生位变时，圆柱体内油体积V₁的计算与解决问题一时所用算法类似。计算球冠体内含油体积V₂时，对发生变位时，球冠体内油面高度做出合理假设，然后积分得到V₂。则储油罐内含油总体积V = V₁+ V₂。

借助计算机软件处理附件中的数据得到罐内油的体积V。与实际测量值比较，V误差极小。同时，我们使用计算机技术对附件2中的数据依照所组建模型进行处理，得到参数α约为0.488 74，参数β约为10.5，借助参数，依照所组建模型得到问题二所求罐容表。

关键词:油量测量;变位参数;积分求解;模型分割;灵敏度分析。

一、前言

加油站的地下储油罐在使用一段时间后，由于一些自然因素^【1】(如地壳运动、地表沉陷等地质变化)或者一些人为因素(如过度抽取地下水导致土壤松动)造成地下储油罐发生变位(横向变位和纵向变位) ，使罐容表发生改变，如不及时调整罐容表，就会使测量不准，从而会影响到加油站的正常工作和经济效益。

在这种实际背景下提出问题一和问题二。在题目所给环境下，问题一的小椭圆型储油罐只发生纵向偏转，而问题二则在问题一的基础上进一步深化，即为横向偏转和纵向偏转同时发生.这就要求我们建立合适的数学模型，就储油罐变位情况进行深入分析，找出罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度α和横向偏转角度β)之间的一般关系，以便及时调整罐容表，满足实际问题的需要。

根据问题的实际背景，我们翻阅了大量相关文献如《卧式油罐容积检定计算疑难点的探讨》^【2】等，发现虽然很早之前就有很多人研究油罐剩余油量体积的计算问题，并且对于椭圆型油罐和题中所示的油罐剩余油量体积的计算问题都有大量的研究，并且各个学者也提出了不同的数学模型来实现体积的计算，但是这些研究并没有完全考虑地下油罐变位的情况，并且在计算时，储油罐模型过为简单。

但是变位问题又是实际应用中时常发生的问题，这就需要我们综合考虑，给出不同的计算函数，使得在更为平常的情况下，罐容表都能够实时更新，提高测量的准确度。

我们由此出发，对于不同的椭圆型油罐和一般型油罐，根据实际情况，提出了自己的模型方程.这样在大量的测量数据下，我们得到参数α、β的值，利用参数我们确立了相关模型。

经过大量的模型分析，较全面的评判了所组建的模型，显示出所组建模型在实际情况中的可行性。

二、模型假设与符号说明

(一)模型的假设

1.问题一中的变位仅为纵向倾斜

2.储油罐厚度忽略不计

3.储油罐外温度气压的变化对油罐内油的体积没有影响

4.问题二中为计算方便，假设储油罐球冠体中油面高度均为圆柱体两底切面所在处所示高度的平均值

5.问题二中纵向倾斜与横向偏转均存在，纵向倾角为α，横向偏转角度为β

6.储油罐中液体分布均匀，无黏性

(二)符号说明

其中从1到12是问题一中的符号，12之后为问题二中的符号:

1.H——游标测出的液面高度

2.a——椭圆剖面的长半轴长

3.b——椭圆剖面的短半轴长

4.L——平头椭圆油桶的长度

5.E——油面与椭圆短轴的交点

6.D——油液的底端端点

7.C——油面上任意一点在椭圆短轴上的投影

8.F——游标与罐底的交点

9.M——椭圆短轴的上端点

10.N——椭圆长轴的左端点

11.P——椭圆长轴的右端点

12.l——沿罐底方向，油面上任意一点投影到罐底的那个点与D点之间的距离

13.h₀——从圆柱底面横截面处直接测量的油面高度

14.H₀——从油位计所在的横截切面直接测量的油面高度

15.H_C——油位计显示的高度

16.R——横截面(即两端球体)半径

17.α——纵向倾斜角

18.β——水平偏转角度

19.V₁——圆柱部分的储油量

20.V₂——球体部分的储油量

21.x——x轴上任取一点x，便于以后得到对应的h和S_h

22.h——对于每个底面x它所对应的油面高度

23.S_h——对于每个底面x它所对应的油面横截面面积

24.S弓——对于每个底面x它所对应的油面上空间所形成的横截面的面积，便于计算S_h

25.π——圆周率

26.c——两端椭圆半球体的厚度

27.h₁——另一个地面的横截面测量的右面高度

28.h——根据假设4，为(h₀+ h₁) /2

29.S_y——图7中所示，球体合体垂直于y轴的横截面面积

30.V——实际油罐中的储油量

三、模型的组建

(一)对问题一的求解

1.对无变位情况的分析

图表1　不变位情况下的剖面图

由图表1可知，此椭圆的标准方程为

此时，过线段EF作垂直于椭圆切面的切面，将储油罐切成一矩形薄切面，设此切面有油部分的面积为S(y) 。

由题意可知，在油罐不发生变位的稳定情况下，S始终为矩形，则此矩形切面的面积S (y)=2x L。

已知x 且，即C点坐标为C (0，H-b) ．

我们沿y轴对面积S(y)积分得油液的体积V(H)

由换元法对上式积分得，

所以，无变位情况下所测量的油位高度H与油的体积V(H)之间的函数关系

2.只考虑纵向倾斜情况的分析

得出没有发生变位的小椭圆型储油罐模型之后，对于发生纵向储油罐模型就更容易理解、分析和总结。

如图表2所示，我们可以将油罐纵向切开，对于任意一个切面，都可以对应于图2中的一个切面。设其高度CD为h(l) ，其中h(l)是关于l的一个函数。

显然，我们沿着平行于椭圆型的面纵切储油罐得到如图表2所示截面，线段CD的长度在不同位置，长度虽然不同，但是该高度是沿着储油罐底部是连续变化的。然后我们从储油罐的另一切面分析，另一切面如图表3所示:

分析图表3，经过几何变换，相似三角形等，利用已知量可以得到h(l)与l之间的函数关系:

设线段DF的长度

DF = n，则EG = ntanα。

由图可知:所以

图表2　椭圆的切片截面

图表3　椭圆油罐截面示意图

由此可以推导出h(l)与l之间的函数关系为:

h(l) = H + (n- l) tanα(2)

由椭圆公式

∴△OAB的面积

将x，y带入，可得

由椭圆的扇形面积公式^［3］得，小扇形OBP的面积S_小扇形OBP为arccos，将x带入得

由对称性可得OAN的面积S_小扇形OAN= S_小扇形OBP。

由图可知，油截面在椭圆上投影的面积S(l)为

S(l) =S_椭圆+ S_△OAB+ S_小扇形OBP+ S_小扇形OAN。

即:

沿l方向对S积分即可得到油量V

由(2) 、(3) 、(4)式，用Matlab软件即可得到某一高度H与对应的油的体V(H)之间的函数关系^［4］。

(二)对问题二的求解

1.对存在两种变位的实际储油罐的分析

对于实际储油罐变位后所测量的油面高度H与当时所储油的体积V的关系分析，我们首先从无变位开始分析。

对于无变位的实际储油罐，我们可以将其结构简化为如图:

此时，我们可以将其中所处的油看作两部分的和，中间的圆柱体内所储存的油的体积为V₁，两端的圆冠头拼起来共存储的油的体积为V₂，则该实际储油罐内所储存的油的总体积V为:V = V₁+ V₂

图表4　实际储油罐模型简化图

图表　5V₁

并且，该实际储油桶的侧切面为图表7所示。

观察图形，我们发现，V₁的体积很容易由问题一中的公式(1)得出，即公式(1) :

图表6　V₂

图表7　储油桶侧切面

若将公式(1)运用于该问题中，则公式(1)中:

a = b = r

则此问题中测量油面高度H与储油桶内所储存的油的体积V关系为:

接着分析两端球冠体内所储存的油的体积，对组合图形进行积分:

经过计算得:

即为实际储油桶的油位探针测出油位高度H时，储油桶内所储存油的体积V = V₁+ V₂。

通过对实际储油罐静止状态的分析所得出的模型，对我们研究实际储油罐发生变位的情况提供基础和思路。

因此，我们在分析研究实际储油罐变位状态情况的时候，也将整个储油罐划分为圆柱和球冠体两部分来简化问题。

a.圆柱体部分储油量:

①当h₀≥R且H₀≥R时，

由图表9可知H₀= h₀－2tanα

(7)

图表8　油罐侧面截面

图表9　截面

将圆柱体中油的部分提出，放在如下坐标系中，

结合图表9可知，h = h₀－ xtanα(10)

图10中油柱的横截面如下图所示:

图表10　油柱立体示意图

图表11　截面示意图

由图表10和图表11可知，

将(10)代入(12)得，

又由公式(9) ，可知h₀= H_Ccosβ- Rcosβ + R +2tanα，代入，进一步可得，

因为

由以上公式(13)可知，代入(14)可以最后消去x，得到一个只由H_C，α，β表示V₁的函数，即V₁= V(H_C， α， β)

②当h₀≥R且H₀＜R时，

图表12　截面示意图

对于公式(14) ，可以得出:此时

同时又知，h₀= H_Ccosβ- Rcosβ +2tanα + R，代入(15) ，得:

同理可得另一个V₁= V' H_C，α，()

β

③当h₀＜R时，H₀一定＜R，解答过程同情形②最后解出上式为，

b.球体部分储油量:

在假设4的前提下，结合图表9分析，建立如下图所示的模型

图表13　侧面与正面合并视图

因此可以算出:

所求的实际储油罐内储存油的体积V(H， α， β) = V₁+ V₂。

四、模型分析和检验

(一)对问题一无变位情况的分析和检验

为了研究储油罐发生变位对其罐容表的影响，我们对问题中的小椭圆型储油罐分析，建立了当小椭圆储油罐稳定时，即未发生变位时的模型，得到了如下式子:

我们用附件1中的数据检验该模型，得到如下图形和数据对比:

表格1　问题一无变位情况模型数据与实测数据对比

续表

图表14　问题一无变位情况模型数据与实测数据对比图

根据图表14和表格1，我们可以看出我们所建立的模型:

与实际情况很接近，误差很小，这说明我们很好的理解了题意，这为后来继续的运算奠定了基础。

(二)对问题一仅存在纵向倾斜变位情况的分析和检验

在问题一稳定模型的基础上，进一步分析模型，通过积分等算法，我们得到了该储油罐发生纵向偏移时的数学模型:

测试数据与实际数据的对比如图所示:

图表15　问题一纵向变位下测试数据与实际数据对比图

部分数据对比如下表格所示:

表格2　纵向变位下的数据对比

续表

我们可以看出，误差较小.模型还是具有一定的可用性的。

(三)对问题二既有横向变位又有纵向变位情况的分析和检验

于是，我们在模型稳定的基础上延伸，推导出了当模型处于变位情况时的数学模型:

V(H， α， β) = V₁+ V₂

其中:

显然，此时我们所建立的模型计算量大且复杂，用计算机软件实现有较大的困难，无法将数据代入公式中测试所需结果。

于是，我们对V₁进行了进一步分析，建立起三维坐标系，并且查阅相关文献资料 ^【5】 ，最终整理出:

V = V₁+ V₂

计算值与测量值之间的关系如图:

图表16　稳定时模型与显示油量对比图

其中的跳跃部分为向储油罐中一次加入一定量的油，之后再逐步抽取一定量油继续测量。

所组建的相应模型计算值与油实际测量值对比数据如图(部分) :

表格3　问题二中的数据对比

(四)对问题二所组建的模型灵敏度分析

首先，我们用参数β进行灵敏度分析，即当α一定时，β变化会引起模型误差的变化。

测试数据如图:

表格4　β变化的情况下，测试结果的变化表

续表

……

该表格的最后一行为平均误差值，我们发现，随着β的变化，模型的测试结果也会发生较为微弱的变化，即误差的变化幅度不大。

然后我们用参数α进行模型的灵敏度分析，得到如下测试结果:

表格5　α变化的情况下，测试结果的变化表

续表

……

该表格反映的是当β一定时，α的改变对模型误差的影响。从表格中的测试数据我们很容易看出:α的改变对模型的结果影响很大，当α发生轻微变化时，模型的结果会发生很明显的变化，即模型的误差会变化很大。

通过这两组数据的对比，我们可以得到如下结论:

当α不变时，问题二所组建的模型很稳定;当α变化时，问题二所组建的模型也会随着α发生较大的波动; β也会影响模型的稳定性，但作用是微弱的。

五、模型的讨论

我们针对该题所组建出的模型，能够很高效率的计算出卧式圆头地下储油罐内所承载的油的体积V与所测油面高度H的关系，进一步得到了关于V的参数方程，通过大量数据分析，我们最终得到了参数α、β的取值，从而为此类储油罐的罐容表的标定设置了一定的规则。

翻阅文献^【6】，我们发现这些文献对此类地下圆头储油罐的罐内油体积计算得文献相对较少，而涉及变位计算的资料更是少之又少，并且这其中的运算量是惊人的大，但是我们经过大量的分析，图形的比划，文献资料的研究，以及利用计算机技术对大量数据进行处理，并且在此基础上，对问题做了合理假设，使得在计算储油罐两端圆头的问题上简化了许多，计算量也减少了很多，并且误差在允许范围之内。

并且通过模型的灵敏度分析我们可以得出，该模型是较为稳定的，具有很宽阔的应用前景，在遇到类似求体积，或是求标度尺的问题时，都可以运用此模型。

但是该模型也存在着一定的不足，这也与实际情况有关，由于时间和个人能力的限制，我们无法将储油罐的所有情况都考虑在内，比如说储油罐的变位位置有出油口在上方和出油口在下方两种情况，如图所示:

图表17　不同情况示意图

但是经过数据测试并且结合实际情况我们发现，储油罐的变位角度α和β都是在很小的范围内变动的，所以出油口在上方或是出油口在下方对我们分析罐内油体积的大小的影响是微乎其微的，甚至可以忽略。

再者就是储油罐两端圆头内储油体积的计算，我们目前无法有能力精确的算出该体积的具体值，但是经过我们合理的假设，简化了问题，减少了运算了，但是答案的精确度降低的很小。因此，最终所得到的结果与实际情况几乎是吻合的。

六、模型的应用与结论

(一)模型应用过程的分析

问题一中模型的结果是建立在无变位情况和只有纵向倾斜变位的基础之上的，主观上排除了横向偏转的影响，可是实际情况下，横向偏转确实是有可能发生的。再加上一些我们事先忽略不计的外在因素的影响以及简化油罐的模型，这就可能导致我们纯数学方法建立出来的模型测试数据时，与已知数据之间存在一定的偏差，当然数学方法的选择和数学模型的采用也可能对测试数据有一定的影响，因此只要我们最后得出的数据误差在较小的范围内(根据检验值为30左右) ，我们就可以认为我们所采用的计算方法和模型的建立是有效的。

问题二放在了实际情况下，我们需要考虑除自然因素之外可能存在的多种情况下的油罐模型，这就较问题一更加贴近事实。但对于油罐的实际外形，我们为了方便计算将其严格抽象为圆柱体和椭球半体的两部分，这也可能造成了数据最后出现的偏差，同理因为误差在可以接受的范围内，所以我们依然认为模型是有效的。

并且因为两问中所给的数据虽说丰富，但仍是有限的，我们仍有几种情况没有办法进行讨论、验证。在这些组数据中模型可以认为适用，但随着数据的增多，我们不能确保该模型仍然有效。

(二)解决问题得出的结论

对于此类数学分析占主导地位的问题，为便于计算我们所做出的假设应当适当，太过于排除实际情况可能导致更大误差。并且，应该多想想其他的更为有效的算法，来减少模型本身对于数据测试的局限性。不过就目前来看，我们所采用的模型是有效的。

对于问题一，综合该问题中所组建的模型，我们通过EXCEL软件和MATLAB软件(源程序代码见附录1)的结合，我们得到了倾斜角为α = 4.1°的纵向变位下的罐容表:

表格6　问题一中倾斜角为α =4.1°的纵向变位下的罐容表

续表

由问题二的模型，我们根据附件2中的数据，算出此时对应的两个参数值分别为α =0.488 74，β =10.5，根据我们所建立的模型，我们得到在此参数下的罐容表:

表格7　问题二的罐容表

续表

参考文献

［1］戚银生.软土地基油罐底板变形分析.当代石油石化，2003，11 (6) :42-44.

［2］孙发金，卧式油罐容积检定计算疑难点的探讨.石油商技，2000，18 (5) :20-24.

［3］《数学手册》编写组.数学手册.北京:高等教育出版社，1988:353.

［4］刘慧颖.MATLAB R2006a基础教程.北京:清华大学出版社，2007:172-195.

［5］高恩强，丰培云.卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算.山东冶金，1998，20 (1) :26-28.

［6］高炳军，苏秀苹.各种封头的卧式容器不同液面高度体积计算.石油化工设备，1999，28 (4) :24-26.

【注释】

[1]本文获得2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛北京赛区二等奖。