在对数据进行分析时，有时会得到一些似是而非，或者似非而是的结论，对这种现象进行研究，可以进一步提高我们对统计分析的认识.
例1 美国某大学的两个学院：法学院和商学院.新学期招生后，有人分别对这两个学院的男女生录取情况进行统计，结果如表11.1、表11.2所示.
表11.1 法学院男女生录取情况
表11.2 商学院男女生录取情况
从表11.1、表11.2中可以看出，女生在这两个学院的录取率都远高于男生.于是许多未录取的男生就聚集起来，抗议校方在录取中有性别歧视.
可是，当校方将两个学院的录取数据汇总后，得到的结果却是：女生的录取率显著低于男生.如表11.3所示.
表11.3 两个学院男女生录取情况汇总
面对这个意外的结果，抗议的男生们惊得目瞪口呆，不知如何应对.怎么可能在每个学院里的女生录取率都比较高的情况下，总体的女生录取率反而会比较低呢？
例2 某药物研究所研制出一种新药，为了检验此药是否真正有效，研究人员抽取了140名相关患者进行试验.在试验中，他们将患者分成试验组和对照组，给试验组患者服用新药，给对照组患者服用不含任何药物的药片，即“安慰剂”.试验结果如表11.4所示.
表11.4 第一次新药试验结果
试验结果表明，服用新药的试验组患者的成功率高于服用安慰剂的对照组，即新药确有一定的疗效.
因为药品事关患者的生命健康，为慎重起见，研究人员选取更多的患者重复进行这一试验.所得结果见表11.5.
表11.5 第二次新药试验结果
服用新药的患者的成功率又一次超过服用安慰剂的患者.研究人员确认他们研制的新药是有效的，于是决定将这两次试验的数据合并起来向社会公布研究结果.但是，出现在他们面前的竟是一个意想不到的结果！如表11.6所示.
表11.6 两次新药试验数据合并后的结果
虽然在两次试验中新药都确实比安慰剂成功，但是将这两次试验数据合并起来后，服用安慰剂的患者竟然比服新药的患者更成功！这个结果太令人惊奇了.
不难看出，上面两个例子反映的问题是相同的.它们表明：在某些情况下，在分组比较中都占优（劣）势的一方，在合并后的总评中反而会成为劣（优）势的一方！在20世纪初，就已经有学者讨论过这类现象.但是一直到1951年，在英国统计学家E·H·辛普森（Edward H.Simpson，1922—）发表的论文中，该现象才正式被描述解释.因此，后来人们将这类现象称为“辛普森悖论”.这是统计学中非常著名的一个悖论.
经过仔细分析可以知道，导致辛普森悖论的前提有两个，下面结合例1的情景进行说明.
（1）两个分组，法学院和商学院的申请人数和录取率相差都很大.法学院的申请人数为205人，商学院的申请人数为352人，法学院的录取率28.8%也远低于商学院的83.2%.另一方面，男女生申请者在两个学院的分布比重不同，女生偏爱申请法学院，而男生偏爱商学院.结果在数量上，录取率低的法学院，因为男生申请人数少，所以不录取的男生也少；而录取率很高的商学院，则因为男生申请人数也多，所以录取了很多男生，这样就使得最后在两院录取数据汇总时，男生在数量上占了优势.
（2）性别并非决定录取率高低的唯一因素，甚至可能没有影响.发生在两个学院之间的男女生录取率差异可能是随机事件，有可能是其他因素所引起的，例如根据学生的入学成绩正好出现这种录取比例.因此片面认为这是由于性别差异而造成的只能是牵强附会.
有一个简单的例子可以使人更好地理解辛普森悖论.有两个人欲比赛100场乒乓球，最后以总胜率评价胜负.某甲专找高手挑战15场，胜1场；另外85场找一般水平的选手比赛，胜40场；最后总胜率为41%.某乙则找高手挑战85场，胜10场；其余15场与一般选手比赛，获全胜；最后总胜率为25%，远低于某甲的41%.明眼人一看便知，某乙实际上具有更强的实力.
为了避免出现辛普森悖论，需要斟酌分组的权重，并配以一定的系数去消除因分组基数的差异所产生的影响.同时，还必须分析问题所涉及的情景是否存在其他潜在的重要因素，如有，应一并进行综合考虑.
在赵小平教授主编的《现代数学大观》一书中，有一个通过寻找潜在因素避免辛普森悖论的实例，现介绍如下.
例3 表11.7所示是1976—1977年，在美国佛罗里达州29个地区发生的杀人案件中，被告肤色与是否被判死刑的调查情况.
从表11.7中可以看出，白人被判死刑的比例比较高，这与当时美国社会的实际情况不符合.后来，人们除了考虑被告人的肤色外，还考虑被害人的肤色，于是得到表11.8.
表11.7 被告肤色与是否判死刑的情况
表11.8 被害、被告肤色与是否判死刑的情况
当被害人为白人时，白人被告被判死刑的比例是12.6%，而黑人被告被判死刑的比例是17.5%.当被害人为黑人时，白人被判死刑的比例是0，而黑人被判死刑的比例是5.8%.因此，不论被害人是白人还是黑人，白人被告被判死刑的比例都要低于黑人被告被判死刑的比例.这说明，在美国当时确有不利于黑人的种族歧视，死刑判决与被害人的肤色有关.
对同一个问题，我们得到了下面两个不同的结论：
结论1 白人被判死刑的比例大于黑人被判死刑的比例.
结论2 当被害人是白人时，白人被告被判死刑的比例小于黑人被告被判死刑的比例；当被害人是黑人时，白人被告被判死刑的比例也小于黑人被告被判死刑的比例.
这个问题正是辛普森悖论的有关实例.显然，结论2符合美国当时的社会现实，而结论1是误导出来的结论.在导致结论1产生的表11.7中，只考虑被告的肤色与是否被判死刑的关系，忽略了被害人的肤色这个隐蔽在问题中的重要因素，正是这个潜在因素误导了统计分析.为了避免这种现象发生，寻找隐藏在问题中的混杂因素就成为关键.这除了依靠统计学方法外，还需要借助相关的专业知识.在找到隐藏的混杂因素以后，一般的处理方法是对混杂因素的每一个值都编制一张表.在例3中就是根据混杂因素，即被害人的肤色，按被害人是白人时和被害人是黑人时编制两张表.表11.8实际上是由这两张表拼接起来的.然后对这些表进行比较分析.这种方法称为控制混杂因素.
我们也可以将被告的肤色作为控制因素，于是可得到表11.9.
表11.9 被告、被害人肤色与是否判死刑的情况
从表11.9中可以看出，不论被告的肤色如何，当被害人是白人时，被告被判死刑的比例都明显高于被害人是黑人时的比例.
如果去掉被告的肤色这个属性，可以得到表11.10.
表11.10 被害人肤色与是否判死刑的情况
表11.10也说明，当被害人是白人时，被告被判死刑的比例显著高于被害人是黑人时被告被判死刑的比例，这与由表11.9所得到的结论相同.这时辛普森悖论不再成立.
通过这个例子可以看到，使用统计方法解决实际问题时，首先要了解问题的背景和研究目的，才能对统计数据作出符合实际的分析和解释.此外，这需要借助生活经验和相关的专业知识.例如，有统计数据表明，铀矿工人的平均寿命并不比常人短；可是常识告诉我们，放射性物质对人体有很大的伤害.这就是流行病学中有名的“健康工人效应”（health worker effect）.事实上，铀矿工人通常都是一些身强力壮的人，如果不在铀矿工作寿命会更长.了解到这个事实背景，你就不会仅凭上述数据作出“铀矿工作对人体健康没有影响”的错误判断.
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