马太效应的数学模拟的分析介绍

3.1.3　马太效应的数学模拟^[4]

马太效应描述的实质上是成功和失败机会的累积过程及效果，这一过程及效果可以用数学语言进行描述和模拟。这一研究引起了许多学者的兴趣，目前已建立多个数学模型。这里仅介绍有代表性的两个^[5]。

(1)普利亚分布

普利亚(Polya)分布亦称单缸模型，它基于下述实验:

设某一缸中装有若干红色球和黑色球，按一定的规则从缸中取球，取到红球表示成功，取到黑球表示失败。假定缸中现有a个红球、b个黑球，取出某个球后(例如红球)，则将取出球与红球一起放回缸中，取到黑球亦同样处理。如果实验重复n次并且假定X表示取出红球的总次数，则X的分布可表示为:

P(x)=P(X=x)

容易证明:

①若c=0

P(x)是带有参数n和的二项分布。

②如果c=－1

P(x)是带有参数n，a+b和a的超几何分布。

③如果a=b=c

P(x)是带有n和X=0，1，2，…，n的正交(均匀)分布。

④如果n→∞，a(a+b)^－1→0以及c(a+b)^－1→0，这样，当P(x)被认为是负二项分布时，na(a+b)^－1和nc(a+b)^－1分别趋向于有限的非零值0和P，那么P(x)为负二项分布。P(X=x)由下式给出:

亦即:

e^－θ=(e^－ρ)^k，式中k=θρ^－1

所以有:

令e^－p=P，我们有:

P(x)是负的二项分布，它表示当成功的概率是P时，k次成功之前x失败的概率。这种分布表明，在单缸模型中，红球和黑球的每一次出现，都将进一步增加这种出现的概率，成功的结果增大了进一步成功的机会，同样，失败也增加了再次失败的机会。

(2)塔格分布

塔格(Tague)分布又称多缸模型，是对单缸模型的补充和修正。实验程序如下:

①设有一系列的缸，每个缸中装有a个红球和b个黑球;

②如果一个红球被取出，则在该缸中另外加进c个红球;

③如果黑球被取出，则不另外加进黑球;

④依次从第一个缸开始取球，一直持续到取出k个球为止;

⑤接着再从第二个缸取球，重复①～④的程序;

⑥程序①～⑤无限地延续。

在单缸模型中，x次成功的概率是在第k个黑球取出之前获得x个红球的概率。这里的概率由下式给出:

式中，全部a_i＞0，因此有:

可简化为:

对于上式:①如果k=1

这就是概率论中的弗林分布，其平均数是γ'(a－1)。

②如果γ=1，弗林分布对应于瑞利分布或累积优势分布:

式中，B(x+1，α+1)为贝塔函数。

③在累积优势分布中，如果a=1

拉维昌德拉·劳在1987年提出了累积优势分布的替代形式。他指出，几何分布和单参数分布的组合分布就是累积优势分布。

即:设u和v为两个随机变量(u=1，2，3，…，0≤u≤1)。

设p(u/v)=(1－v)^u－1

P(v)=(α+1)(1－v)^α，α＞0

容易证明:

P(v)=P(u/v)vP(v)

=(α+1)β(u，α+2)

u=1，2，3，…

上述模型中，以弗林分布最有普遍意义，累积优势分布可视为其特例。塔格的多缸模型能很好地模拟核心信息源的形成过程。

(3)威布尔分布

日本的中川和大崎在1975年讨论了威布尔(Weibull)分布。由于在对失败的研究中，失败的次数常用失败的周期数来测量，所以一般用连续分布作失败分析。而随机变量具有离散性，故又称为离散的威布尔分布。中川和大崎提出了如下描述失败的概率函数:

P(x)=qx^β－q(x+1)^β

x=0，1，2，…

β＞0，0＜q＜1

在实际应用中，人们常常感到计算P(x)而需要进行q和β的计算是很困难的。拉维昌德拉·劳将其改进为如下形式:

P(x)=e^－xβ－e^－(x+1)β

x=0，1，2，3，β＞0

平均数为