数学问题的开放性分析

四、数学问题的开放性分析

数学问题(或任务)的开放性程度,关系着学生在数学学习中的选择机会大小,影响着学生参与对话的数学思维水平。表6 7和表6 8分别表示三个数学课堂中学生对数学问题解决方法的选择程度和方法种类情况。

表6-7　三位教师课堂中学生对数学问题解决方法的选择程度比较

说明:SC₁表示学生无选择机会;SC₂表示有限的选择,要求学生在所呈现的多种方法中选用一种;SC₃表示开放的选择,即教师鼓励学生用他喜欢的任何方法解答。

表6-8　三位教师课堂中学生提出数学问题解决方法种类的比较

说明:SM₁表示不同学生呈现1种问题解决方法;SM 2表示学生呈现出2种不同的问题解决方法;SM3表示学生呈现出3种不同的问题解决方法;SM 4表示学生呈现出4种不同的问题解决方法。

综合分析发现,作为引发对话的数学问题在开放性方面表现出两个特征:

第一,数学问题的开放性总体不够,且数学问题的开放性和学生选择机会大小随着教师教学水平提升而逐步增大。表6-7和6-8数据表明,职初教师J、有经验教师Q和骨干教师S三个课堂中,出现“学生无选择机会(SC₁)”的数学问题比重很高,分别约占80%、61%和37%;出现“学生仅提供一种解决方法(SM 1)”的比重也很高,各约占92%、92%和48%。所以从总体上说,数学课堂中绝大部分的数学问题仍是封闭性的,数学问题的开放性明显不足,普遍要求不同学生给出教师所期望的“唯一”答案,学生对数学问题的解决策略和解决方法的选择机会较小。

表中数据还显示,职初教师J、有经验教师Q和骨干教师S三个课堂中,出现“学生有开放选择机会(SC₃)”的数学问题比重分别约占18%、38%和63%,学生提供两种及以上不同数学问题解决方法的比重各约占8%、8%和52%。这说明学生的选择机会程度和提供问题解决方法种类,都呈现出随教师教学水平提升而逐步增大的趋势。也就是说,随着教师教学水平的提高,数学教师越来越关注赋予学生更大的学习选择空间。下面以“垂直与互相垂直”教学实例来说明这一点。

【实例6-1-1】

比较三位教师所提出的数学任务和学生在任务中的表现,三者存在鲜明的差异。职初教师J提出的数学任务具有强约束性和封闭性;有经验教师Q的数学任务具有一定程度的开放性,但有点“欲放不能”的感觉;骨干教师S的数学任务更具开放性,赋予学生的选择机会也更大。

对职初教师来说,“画两条相交直线”“根据两条直线相交形成的角进行分类”、教师将学生所画的直线先作分类后再呈现给学生,所有这些足以看出数学任务的开放性小,教学预设成分浓,导致学生执行数学任务时的表现种类单一,完全在教师控制范围之内。

对有经验教师来说,“任意画两条直线”这个任务给了学生很大的自由度,学生在执行数学任务中也有各种不同的表现,但教师在让两位学生分别展示两种画法后,马上呈现出预设的六种画法,让学生作是否相交的判断。这说明其仍然摆脱不了预设的窠臼,尚不能自如地赋予学生更多的机会让其自由展现不同的数学见解,也不能很自然地从学生想法中推出新的数学任务。正如其在课后访谈时所讲的那样:“课引入时太快了些,如果能多等一会儿,能让更多学生呈现不同画法,用他们的例子代替我的例子,可能会更贴近学生,更有说服力。”

对骨干教师来说,在提出数学任务一“画两条直线”之前,教师借助模拟游戏“玩游戏棒”这个情境作铺垫,让学生充分表现出多种画法;接着,教师又顺势利用学生的真实想法提出第二个数学任务“将所画这些直线的不同位置关系进行分类”,让学生展现出三种不同的分类观点甚至出现生生质疑现象。如此,骨干教师所呈现的数学任务充分考虑到了学生经验和学情,让不同学生拥有不同的数学思考和话语表达机会。她深知学生已知什么和怎样利用学情来设计高质量的数学问题,鼓励学生表达不同想法并驾驭如何利用学生的数学想法即时生成新的数学问题,让更多的学生有话可说。

正如L.S.Shulman在《认真对待学习》中说道:“首先会影响新的学习的不是教师在教学上做了些什么,而是已经存在于学习者内部的知识。”^[1]唯有知晓学生已有经验和起点能力、认知规律和学习方式,准确找到学科数学与学生经验之间的契合点,才能使数学教学具有更好的逻辑起点,也才能创建以“学”为基点的活力课堂。

第二,“学生选择机会大小”与“学生解决问题方法种类”之间密切相关。比较表6-7和6-8数据可知,作为引发对话的数学问题的开放性程度越大,学生选择机会就越大,提供不同解决问题方法的种类也就随之增大。如在骨干教师S的课堂中,学生开放选择机会(SC₃)的比重高达63.00%,不同学生呈现出两种以上数学问题解决方法的比重也高达52.00%,这说明学生在解决数学问题中的选择机会大小与其提供问题解决方法种类之间存在密切相关。下面通过两则实例来说明这一点。

【实例6-1-2】

师:什么是“垂直”呢?回忆一下刚才的过程,你能不能试着用自己的话说一说。

生1:垂直是一种特殊的位置关系。

生2:垂直是两条直线之间的关系。

生3:垂直是两条直线相交一定要成直角。

师:真好。我们来看一下规范的说法,(出示板书“当两条直线相交成时”)当两条直线相交成了什么?

生(低):直角。

师:讲出来。

生(高):直角。

师:(板书“直角”)直角时,那这两条直线叫什么,你知道吗……

此例中,有关核心概念“垂直”的定义,教师并没有照本宣科将课本中的定义直接告诉给学生,而是要求学生回忆之前有关两条直线位置关系分类过程中的表象感知,试着用自己的数学语言来表达。这个数学问题具有一定的开放性,事实上学生也发出了多重不同的声音,提供了多种不同的数学表达,如“垂直是一种特殊的位置关系”“垂直是两条直线之间的关系”“垂直是两条直线相交一定要成直角”。所有这些,都是学生对抽象数学概念的本真认识,更是在开放的思维中用自己的语言对同一概念作出了不同的刻画或下了定义。

我国喻平教授认为,数学概念或命题学习中,由概念域、概念系、命题域、命题系所形成的结构称为CPFS结构,学生个体的这种CPFS结构是数学学习特有的认知结构,是数学知识理解的基础。概念域是指某一概念的等价定义的图式,反映了从不同侧面对同一概念的描述;概念系是指一组数学概念之间由数学抽象关系组成的知识网络在学生头脑中的贮存方式^[2]。所以说,当学生用自己的数学语言给“垂直”“下定义”的过程,用“直线”“角”等数学概念和表达方式来描述“垂直”这个抽象概念的过程,正是对相关数学知识理解、内化与整合的过程,是学生个体对数学概念心理表征强化的过程,无疑对固化其概念域、概念系和形成优良的CPFS认知结构具有重要意义。