数学教学原则的案例分析

在这一节中，我们试图通过数学教学的实际案例分析数学教学原则。当然，正如我们在前节述及的，教学原则具有自身的特点，对于在具体的数学课程的教学活动中形成的数学教学原则同样具有实践性、倾向性和发展性等特点。在这里我们所关注的有关数学教学原则也反映了本教材的主张和特色，希望大家也能以实事求是的、辨证的和发展的眼光来看待数学教学原则，在数学教学活动中灵活地、恰当地运用数学教学原则。

一、课题一：绝对值

（一）情境引入

问题1多媒体动画演示：两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10千米，到达A,B两处。由此提出问题：

①它们行驶的路线相同吗？②它们行驶路程的长短（线段OA,OB的长度）相同吗？

在适当的启发下学生将纷纷产生疑问，可能会有学生这样想：前面在学习有理数的时候，如果出现了不同的方向，涉及的数就会有正、负之分，但在上述问题中，两辆车在不同的方位，涉及的数字——距离却都为正数。也就是说，两辆车到O处的距离都是10千米，与它们所处的位置无关。

引导：实际生活中，距离是否与方向无关？

通过分析，予以肯定，即生活中距离确实与方向无关。

将图中A,O,B三处变成了数轴上的点。通过类比，学生能够轻松回答出，数轴上表示—10的点A到原点的距离为10,数轴上表示10的点B到原点的距离也为10。所以说，数轴上的点，无论它在数轴的左边还是右边，无论它是表示正数还是负数，它到原点的距离都为正数，与方向无关。教师再强调：数轴上除原点以外的点到原点的距离都为正；并且指出：我们把数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。这样就自然而然地引入了绝对值的概念。

（二）探究新知

1由上面的分析讨论得到绝对值的概念

定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作：a,读作：a的绝对值。

2给出实例，说明概念，加深学生对概念的理解

例31表示数10的点B到原点的距离就是10的绝对值，即10=10；表示数—10的点A到原点的距离就是—10的绝对值，即—10=10。

3从绝对值概念出发，进行绝对值意义的教学

给出五组数求其绝对值，提供数轴上的表示。观察数轴，学生很快将得到答案，并让学生也举出一些绝对值的式子。然后让学生观察等号两边的这些数字，并提问：从中发现了什么？进一步引导学生思考下面的问题：

问题2①一个正数的绝对值是什么？②一个负数的绝对值是什么？③0的绝对值是什么？

学生当中将得出不同结论，整理出典型的两种：

结论1一个正数的绝对值是一个正数，一个负数的绝对值是一个正数，0的绝对值是0。

结论2一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

这两种结论都是正确的，都应予以肯定，之后让学生比较哪个结论更有利于我们求出一个数的绝对值。经讨论得出：结论2更有利于求出一个数的绝对值。再引导学生讨论分析，然后得到：结论1只起到了定性的作用，不能直接求值，而结论2是起到了定量的作用，能马上求出一个数的绝对值。正因为如此，我们把结论2作为绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

还要指出，这只是绝对值意义的文字叙述。事实上，我们可以用数学式子来表达。再一次提出问题：

问题3如何用数学式子来表达一个数的绝对值呢？

再一次让学生分组讨论。学生通过动手动脑、分析思考将得到三个相应的数学表达：如果a>0,那么a=a；如果a0,那么，a=—a；如果a=0,那么a=0。这样就完成了文字语言到符号语言的转换，使学生从文字语言到符号语言转换的能力得到培养。让学生将上面的表达式概括为下面的表述形式：

|a|=a,a＞0,

0,a＝0,

—a,a＜0.

问题4一个数a的绝对值到底是一个什么数呢？是正数还是负数？

让学生分组讨论，并且把问题进行分类讨论，渗透分类讨论的思想。学生会仔细观察关系式，发现绝对值是非负数。这是绝对值的一个性质，教师给予板书强调：a≥0。这样通过创设问题情境，学生自己归纳总结而得到了绝对值的意义。

（三）例题讲解

例32求下列各数的绝对值：23,—15,13—12。

例33已知一个数的绝对值等于56,求这个数。

学生分析得到绝对值等于56的数有两个，它们互为相反数。结合类似的例子，从特殊到一般，就可以猜想得到，绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数。这是绝对值的一个性质，给予板书强调：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数。

（四）巩固提高

练习1由x=3,甲同学求得x=3,乙同学求得x=—3。这两位同学的求解正确吗？

练习212—13+13—14—14—12=？

（五）形成能力

利用多媒体显示未来一周天气预报（利用教材中的素材），让学生按照自己的生活经验或者通过观察温度计把这14个温度按从低到高的顺序排列。将这些数字表示在数轴上，学生很容易发现，由于数轴左边的数字小于右边的，所以正数大于0,0大于负数，正数大于负数。通过进一步观察，还会发现离原点越远的点，其绝对值就越大。

思考我们已经会比较两个正有理数的大小，那么如何比较两个负有理数的大小呢？负数绝对值的大小和它本身的大小之间有什么联系吗？

让学生找出更多的负数表示在数轴上，结果他们会发现，绝对值越大的负数离原点就越远，也就更靠左边，所以就越小。学生通过自主探索，总结规律：两个负数，绝对值大的反而小。这样，以学生原有的知识和经验为出发点，类比温度计上温度的有序性，建立数轴上有理数的有序性，既为有理数大小比较法则做好知识准备，又可得出另一种比较有理数大小的方法：借助于数轴比较有理数的大小。

例34比较下列各组数的大小：

（1）—（—1）和—（+2）；（2）—821和—37；（3）—（—0.3）和—13。

例题的第（2）小题是本节课的一个难点，要让学生清楚地了解根据有关结论进行比较的过程：

①先求出两个负数的绝对值（因为是异分母分数，还要通分，化成同分母分数）；

②比较两个绝对值的大小；

③根据有关结论判断原来两个负数的大小。

例35比较—45,—34,2.5,—1,0,6的大小。

给学生充分的时间思考、交流、讨论，引导学生得出两种方法：一是运用有理数大小比较法则，二是借助于数轴上点的位置与大小的关系来比较。在学生合作学习过程中，教师应深入每个小组，以规范行为、发现问题、排除障碍、引导深化。

（六）延伸拓展

游戏多媒体画面出现一列数字列车，每节车厢上标有一个数字，车厢之间有间隔。在车厢行进的过程中，间隔处会有亮点闪现，旁边还会有提示，请同学们按要求作答（例如：若亮点在—2与—12之间闪烁，旁边提示整数，则需找出—2与—12之间的整数）。

（七）课堂小结

小结时也要充分发挥学生学习的主动性，自己概括出这一节课所学的内容：①绝对值的概念；②绝对值的意义；③有理数大小的比较。

（八）布置作业

教材第15页习题第4,5,10题。

（九）案例分析

针对上述案例，我们作如下分析：

1关于数学教学的特点

数学的研究对象可以说是形式模型，也就是我们所说的数学模型，这是数学区别于其他学科的一个主要特征。例如，一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0及其解的方法就是一个数学模型，又如椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1也是一个数学模型，其实，我们可以把数学公式、定理等都看成数学模型。

但是，任何数学模型都有一个形成过程，它必定来源于某个现实背景。数学教学必须挖掘与数学模型相关的现实原形，关注这个由现实背景到数学模型的形成过程，让学生充分体会到数学形式化过程的特点和规律，这对学生的数学意识的形成、数学思维的发展是至关重要的。所以，数学教学的一个非常重要的特点就是如何促成数学现实背景和数学形式模型相结合。

在上述的教学案例中，绝对值a,虽然是一个数学概念，但也可以看做一个数学模型，对初中学生依然具有形式抽象的特点。如何让学生理解这一相对抽象的数学事实，通过相应的现实背景来切入问题，以及展示这一数学模型的形成过程等，都是必须予以重视的环节，而在此教学设计中这些环节都有较为明显的体现。

2对数学教学原则的思考

针对上述的讨论，注意到数学发展的特点和规律，在分析了数学教学的特点之后，为了更好地化解“现实背景”与“形式模型”的这一矛盾，我们主张的第一条数学教学原则，便是数学理论现实化的教学原则。这一教学原则的基本要点有：

①充分注意到数学理论的高度抽象性和形式化的特点。这一特点是数学区别于其他学科的重要特征，关注这一特征的目的是为了防止产生“为数学而数学，从抽象到抽象”的习惯倾向；

②通过创建现实背景、展示抽象化的过程来化解数学理论高度抽象所带来的理解上的困难；

③所联系的现实背景既要与数学抽象模型密切相关，更要符合学生的思维规律和生活习惯。

3关于一般教学原则的讨论

上述教学设计通过实际问题的导入，对问题的各种情形加以展开分析和讨论，体现了教育学理论上的一般教学原则——教学的直观性原则和教学的可接受原则的贯彻和实施。所谓教学的直观性原则，是指在教学中要通过学生观察所学事物或教师语言的形象描述，引导学生形成所学事物、过程的清晰表象，丰富他们的感性知识，从而使他们能够正确理解书本知识和发展认识能力。直观性原则反映了人的认识的基本规律。夸美纽斯的一席话也许将会给我们一些启示：“凡是需要知道的事物，都要通过事物本身来进行教学；那就是说，应该尽可能地把事物本身或替代它的图像放在面前，让学生看看、摸摸、听听、闻闻等等。”乌申斯基也曾说道：“一般说来，儿童是依靠形式、颜色、声音和感觉来进行思维的。”因此在数学教学中，教学的直观性原则的实施具有重要意义。

所谓教学的可接受性原则，是指教学的内容、方法、分量和进度要适合学生的身心发展，是他们能够接受的，但又要有一定的难度，需要他们经过努力才能掌握，以促进学生的身心发展。其含义包含两方面的要求，一是在教学中注意适应学生发展的具体状况，如墨子所说的：“夫智者必量其力所能至而从事焉”；二是在教学中注意学生发展的可能与趋势，如赞科夫“最近发展区”理论提倡的高难度、高速度的“双高”原则。

上述教学案例也是由实际背景切入，而提出相应的数学问题，并且层层递进，对所提问题逐步加以分析，学生的思维异常活跃，明显地体现了教育学理论上的另一教学原则——启发性原则。所谓教学的启发性原则，就是在教学中突出学生的主体性特征，注重调动学生的学习主动性，引导他们独立思考，积极探索，生动活泼地学习，自觉地掌握科学知识和提高分析问题、解决问题的能力。

这一教学原则提醒我们注意的有：教师的讲述不能替代学生的思考，教师的示范不能替代学生的探索，教师的分析不能替代学生的讨论。只有把握好这几个要素，才能使启发式教学不流于形式。只有真正理解启发式的含义，才能在具体的教学中恰当有效地实施启发性教学原则。

古今中外的许多教育家在这点上都曾阐述他们自己的观点。如孔子就曾说道：不愤不启，不悱不发。《学记》中则指出：道而弗牵，强而弗抑，开而弗达。细细品味这些精辟的话语，我们将对启发性教学思想体会更深。古希腊哲学家、思想家苏格拉底则采用著名的“催产术”来进行教学，即通过问答的方式启发、引导学生最终获得正确答案，他把教师的这种诱导、引领学生探索问题、解决问题的做法比作“助产”，这同样也能帮助我们更为深刻地理解启发式教学的含义。19世纪德国著名的民主主义教育家第斯多惠认为启发式的学习方法是唯一正确的方法，他曾说道：一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。

二、课题二：相似三角形性质定理的应用

（一）提出问题

师：在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD与内角平分线BE相交于点F，求证：AF·FD=12BF·FE

我们知道，运用相似三角形的性质定理能够证明线段比例式。然而本题的结论却是一个线段等积式，怎样达到证明的目的呢？

（二）探讨与思索

师：针对此问题的具体情况，我们可发现问题中包含三个要素：乘积式，比例式和相似形，如何寻求它们之间的关系，是解决本问题的一个关键目标，对此我们一般有两条思维线索：

①逆探：a·d=b·cab=cd△∽△，即：乘积式→比例式→相似形。

②顺推：△∽△ab=cda·d=b·c,即：相似形→比例式→乘积式。

（注：教师在此强调指出，乘积式、比例式、相似形三位一体，由此及彼）

（三）探求

生：（思路1）由AF·FD=12BF·FEAFFE=12BFFD

师：怎样得到12BF呢？

取BF的中点p,那么pF=12BF,即要证明AFFE=pFFD,考虑到∠1=∠2,只需要证明△AFE∽△pFD即可。

（四）启发诱导

师：思路1中的12是与BF结合在一起，而成为12BF,因而才有了取BF中点p的举动。那么12还可以与谁结合在一起呢？

生：（思路2）由AF·FD=12BF·FEAF12FE=BFFD,取FE的中点p,那么Fp=12FE,即要证明AFFp=BFFD,只需要证明△AFp∽△BFD即可。

师：FE的中点p的出现，不仅满足了Fp=12FE的要求，更重要的是，由于点p是等腰三角形AFE底边FE的中点，得到了Ap⊥FE,即△AFp为一个直角三角形，这样所要证明的结论就显得非常容易了。

师：如果换一种角度思考，我们也可以在待证等式的两边同乘以2而得到如下等式：2AF·FD=BF·FE,那么怎么证明它呢？

生：（思路3）2AF·FD=BF·FE2AFFE=BFFD,延长FA至p,使得Fp=2FA,接下去关键是证明△pFE∽△BFD。

生：（思路4）2AF·FD=BF·FEAFFE=BF2FD,延长FD至p,使得Fp=2FD,只要证明△AFE∽△BFp即可。

（五）小结归纳

师：在上述四种思路中，都用到了图形中的条件AE＝AF。从中我们可以发现，解决几何问题时要注意分析几何图形的特点，挖掘并利用图中隐含的条件，这样才能洞察几何图形中的内在联系。对于上述例子，我们正是抓住了下面几个要点，才把握住了这个几何问题的本质：

①积的形式向比例式的转化；

②灵活进行倍、分的组合；

③倍、分关系（代数关系）在线段平分关系（几何关系）上的反应。

因此，解决几何问题中辅助线的添加或几何图形的变化，包含着较高的策略技巧，不能凭空想象，只有深刻地把握住图形特点与问题目标，并在几何上作适当、合理的变形，问题才能得以顺利地解决。

（六）案例分析

针对上述案例，我们作如下分析：

1关于数学教学的特点

数学的发展离不开逻辑的支持，数学理论的叙述要求严谨、精确，数学结论的证明要做到缜密、完整，所有这些可以说是数学的重要特点，但显然逻辑演绎绝不是数学的唯一特点。特别是从数学历史的发展角度来看，“任何一种新的数学理论，只靠严谨的逻辑演绎是‘推’不出来的……”就是说，如果只有逻辑演绎，数学是不会有任何进步的。数学发展的内在动力来自解决问题，在解决问题的探索过程中，有新想法的产生、新方法的发现，又有新的数学策略和技巧的涌现，更有新的数学思维的形成。所以，数学中的另一个更为重要的特点乃是数学中的丰富想象力和创造力。“数学主要是对事物的一种认识、一种理解，数学思想和数学观念，以及与之相联系的数学方法，乃是数学的主导方面。”

数学的特点是如此，数学教学的特点也是如此。而且在数学教学中，我们需要尽量展示数学理论的形成过程，了解其中的数学思维策略和问题解决的方法技巧。由此看来，数学教学的另一个重要的特点就是要求数学的策略创造和逻辑演绎相结合。而传统的数学教学过多地注重逻辑演绎，花大力气加强程序步骤的训练，强调逻辑思维的严谨要求，这样做固然对学生思维的严密化是有好处的，但万事都要讲究度的把握。况且，提高学生的数学思维能力，发展学生数学策略创造能力，是数学教学的一个主要目标，因此数学教学的另一个特点是在训练逻辑演绎基本思维规律程序的基础上，强调数学的策略创造，即“数学教学中，策略创造处于主导方面，逻辑演绎则是基础方面，二者的结合才算完美，忽视任何一方面都是不明智的”。

上述教学案例，正是在几何逻辑的基本要求的前提下，充分展示了数学思维的特点，分析了解决几何问题的基本策略和方法，并且为学生提供了较多的创造发展的机会和空间，非常明显地体现了“数学的策略创造和逻辑演绎相结合”这一个数学教学特点。

2对数学教学原则的思考

基于对数学教学的重要特点——数学的策略创造和逻辑演绎相结合的把握，我们发现策略和逻辑正是数学的两条腿，离开了任何一条腿，数学“巨人”将不能向前迈出一步。同时，这一特点也体现了数学的发展规律。因此，在数学教学中，我们不得不重视数学教学的这一特点。为了更好地化解“策略智慧”与“逻辑刻板”的这一矛盾，我们提出的第二条数学教学原则是，基础训练和能力发展相结合的数学教学原则。

对于这一数学教学原则，我们首先要注意的是基础训练在数学教育中的地位和意义问题。基础知识的训练固然重要，这是不言而喻的，但主要是以往在认识上存在偏差。一是认为固定的解题程序、简单的模仿套用是数学学习的全部内容，不重视数学思维中的灵活性和策略性，忽视数学学习中的创造性和探索性，把数学活动的生动、活泼和形象、趣味丢失殆尽，取而代之的是枯燥、乏味和繁琐、重复的机械程式；二是把“应试的手法”当作数学学习的策略方法，仿例子、套程序、押考题的风气盛行，而深入透彻理解数学中的思想内涵和精神实质，主动思考数学、发现数学和运用数学似乎没有多大的市场。虽然这些现象的直接原因是“应试教育”所带来的，但这与数学教育观念上偏差是不无关联的，是教育上急功近利的突出表现。

其次，在“能力发展”的认识上也存在偏差。一是认为“能力发展”和基础训练是两件无关的事，先把“基础训练”搞好了，再去搞“能力发展”，两者成了两个环节，目前采用的“基础卷”和“能力卷”分而测试的做法就是这一观点所导致的结果。但这两个方面是不应该分离而且也是不能分离的。二是误把“能力发展”当作“基础训练”的加深。例如，所谓“能力题”就是在“基础题”的基础上增加难度和深度。

事实上，数学教学的过程既是学生数学基础知识的掌握过程，更是学生认知结构不断完善、数学能力不断发展的过程，训练和策略、知识和能力以及基础和发展的任何割裂都是不可取的。

3关于一般教学原则的讨论

在上述数学教学案例中，我们可以发现也有多项一般教学原则的贯彻与实施。比如，在设计时注意到了对问题背景的交代——相似三角形的应用，同时提出了问题目标的差距，为“激疑”作了必要的铺垫。同时在问题解决的探索过程中，不断提出新的问题，启发学生进行主动积极的思考，问、疑、思连贯一致，可以说这一教学的设计能够体现启发性教学原则的落实。

同时，通过这样的方式加强对数学知识点的具体应用，有利于学生对相应数学原理的进一步巩固。因此，这一教学设计还体现了另一个教学原则——巩固性原则。巩固性原则是指教学要引导学生在理解的基础上牢固地掌握知识和技能，长久地保持在记忆中，根据需要迅速再现出来，以利知识技能的运用。

这一原则经过许多教育家的通俗描述，可以让我们更加深刻地认识它的含义。譬如，“学而时习之”就明确地道出了通过应用来达到巩固所学、掌握所学的重要意义。而“温故而知新”则说明了旧知识和新知识的密切关联性，同时也指明了复习巩固已学知识对进一步理解和学习新知识的促进作用。另外，19世纪俄罗斯著名的教育家乌申斯基也曾指出：复习乃学习之母。

当然，在具体教学中，我们应准确把握巩固性原则的含义。事实上，复习巩固不是简单的重复，不是死记硬背。按照数学理论形成过程的阶段划分，在数学理论的发现、引入阶段，我们应该尽量使学生在数学心理上得到体验，通过体验来进行记忆。心理学结论告诉我们，体验越深记忆越牢固；在数学理论的形成阶段，使学生在数学思想上引起共鸣，通过思考来提高记忆。思考是体验的延续，思考的过程是身心投入理解数学的过程，一般来说，理解越深刻，对理论的掌握自然越加巩固；而在数学理论的应用阶段，则要求学生通过运用来加强记忆，使学生在数学思维上加以提高。运用数学理论是对数学理论掌握情况的集中检验，也是学生学习数学的一次心理自我肯定的过程，一次成功的运用反过来对学生业已掌握的理论进一步巩固将产生非常重要的意义。只有这样做，学生的知识巩固才能具备坚实的基础，从而获得长久的巩固。因此，我们所理解的巩固性原则，其精神实质应是把巩固贯穿于数学学习的全过程，并在巩固中不断提高。

三、课题三：反正弦函数

（一）引入

师：（提出问题）满足下列等式且在指定范围内的x值有多少个？它的值是多少？

①sinx=12,x∈—π2,π2；

②sinx=22,x∈—π2,π2；

③sinx=32,x∈—π2,π2；

④sinx=0,x∈—π2,π2；

⑤sinx=—12,x∈—π2,π2；

⑥sinx=—22,x∈—π2,π2；

⑦sinx=—32,x∈—π2,π2。

生：经过计算，满足sinx=a,x∈—π2,π2的x的值只有一个。

师：在—π2,π2内使下列等式成立的x值有几个？不查三角函数表，你能否求出x的值？

①sinx=13；②sinx=23；

③sinx=—13；④sinx=—23。

师：（分析）用正弦函数在—π2,π2上的图像与y=a（︱a︱≤1）只有一个交点来说明x值只有一个。而且由于13,23都不是特殊角的正弦值，因此不查三角函数表难以求出x的值。为了表示上述等式中x的值，我们引入新的数学符号。即

sinx=13（x∈—π2,π2）x=arcsin13

师：试用反正弦符号表示上述（2）（3）（4）中的x值。

师：注意，arcsina表示唯一确定的角，而且这个角属于—π2,π2。

师：（要求学生自己独立解答问题）计算下列各式的值：

①arcsin12；②arcsin（—12）；

③arcsin22；④arcsin（—22）；

⑤arcsin（—1）；⑥arcsin2。

师：（提问）如果︱a︱＞1,那么arcsina是否有意义？为什么？

生：设arcsina=x,则sinx=a,由于︱a︱＞1,所以满足等式sinx=a的x不存在。即如果︱a︱＞1,那么arcsina无意义。

（二）辨析

师：求下列各式的值：

①sin（arcsin12）；②sin（arcsin22）；

③cos（arcsin45）；④sinarcsin（—12）+π3；

⑤tan（arcsin35）；⑥sin2（arcsin16）。

师：（评价）获得此题解答的关键是我们将arcsina,如arcsin12视为一个角。在获得这一认识之后，我们就可以利用求同角三角函数值的知识和方法来解决与反正弦有关的问题。

师：对于任意实数x,sin（arcsinx）是否有意义？为什么？

生：如果︱x︱＞1,那么arcsinx无意义。

师：当︱x︱≤1时，等式sin（arcsinx）=x是否恒成立？

生：恒成立。设arcsinx=α，则sinα=x,所以sin（arcsinx）=sinα=x。

师：等式sin（arcsinx）=x在︱x︱≤1的条件下恒成立，故可以将它作为一个数学公式使用。

师：（要求学生思考）sin（arcsinx）与arcsin（sinx）中的x的取值范围分别是什么？arcsin（sinx）是否恒等于x？举例说明。

生：如arcsin（sin4π3）=arcsin（—sinπ3）=—arcsin（sinπ3）=—π3,所以arcsin（sinx）并不恒等于x。

（三）小结

师：本节课学习了反正弦符号及其应用。在应用该符号时应注意两点：

①符号arcsinx中的x是数，它的取值范围是［—1,1］，否则arcsinx无意义；

②在arcsinx有意义的情况下，它代表的是一个—π2,π2上的角。

（三）课外作业（略）

（四）案例分析

针对上述案例，我们作如下分析：

1.于数学教学的特点

数学作为一种文化具有自己的表达方式——数学语言，而数学语言的一个重要特征就是符号化程度很高，数学的所有深刻思想内容都是通过简约的符号来表达的。但是，符号化的程度越高，其形式化的特征越明显，在表现形式上就越抽象，从而数学让我们产生了抽象、难懂的印象，这大大地增加了我们学习数学的难度。因此，数学教学具有另一个与其他学科教学明显不同的特点就是，符号化的数学语言表达丰富深刻的数学思想，注意到数学教学的这一特点，对于我们做好数学教学工作至关重要。

虽然数学理论思想来自于人们长期的社会实践，而数学符号语言的形成也是经过漫长的历史演变而成的，但是经过人类几千年的文明努力，所有的数学思想内涵已经由一整套完美的符号语言精确地给予了表述。在具体的数学教学中，“我们不能用自然语言长篇大论地向学生介绍，而是用极为简明的符号、公式以及定义、定理加以描述”。然而，符号语言的抽象性、简洁性以及概括性却让学生普遍感到困难，我们的任务就是如何促使学生正确理解和熟练使用数学语言，认真对待数学语言的教学，“要把数学教育当作一种语言教育来研究”。

在上述教学案例中，作为反正弦函数的第一课并没有首先去强调正弦函数在何种情况下存在反函数，甚至没有提到反正弦函数，而是把重点放在反正弦符号的教学上，这样的做法是重视数学语言教学的体现，也是符合学生学习反正弦知识的特点的。

在教学设计的处理上，不是简单地要求学生回忆有关的知识，而是通过相应的问题激发与反正弦符号的引入密切相关的知识，为新知识的学习做好了知识上的准备。通过设置种种问题情境，使学生很快获得对正弦等式与反正弦等式之间的联想，达到了解数学符号的来龙去脉、理解符号的本质含义的目的。同时还给出了多种辨析的环节，让学生在辨析中反思反函数符号语言的要点和重点。

2.数学教学原则的思考

通过上述对数学教学的另一重要特点——符号化的数学语言表达丰富深刻的数学思想的分析，我们认识到，数学教学的这一特点，在传统的数学教学中是被忽视的。不注意数学符号语言的高度抽象性的特点，不关注数学符号语言形成的过程，不重视使用数学符号语言能力的培养，不重视学生学习数学语言的心理特征和思维规律等现象都是亟待我们改变的。为了更好地解决“符号语言”与“思维水平”这一矛盾，我们提出第三条数学教学原则，即学生的年龄特征和数学语言表达相适应的数学教学原则。

在运用这一数学教学原则时，我们需要注意的要点是：

一是要注意数学语言培养的长期性的特点。在要求学生深刻理解数学语言、熟练使用数学语言的过程中，抓好基础，一步一个脚印，不急于求成，避免学生在没能充分理解数学符号语言的情况，单纯为了追求速度而让学生死记硬背一堆数学公式或表达式，这样做只能使学生对数学符号语言停留在表面的认识上，头脑里全是大量数学符号公式的堆积，人为地造成记忆上的沉重负担。

二是应该“从生动有趣、浅显易懂、具体描述的语言开始，逐步严密、加深，抽象成比较简约的语言”。即数学语言的培养也要注意由直观到形式、由具体到抽象的认识规律，采用台阶式形式化、螺旋式符号化的方式进行教学。

三是要以重视一种语言的高度来重视数学符号语言的学习。事实上，从某种角度说，数学的发展历史也是数学语言的发展历史，因此数学的学习过程也可以说是数学语言的学习过程。退一步说，数学语言的学习至少是整个数学学习的一个重要部分和基础支持。有调查表明，许多学生在数学学习上产生的困难，源于数学符号语言上的障碍。

3.于一般教学原则的讨论

上述教学设计充分注意到了数学符号语言对于学生的高度抽象性的特点，运用教学的直观性原则，通过实际数学例子，对数学符号arcsina的来源、引用的缘由，以及表达的含义都予以了分析，因此，这一教学设计是教学的直观性原则在具体数学教学活动中的体现。同时，这一教学设计还体现了教学的可接受性原则，因为看似简单的数学符号具有高度形式化的特点，蕴藏在其背后的深刻的数学思想往往抽象程度很高，不容易被学生理解。这一教学设计明显注意到了这一点，从其采用的教学方式来看，能够反映出教学设计者是考虑了学生的理解水平和思维发展的特点的。