《数学哲学与数学史》课程的创生与构建

▶△△　《数学哲学与数学史》课程的创生与构建

张　琰

1972年第二届国际数学教育大会上成立的数学史与数学教学关系国际研究小组（HPM）提出了将数学史与数学教育进行连接，进而对数学教学的改善和课程的发展有所帮助。近20年以来，数学史在数学教育中的作用已经得到各国教育界的普遍重视。

一、问题提出

在我国，新一轮国家基础教育数学课程改革从课程的基本理念和要求，到课程目标和内容的选择、定位等方面，都进行了以全面发展学生的数学科学素养为本和强调学生数学素养和人文修养的辩证统一的数学课程观的理论构建。《上海市普通高中数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学家的创新精神，提倡体现数学的文化价值，并设立数学史选讲等专题。”相应的，《标准》列出了几个数学史专题供教学中参考。与此同时《标准》还明确指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会其中所蕴含的数学思想和方法，追溯数学发展的历史和足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”而在课程的具体目标条目中又重申：“了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，体验数学发现和创造的历程。”可见，数学史已是数学新课程理念中必不可少的重要部分，同时也是高中数学新课程的内容之一。这昭示了高中数学课程科学与人文整合的教育价值取向。

此外，从培养学生数学思维能力的角度分析，学生对数学的认识理解与应用，是一个动态的过程，不是靠记忆、讲解、推导、演练、答卷等传统教学手段所能奏效的。历史所展示的人类认识数学的过程正是一个动态的、生动的过程，Gerard Vergnaud曾经说过：“今日数学所呈现的结构性与叙述性的面貌，是历史长久发展的结果。学生总是会经历相同主要概念上的困难，而且他们也必须克服那些数学家所曾经遭遇过、同样认识上的阻碍。”这种认知上的历史过程可以使教师对学生可能会出现的认知障碍有备无患，也能为学生学习数学提供一种学习思路。所以，“二期课改”下的数学教学也要更多地注重过程，数学教师在教学过程中，应该把数学当作过程来理解，而不是仅仅当作结果来理解，数学史辅助数学教学的研究是值得我们思索的。

2009年12月，大境中学举办了主题为“提升学习素养，培育学习品质”的教学展示研讨活动。要求教师转变教学方式，加强基础型课程中学生学习素养的培育，积极探索课堂教学中学生“学习素养”培育的有效导学策略，切实提高教学质量。各教研组确立子课题，积极探索基础型学科课程和课堂教学中学生“学习素养”培育的分层目标、导学策略。于是在学校的学养课程的建设中，笔者结合自身的特长，申请开设了《数学哲学与数学史》的拓展课程，将数学史融入学生的课堂学习中，提升学生的数学涵养。

二、课题设计

1.课程目标

通过生动、丰富的事例，让学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，引导学生观察、探究、交流，让他们体会数学的理性及其对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神，逐步形成正确的数学观。

2.课程内容

（1）数学史的历史；

（2）古希腊数学：毕达哥拉斯多边形数；

（3）泥版上的数学；

（4）欧洲中世纪的趣味数学；

（5）中国古代数学概述；

（6）现实的世界与想象的世界：数学与艺术（艾舍尔的画）；

（7）数学哲学选讲。

以学生生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现，不追求数学发展历史的系统性和完整性，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹。

教学内容的选择符合学生的接受水平；内容安排采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物；内容的呈现方式图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣。

总之，本课程的教学内容力求突出内容中所蕴含的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。

3.实施过程与教学方式

在具体实施时，内容的安排可以根据不同的情况，作适当调整。拓展课的开设对象是高一选修拓展课《数学哲学与数学史》的30位学生。教学方式灵活多样，采取了讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。鼓励学生对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物，写出自己的研究报告。

三、课程案例

案例一　毕达哥拉斯学派的形数理论

从历史上看，算术、代数、几何、三角和微积分都不是通过操作无意义的符号或按规则玩弄游戏而产生的。任何一门学科最初都是通过直观的方法建立起来的，利用几何图形进行某种数学方法的论说、某个数学命题的证明或数学公式的推导，在古代希腊和中国数学文献中都可以找到其渊源。

毕达哥拉斯用一点代表1，两点代表2，三点代表3，四点代表4，等等。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数。

1.三角形数

很可能毕达哥拉斯本人已经发现了任何多个始于1的连续自然数之和构成三角形数，如图3-8所示。如果在三角形数旁补一倒立的三角形数，由此，得1+ 2+…+ n= 1₂ n（n+ 1）。

图3-8　三角形数与两个三角形数的组合

2.正方形数

从一点出发，依按图3-9所示的方法增添点3、5、7、…、2n+ 1，可相继构造出正方形数。从这种构造法易知：1+ 3+ 5+…+（2n- 1）= n²，n²+ 2n+() 1= n+()

1 2. 3.长方形数（oblong numbers）

早期毕达哥拉斯学派知道2+ 4+ 6+…+ 2n= n n+() 1，因此他们发现始于2的任何多个连续偶数之和为长方形数，其边长相差1。如图3-10所示，长方数等于三角形数的2倍。

图3-9　正方形数

图3-10　长方形数

毕达哥拉斯学派的形数理论让学生接触了数字形成的某个片断，体会到数学理解是通过直观的方法来获得的，从而缓解学生认为数学过于抽象而不易学好的错误倾向，树立学习数学的信心。此外，此内容对学生学习数列起到了启发作用，使数学常规教学内容与数学文化有效联系。

案例二　泥版上的数学

19世纪上半叶，考古学家在古代两河流域——美索不达米亚挖掘出大约50万块刻有楔形文字、跨越巴比伦历史许多时期的泥书板。其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板，记载了丰富的数学知识，如勾股定理、一次和二次方程的问题等。两河流域的人们解二次方程的过程与今天的配方法、公式法相似。这可使学生在欣赏巴比伦文明的同时，也能比较古今数学思想方法，古为今用。

泥版上记数法，如图3-11所示。

图3-11

2.巴比伦人的记数法，如图3-12所示。

图3-12

通过史实介绍古代两河流域数学思想方法的重要成果，引导学生观察、探究、交流，古代两河流域人们在泥版上表现的算术、几何和代数方面的数学成就，体会数学的理性及其对人类文明发展的作用，激发学生学习数学的热情。

案例三　利用“历史发生原理”教学

西方学者提出的“历史发生原理”（Historical-genetic-PrinciPle），即“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”的原理，为笔者提供了有效地用历史元素设计课堂教学的方法。

如在设计对数概念引入的教学时，笔者看到教材中由国民生产总值增长问题引出了对数概念。书中列出一个指数方程：a（1+ 8%）^x= 2a。这是已知底数和幂的值，求指数的问题，于是对数概念就顺理成章地呈现在学生的面前：“一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即a^b= N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log _a N= b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。”

其实历史上并不是这样引入对数的，历史上先有对数，后有指数。为了遵循历史的发展规律，也为了让学生更全面地了解对数发展史，对对数概念的教学做了如下设计：

1.问题的引入

请学生不用计算器，计算几个复杂的式子，如17.95 X0.083 04，让学生体验大数乘除计算的繁杂性，介绍对数发明的背景：6世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，特别是地理探险需要更为准确的天文知识，对计算速度和准确性的要求与日俱增，人们希望将乘除法归结为简单的加减法……

2.对数的产生

让学生小组讨论，观察如下表所示的上下两行数据，并找出其中的规律：

上一行数之间的加、减运算结果与下一行数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，即假定我们想求下一行任两个数之积，只要计算与这两个数对应的上一行的数之和，这就是历史上史提非的计算思想方法。

随后让学生利用上述方法计算：2 048 256。

在表格中找到2 048所对应的数11，再找到256所对应的数8。11减8等于3，找到3所对应的数字8，因此这个结果就是8。

再计算：25 X240。

用计算器算出2^4.6≈25，2^7.9≈240，而4.6+ 7.9= 12.5，2^12.5≈5 792.6，这和准确值25 X 240= 6 000有很大的差距。但2^4.644≈25，2^7.906≈240算得的结果就准确多了。所以，计算器能够做到足够的精确，但不能保证准确。不能准确地表示2的多少次方是25与240。由此形成对数概念。

3.对数概念的形成

我们需要引进一种新的表示方法，把数学家的发现上升为一种全新的理论，这种表示方法叫做对数。“一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即a^b= N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log _a N= b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。”

如：2^x= 25⇒x= log₂25，2^x= 240⇒x= log₂240。

“二期课改”强调学生不仅要掌握数学概念和结论，更应该在教学过程中充分揭示数学知识产生、发展的全过程，探寻数学知识的源泉。同时强调数学概念的形成应该是“自然”的、符合学生的认知规律的。所以我们可以以真实的历史故事创设情景，引导学生经历数学概念的形成过程，从而“自然”地在脑海中构建概念。

本堂课将数学史融入对数概念的教学中，丰富的历史人物故事、富有挑战性的提问激发了学生的学习热情和求知欲，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣。将数学发展中的若干重要事件、重要人物与重要成果等，融入教学内容中，也是体现数学文化价值的一种有效的途径。

四、实施成效

1.数学史融入高中数学教学可以激发学生兴趣、创造学习动机

通过设计数学史融入对数概念的教学，以及根据学生在课堂上热情的学习态度和他们积极地完成问卷调查，笔者发现，丰富的历史人物故事、富有挑战性的提问激发了学生的学习热情和求知欲，数学史融入高中数学课堂教学的确可以激发学生兴趣、创造学习动机。

兴趣是推动学生学习的内在动力，它决定着学生能否积极、主动地参与学习活动。在新的教育理念下，培养学生学习数学的兴趣，使其变被动学习为主动学习已成为数学教学的目标之一。笔者认为，有效应用数学史料使学生在掌握知识的同时了解这些知识的产生与发展过程，分享数学家经过刻苦钻研取得新的成果时的欢乐；或者向学生介绍一些颇具趣味性的历史名题及特殊有趣的数及数对，介绍数学家的趣闻轶事，都是激发学生学习兴趣的有效途径，同时还能活跃课堂教学，有助于揭示数学概念的内涵，数学史的介绍有助于激发学生的学习热情。

2.数学史融入高中数学课堂教学可以让学生开阔视野、拓宽思维

毕达哥拉斯学派的形数理论对等差数列的前n项和的推导有诸多启发，可以提高教学效率。将国内外相关的数学史料进行恰当整理，融入数列前n项和的推导中去，这不仅吸引了学生的眼球，而且让学生在一种故事型的气氛中，有条不紊地热情思考并掌握各种推导方法，使学生提高了上课效率。学生从中不仅开阔了解题视野，拓宽了思维能力，同时也提升了自身的数学涵养。

因此，笔者认为选择数学史中体现数学思想和方法的史料，将其渗透在教学过程中，可以引导学生沿着数学思维过程的原始过程进行探索，这种逐步揭示思维过程的策略可以使得学生充分领略以前数学大师的灵感，承受他们的启迪，也可以使学生从中获取他们的策略与经验。

3.数学史融入高中数学课堂教学可以预测困难、解释错误

在数学史融入虚数教学的案例中，笔者从已学过复数的学生完成的预测问卷中了解他们学习虚数时的困惑，再设计问卷。从预测问卷中主要反映学生存在三个疑惑，为何引入虚数单位？虚数是否存在？复数有何用途？这与历史上人们认识复数过程中出现的疑惑类似，学生有这样的疑惑正好验证了历史相似性理论。所以关于虚数概念的教学设计做到“以史为鉴”，让学生经历数学知识的形成、发展以及成熟的过程，经历历史上数学家的思维、困惑，体会数学在推动社会发展过程中所起的作用，使数学学习成为“再创造”的过程。

4.将数学史融入数学常规教学后，师生普遍感觉效果良好

从学生的学习体会中发现很多学生从这门拓展课中受益匪浅，其精神鼓舞人心，如下是部分摘要：

（1）教师给我们放映了很多看上去奇怪的图片（艾舍尔的作品），但仔细观察却发现其中有很多深奥的东西，带来巨大的视觉冲击，有一幅大概由很多不同形状拼在一起但每个部分却能紧密相邻，毫无瑕疵。同学们都不禁感叹，这到底是数学、艺术还是哲学，也许都离不开吧。终于明白每个角落都充满了数学。

（2）我感到数学并不只是书上那些一条条白纸黑字的公式，而是拥有生命的，在每个众所周知的公式背后隐藏着一个个不为人知的秘密，它可能是另一个境界的钥匙，帮助你能够到达新的一个层面。

五、发展思考

联系数学史所设计的问题不仅能激发学生的解题兴趣，而且能够对那些刻意设计出的、有明显人为痕迹的习题作一个补充，从而丰富课程内容。所以，数学史对数学教学有很重要的教学意义。展望下一步的教学，笔者认为：

1.教师应该积累更多数学史知识

在关于数学史对数学教学作用的教师问卷中，82%的教师表示不了解数学的发展历史，但96%的教师认为有需要去了解一个概念的来源及其历史。87%的教师认为数学史对学生将来的学习、生活及工作都有作用。74%的教师表示除了介绍教材上内容外，还会补充一些其他方面的内容，但补充材料和数学史无关，大多为解题技巧方面的补充。由此可见，大多数教师是期望有机会学习掌握更多与中学数学相关的数学史知识的。所以，数学史的学习应该在数学教师队伍的继续教育中得到重视。

2.教师在课堂上要多把有教育价值的数学史素材与数学教学融合起来。但是，教师利用数学史创设情景进行教学设计时，不能生搬硬套，要结合学生的学习水平，教材的编写，做适当的加工，尽量少绕弯子，精简数学史料，以学生易接受的形式呈现

这样结合数学史不仅缓和了数学概念引入时的枯燥，更培养了学生学习数学的兴趣，使其变被动学习为主动学习已成为数学教学的目标之一。丰富的历史人物故事、富有挑战性的提问无疑激发了学生的学习热情和求知欲。兴趣是推动学生学习的内在动力，它决定着学生能否积极、主动地参与学习活动。笔者认为，有效应用数学史料使学生在掌握知识的同时了解这些知识的产生与发展过程，分享数学家经过刻苦钻研取得新的成果时的欢乐；或者向学生介绍一些颇具趣味性的历史名题及特殊有趣的数及数对，介绍数学家的趣闻轶事，都是激发学生学习兴趣的有效途径，同时还能活跃课堂教学，有助于揭示数学概念的内涵，数学史的介绍有助于激发学生的学习热情。

《数学哲学与数学史》课程的学习是一个教学相长的过程，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

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