第二次方程求根公式

第十节　求根公式^[10]——由韦达定理引发的方程求根公式的数学探究之旅

在介绍一元二次方程的韦达定理后，笔者向学生简要说明一元三次方程ax³＋bx²＋cx＋d＝0也有韦达定理。同时和学生一起探索如何利用韦达定理解一元二次方程ax²＋bx＋c＝0：设x₁＞x₂，由，可得（x₁－x₂）²＝（x₁＋x₂）²－4x₁x₂＝，则x₁－x₂＝。解方程组，得x_1，2＝这样，由求根公式得到韦达定理，再由韦达定理求得求根公式，学生对两者及其联系都有深刻的理解。

课后，有个学生跑过来问我，能不能由三次方程的韦达公式来求它的求根公式？笔者当时并没在意，因为三次方程求根公式很复杂，对一个初中学生来说可能是无法解决的，但又不能打击他的积极性，于是轻描淡写地说了一句：那你试试看吧。没想到，第二天他拿了厚厚一叠草稿纸来找我，说：“我本想把韦达定理变形为的形式，然后解方程组，但没有成功。不过我把韦达定理变形为的形式（变形过程参看本文附录）。如果这个方程组解出了，那我就解出了三次方程。可是，这个方程组我也解不出，但我觉得它的形式很漂亮。”

笔者不禁为学生的想法所震动。由二次方程向三次方程作类比与推广，运用所学知识对方程组进行变形，这里包含了学生对数学的兴趣和对知识的渴求。于是我就和他一起去寻找这个方程组的解法，我们尝试了很多方法，但却一无所获。最后求助于电脑，其结果的复杂程度让人难以置信：屏幕上密密麻麻布满了数字与符号。如果这个工作由手工来完成，是何等繁杂。

看到学生脸上露出失望和无奈的神情，我想可以趁这个机会向他简单介绍一下历史上三、四次方程求根公式的方法。

对于一元三次方程y³＋a₁y²＋a₂y＋a₃＝0，作变换y＝x－，则可化为缺失x²项的方程x³＋px＋q＝0。利用（u＋v）³＝u³＋v³＋3uv（u＋v），令x＝u＋v，则原方程化为（u＋v）³＋（－3uv）（u＋v）＋（－u³－v³）＝0。则只需解出即可。将方程组变形为，由韦达定理可知，u³，v³是二次方程z²＋qz－＝0的两个根。解得z_1，2＝－。所以u＝，所以x＝u＋v＝。因为再往下解，将遇到虚数，所以没向学生介绍，但告诉他三次方程最多有三个解。

对于一元四次方程y⁴＋a₁y³＋a₂y²＋a₃y＋a₄＝0，作变换y＝x－，则可化为缺失x³项的方程x⁴＋qx²＋rx＋s＝0。然后引入三个辅助量u，v，w，即令x＝u＋v＋w，可得。由韦达定理知u²，v²，w²是三次方程z³＋z²＋（q²－）z－＝0的根。若这个三次方程的根为z₁，z₂，z₃，则u＝±，v＝±，w＝±。这时x＝u＋v＋w有8种可能组合，不过受uvw＝－限制，实际上只有4种组合，所以一元四次方程有四个根。

这时，学生注意到三次方程作了变换y＝x－，而四次方程作了y＝x－，可以分别使原方程缺失x²和x³的项。于是他说，可不可以对一元二次方程y²＋a₁y＋a₂＝0作变换y＝x－，使原方程缺失x项，然后再直接开平方？尝试如下：

（x－）²＋a₁（x－）＋a₂＝0，所以x²＝－a₂，x＝±，y＝x－＝±。这与我们使用配方法解在本质上是一样的：由y²＋a₁y＋a₂＝0得由y²＋a₁y＋－＋a₂＝0，则（y＋）²＝－a₂。

原以为我们对这一问题的探索到此就可以结束了，没想到第二天他又来找我，兴奋地告诉我他找到一种解二次方程的新方法：

对x²＋px＋q＝0，令x＝a＋b，则（a＋b）²－（a－b）（a＋b）－2b（a＋b）＝0。令a－b＝－p①，2b（a＋b）＝－q②，①²＋4×②＝（a－b）²＋8b（a＋b）＝（a＋3b）²，所以a＋3b＝③或a＋3b＝－④。3×①＋③得a＝；联立①、④可得x

很明显，这种方法是受三次方程解法的启示。他还告诉我，他先是尝试利用（a＋b）²－a（a＋b）＋（ab－b²）＝0，但失败了。

回过头看整个过程，笔者觉得，这是师生一起经历了一次奇妙的数学之旅。在这个过程中，对数学的兴趣，对知识的渴求，使学生全身心地投入其中。虽然也经历了挫折和失败，最后的结果也未必很有实用价值（他得到的一元二次方程新解法就没多大实用价值），但是，整个过程表现出的发现问题的意识和解决问题的方法，对学生来讲是一笔十分珍贵的财富。所以，作为教师，应该保护学生的好奇心，并适时地引导学生进行探索。

此外，笔者尝试把这一经历设计成教学过程，进行课堂教学，但效果并没笔者所设想的那么成功。虽然对学生进行了启发引导，但很多学生的思路似乎是由教师牵着走。进行到最后，很多学生的脸上都露出茫然的神色。也许，这些教师认为很有趣的知识，并不是他们所要的。也许，只有学生对教学内容产生浓厚的兴趣，他们才能全身心地投入其中。这也启发我们，教师应在调动学生的好奇心上下工夫。

附录

对于三次方程x³＋ax²＋bx＋c＝0有韦达定理：

因为（x1＋x2＋x3）2＝＋2（x₁x₂＋x₁x₃＋x₂x₃）

所以

所以

而　　（x₁＋x₂＋x₃）（x₁x₂＋x₁x₃＋x₂x₃）

所以

【注释】

[1]本文发表于《中学数学杂志》（初中）2007年第4期；《中国人民大学复印报刊资料・中学数学教与学》（初中）2007年第11期全文转载了此文。作者：仇文筱，周均华。

[2]本文发表于《中学数学杂志》2010年第2期，作者：唐慧荣，张维忠。

[3]本文发表于《中学数学教学参考》（初中）2006年第12期，作者：汪晓勤。

[4]本文节选自作者教育硕士学位论文“初中概率统计教学中随机观念的培养”，该学位论文2012年曾获全国第三届教育硕士专业学位优秀论文，作者：高定照，导师：张维忠。

[5]本文发表于《中学教研（数学）》2008年第11期，作者：徐玉蓉，张维忠。

[6]本文作者：刘浩文，张维忠。

[7]本文发表于《中学数学教学参考》（高中）2004年第3期；《中国人民大学复印报刊资料・中学数学教与学》（高中）2004年第7期全文转载了此文。作者：朱哲，张维忠。

[8]本文发表于《中学数学教学参考》（高中）2006年第9期，《中国人民大学复印报刊资料・中学数学教与学》（高中）2007年第1期全文转载了此文。作者：章水云，张维忠。

[9]本文发表于《中小学数学（高中）》2010年第7－8期，作者：徐晓芳，张维忠。

[10]本文发表于《数学传播（台湾）》2006年第2期，作者：朱哲。