如何证明三点共线

如何证明三点共线

黄金殿

在初中几何教学中，遇到证明三点共线的习题较多。概括起来有两类：一类是直接证明三点共线的习题，另一类是证明某个结论需要证明三点共线的习题。这两类习题在教材中出现不多，但证法不易掌握，很多学生无处下手。现总结证明方法如下。

一、应用平行公理证明

（平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）

例1　已知如图，∠A+∠C=180°，∠1=∠2。

求证：A、B、E三点共线。

证明：∵∠A+∠C=180°（已知）A B

∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）。

∵∠1=∠2（已知）

∴BE//CD（内错角相等，两直线平行）CD

∴A、B、E三点在一条直线上。

二、应用平角定义

例2　已知如图，COD是直线，∠1=∠3。

求证：A、O、B三点在一条直线上。

证明：∵COD是一条直线。

∴∠1+∠2=180°（平面定义）。

∵∠1=∠3，∴∠2+∠3=180°。

∴A、O、B三点在一条直线上（平角定义）。

三、应用垂线的性质D

（垂线性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）

例3　已知，菱形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，ON⊥AD，OM⊥BC，OE⊥AB，OF⊥CD，点N、M、E、F分别为垂足。

求证：四边形EMFN是矩形。

证明:∵四边形ABCD是菱形。

∴AD//BC.

∵OM⊥BC，∴OM⊥AD。

又∵ON⊥AD，过O只能作一条直线垂直于AD。

∴M、N、O在一条直线上。

同理E、F、O也在同一条直线上。

∵在菱形ABCD中，∠1=∠2（菱形性质定理2）。

又∵OE⊥AB,ON⊥AD，∴OE=ON。

同理OE=OM.OM=OF，∴OE=OF，OM=ON。

∴四边形EMFN是平行四边形（平行四边形判定定理3）。

∴OE+OF=OM+ON，即EF=MN。

∴EMFN是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。

（载《现代中学生》2007年第10期）