《反比例函数的性质》教学设计

《反比例函数的性质》教学设计

康瑞静

一、内容简介

通过一系列探究活动，引导学生总结归纳反比例函数的性质及几何意义，并用标准的数学语言得出结论。

二、学习者分析

在学习反比例性质前应具备的基础知识：

1.一次函数的图像和性质。

2.反比例函数的定义。

3.反比例函数的作图。

三、学习目标，能力训练及情感与态度

（一）教学目标

1.从函数图像中获取信息，探索并掌握反比例函数的主要性质。

2.了解反比例函数的几何意义。

（二）能力要求

1.训练作图能力，识图能力

2.探索能力和语言组织能力。

（三）情感和态度

1.积极投身于数学学习活动中，培养他们的好奇心和求知欲。

2.敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难勇气和运用知识解决问题的成功体验。

四、教学重点、难点

1.教学重点：探索反比例的性质及几何意义。

2.教学难点：反比例函数性质的运用。

五、教学理念和教学方式

学生是学习的主人，应在教师指导下进行主动而富有个性的学习。

六、教学和活动过程

（一）创设问题情境，引入新课

回顾一次函数y=kx+b的图像和性质时，研究了图像经过的象限与k、b的符号有关，还研究了函数的增减性，并请同学回答加以复习巩固。

问：反比例函数图像有怎样的性质呢？

（二）新课

1.各组分别画出y=、y=、y=的图像，并观察图像思考以下问题：

（1）图像分别位于哪几个象限？

（2）在每个象限内随着x值的增大y的值是怎样变化的？你是怎么判断的？

（3）反比例函数的图像可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？你从哪知道的？

请大家先独立思考，再互相交流。

老师出示投影片1：y=、y=、y=的图像。

学生回答：

（1）k＞0图像位于第一、三象限内。

（2）在每个象限内当自变量逐渐增大时，函数值逐渐减小。

判断方法两种：①从列表上可看出　②在函数图像上任取两点作比较可得出。老师讲解并作示范。

在第一象限内任取两点A、B分别向x轴、y轴作垂线，找到对应的x₁，x₂；y₁，y₂

因为在坐标轴上能比较x₁、x₂，y₁和y₂的大小。

可知x₁＜x₂y₁＞y₂所以在第一象限内y随x的增大而减小。第三象限分析一样。

（3）双曲线逐渐接近x轴和y轴，但不可能与x轴、y轴相交。

①由作图可知

②由y=（k≠0）可知，自变量x不为0，双曲线不能与y轴相交。

∵当k≠0，y也不为0∴双曲线不能与x轴相交。

老师总结：当k＞0时，函数图像分别位于第一、三象限内，并且在每一个象限内y随x的增大而减小。

2.教师出示投影片2：y=、y=、y=的图像。

同样得出，k＜0时，图像位于第二、四象限内，并且在每一个象限内，y随x的增大而增大。

图1

教师强调：在每一个象限内

举反例x₁＜0＜x₂则y₁就不大于y₂，如图1所示

例：如果反比例函数的图像位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是________。

分析图像位于第二、四象限，说明k－1＜0即k＜－1，小于－1的整数只能是0。

例2：已知A（－1，y₁）、B（2，y₂）、C（3，y₃）在上，则下列关系式正确的是（　）

A.y₁＞y₂＞y₃　　　　　　B.y₁＞y₃＞y₂

C.y₂＞y₁＞y₃　　　　　　D.y₃＞y₁＞y₂

分析：两种方法可判

①画草图可得，如图得：y₁＞y₃＞y₂

②B（2，y₂）、C（3，y₃）在同一象限内∵2＜3∴y₂＜y₃A（－1，y₁）在第二象限，对应的函数值都在y的正半轴，而B（2，y₂）、C（3，y₃）在第四象限对应的函数值都在y的负半轴

∴y₁＞y₃＞y₂

3.反比例函数的几何意义：如图2，过反比例函数图像上的任意一点A，分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则S_矩形ANOM=|k|，如图所示

图2

结论：反比例函数y=（k≠0）中任意一组变量的乘积是一个定值即xy=k

例3：反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图像如图3，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果△OMP的面积为1，那么k的值是________________。

图3

分析：根据反比例函数的几何意义，得S_ΔOMP=即|k|=2

∵图像在第一、三象限∴k=2

教师小结

本节课学习了如下的内容：

（1）反比例函数y=的性质，当k＞0时，图像在第一、三象限内，y随x的增大而减小，当k＞0，图像在第二、四象限内，y随x的增大而增大。

（2）反比例函数的几何意义S_矩=|xy|=|k|

（3）反比例函数的图像既不能与x轴相交，也不能与y轴相交但当x的值越来越近于0时，y的值将逐渐变大，反之也成立，但永远不会与x轴和y轴相交。

学生小结

通过这节课你有什么收获和感悟，体会到了什么数学思想，对今后思考问题，有什么帮助。

同学自由发言，教师点评。

七、教学反思

本节课是反比例函数这一章的重点，也是难点，教学中让学生画出同类型函数的图像，学生通过比较得出性质，在授课中加强数、形结合思想的渗透，注意分类思想的讨论，引导学生运用数形结合思想分析问题、解决问题。