《二次函数》教学设计

《二次函数》教学设计

杨永利

一、教学内容

运用二次函数图像解有关问题。

二、教学目的

1.复习巩固二次函数的图像和性质。

2.能够运用数形结合的思想解决有关问题。

3.培养学生自觉运用数学思想解题的能力。

三、教学重点、难点

1.教学重点：数形结合思想的运用。

2.教学难点：如何从二次函数图像上获取所需信息。

四、教学方法

启发法、讲授法。

五、教学过程

（一）知识回顾（尽量让学生回答）

1.二次函数的图像是一条抛物线

2.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的性质

（1）当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下；

（2）抛物线的顶点坐标是对称轴是；

（3）当a＞0时，x=，y有最小值，当a＜0时，x=，y有最大值；

（4）当b²－4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²－4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²－4ac＜0，抛物线与x轴没有交点。

（二）典型示例

图1

例1：已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图1所示，下列结论中，①abc＜0②b=2a③a+b+c＜0④a－b+c＞0，正确的有（）个。

A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1

（2）二次函数y=ax²+bx+c的图像如图2所示，那么abc，b²－4ac，2a+b，a+b+c四个代数式中，值为正数的有（）个。

A.4　　　　　B.3　　　　　C.2　　　　　D.1

分析：解决这类问题的关键是如何从所给图像上获取关于a、b、c的符号等信息。一般从以下五点着手：

①抛物线的开口方法，（开口向上，a＞0；开口向下，a＜0）

②对称轴的位置（x=处在哪两个整数之间或者哪一个整数上）

③抛物线与y轴的交点位置（抛物线与y轴的交点的横坐标为0，从纵标的值即为C的值）

图2

④抛物线与轴的交点个数（交点个数决定b²－4ac）

⑤坐标轴上所标的数字的位置：（函数值分析出有关a、b、c的符号或有关代数式的特点）

解：（1）∵抛物线开口向下，

∴a＜0

又∵对称轴为x=－1，

∴=－1，即b=2a

∴a、b同号

∵抛物线交y轴于E半轴

∴c＞0，∴abc＞0

当x=1或－1时，有a+b+c=y，成a－b+c=y，从图像上看此时的数值分别为0和正数，

图3

∴a+b+c=0，a－b+c＞0，

∴结论中③不正确，均选B。

（2）观察图像有a＞0，b²－4ac＞0，c＜0，

∵＞0，∴b＜0，∴abc＞0

又＜1，a＞0知－b＜2a

∴2a+b＞0，x=1时，y=a+b+c＜0

∴此题中有abc＞0，b²－4ac＞0，2a+b＞0，a+b+c＜0，均选B。

题后反思：掌握a、b、c，b²－4ac在抛物线中的决定作用，是解此类问题的关键，常需要考虑开口方向，对称轴x=的位置、抛物线与轴的交点个数和坐标轴所标出的数之间的关系。

例2：已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图像如图3所示，对称轴为直线x=－1。

（1）确定a、b、c的符号；

（2）求a－b+c＞0；

（3）当x取何值时，y=0；

　　 当x取何值时，y＞0；

　　 当x取何值时，y＞0。

（4）由图像可知，当x值为何值时，y随x的增大而增大？当为何值时，y随x的增大而减小？分析：（1）、（2）的解决方法在例1中已经讲过，让学生分析并求解。

（3）由坐标知识可知，只有x轴上的点的纵坐标为0，所以要使y=0，必须确定抛物线与x轴的交点横坐标，x轴上方的点的纵坐标为正，满足y＞0，x轴下方的点的纵坐标为负，满足y＜0。

（4）抛物线开口向上时，对称轴左边图像下降，y随x的增大而减小，对称轴右边图像上升，y随x增大而增大。若抛物线开口向下，则相反。

解：（1）、（2）略。

（3）由图像知，当x=－3或x=1时，y=0；

　　 当－3＜x＜1时，y＞0，

　　 当x＞1或x＜－3时，y＜0

（4）x＜－1时，y随x增大而增大，

　　 x＞－1时，y随x增大而减小。

例3：函数y=ax²+bx+c的图像如图4所示，试确定方法ax²+bx+c=－2的解的个数。

图4

分析：由图像知函数最小值是－3，而－2＞－3，则图像知：直线y=－2与y=ax²+bx+c的图像有两个交点。从而方程ax²+bx+c=－2有两个解。

解：作直线y=－2∵－2＞－3

∴y=－2与y=ax²+bx+c有所交点

∴方程ax²+bx+c=－2有两个解

题后反思：不需要根据图像求函数关系式，再求方程的解的个数。利用图像所给的最小值以及y=－2与抛物线的交点个数即可判断出方程解的个数。

（三）小结

通过本节课的学习，我们应初步学会如何获取二次函数图像提供的信息，并结合性质和题目本身的条件处理问题，逐步做到自觉运用数形结合的思想解决问题。

（四）练习

1.如果a＞0，b＞0，c＞0，b²－4ac＞0，那么抛物线y=ax²+bx+c经过第____________象限。

2.若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为一整数，则c=____________。（只要求写一个）

方式：

学生先做，然后分组讨论，最后集中意见，做出结论。

六、教学反思

本节课是一节专题讲座，目的是想让学生运用数形结合的思想解决与二次函数图像和性质有关的问题，下面是讲完课后的一点感受。

（一）成功之处

1.比较系统地复习巩固了二次函数的图像和性质。

2.结合实例比较透彻地讲解了如何获取二次函数图像所蕴含的信息。

3.选取的例题比较典型，较好地反映了数形结合在解题中的重要性。

4.在讲授过程中启发法运用地比较自然，充分发挥了教师在教学中的组织作用。

（二）不足之处

1.启发法的效果不够明显。还有一部分学生不能接受数形结合的思想在解题中的运用，因为学生学习这种思想的时间不长，所见的题目也不够，在以后的教学中注意继续加强这种思想的渗透。

2.因为时间和课堂容量的关系，没有给学生充分的讨论时间，主要教学方法是讲授结合启发。

3.练习题稍少了一些。

（三）努力方向

适应课改要求，逐步做到老师只是教学的组织者和参与者，尽力发挥学生的主观能动性。让学生从学会变成会学。老师不只是教会学生做题，更重要的是教会学生思考，自己变成会教。