《建立实际问题的函数模型》教学设计

《建立实际问题的函数模型》教学设计

柳席宁

一、三维教学目标

（一）知识与技能

1.借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。

2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义。

3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图像）并借助信息技术解决一些实际问题。

（二）过程与方法

1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型。

2.实践探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势。

（三）情感态度与价值观

培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情。

二、教学重点

将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义。

三、教学难点

对收集的数据进行科学分析，如何选择数学模型分析解决实际问题。

四、教具准备

多媒体课件、投影机、计算器。

五、教学过程设计

1.创设情景，引入新课

师：前几天，安排大家分成几个实验研究小组做水司十字各时段车流量数据统计和冰块融化成水数据统计，完成的怎么样？

生：我们已经统计好了。就等着老师告诉我们谜底了！

师：我们生活的世界变化无处不在，常常含有变化着的量以及各种数量关系，通常可以建立数学模型进行有效研究。我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否告诉老师一些函数模型的具体例子？

生：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数等等。

师：当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢？本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势。（板书几类不同变化的函数模型）

2.学生展示，互相交流

通过引导学生交流展示搜集的资料（图表数据），让学生与同学互相促进，还培养了学生自主学习的能力。学生的积极性很高，体现了数学课的实践性，把课堂延伸到社会和生活，重建了学生学习数学的观念，让学生感受到了生活处处皆数学。

3.利用网络，查寻资料

通过上网查询，可以将学生收集的数据进行科学筛选，另外培养了学生搜集、处理信息的能力。培养学生严谨的科学态度与实事求是精神；也培养了学生的合作、协作与团队精神。

4.教师利用远程教育资源，演示补充资料

教师运用多媒体向学生演示了补充资料，激发了学生学习的兴趣，拓宽了学生的视野，丰富了学生的知识。

5.各小组组内讨论修改已得模型

通过此项活动，真正体现了学生学习的主体地位，激发学生的探索精神和求知欲，更大大加强了学生间的合作、协作关系。

6.各小组派代表发言，自我评价、介绍本组实践成果

培养学生的集体主义荣誉感，也可以提高学生的心理素质和语言表达能力。新课程提出，关注学生在课堂中的表现，应不成为课堂评价的主要内容，包括学生在课堂师生互动、自主学习、同伴合作中的行为表现、参与热情和探究、思考的过程等等，即关注学生是怎样学的。通过评价，促进学生发展和教师专业的成长。

7.全班讨论，并提出可行的修改意见或方案

通过此项活动可以使得资源共享，也可以使得每一位学生都得到全面的发展，思维更加开阔。

8.各个小组上网查资料，收集数据，分析数据，修改模型。

培养学生求实的精神和科学的态度，让学生学会坚韧的精神品质，养成科学的认知观。

9.再全班讨论

10.教师评价、小结

11.布置拓展练习

六、教学多媒体设计

七、教学结构流程图

课堂小结：

1.本节课主要从两个实际问题出发，从实践出发，收集、整理相关数据，结合所学习过的函数模型，推测、尝试列出相应的函数表达式，再经过列表描点在直角坐标系中画出相应的函数图像，最后结合图像并加以比较，来研究几类不同变化的实际问题函数模型的变化规律。

2.利用函数模型解决实际应用问题的基本过程：

板书设计：

备课资料：

1.某地区由于各种原因林地面积不断减少，已知1996年年底的林地面积为100万公顷，从1997年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：

试根据此表中数据进行预测（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）：

（1）如果不进行从1997年开始的开荒造林，那么2010年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？

（2）如果从1997年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年该林区的林地总面积达102万公顷？

解：（1）根据统计表进行分析，从1997年开始每年大约减少0.2万公顷。

设经过x年后，林地面积为y万公顷，

则y=100－0.2x.

到2010年年底，即经过了14年，

该林区原有林地面积减少为y=100－0.2×14=77.2（万公顷）.

（2）根据表中的数据分析，从1997年开始每年又新开荒约0.3万公顷，实际每年新增加林地面积为0.1万公顷。

设经过x年后，林地面积为y万公顷，

则y=100+0.1x.

由题意100+0.1x=102，所以x=20.

故该林区在20年年底，即2016年年底达到102万公顷。

2.设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y=ce^kx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×10⁵Pa，1000m高空的大气压为0.90×10⁵Pa，求600m高空的大气压强（结果保留三个有效数字）。

分析：这是物理方面内容，给出函数关系式，根据已知条件确定参数c，k

解：将x=0，y=1.01×10⁵，x=1000，y=0.90×10⁵，分别代入函数式y=ce^kx得

将c=1.01×10⁵代入0.90×10⁵=ce^1000k，得0.90×10⁵=1.01×10⁵e^1000k

由计算器算得k=－1.15×10^－4，∴y=1.01×10⁵×e^－1.15×10^－4

将x=600代入上述函数式得y=1.01×10⁵×e^－1.15×10^－4

由计算器算得y≈0.943×10⁵Pa

答：在600m高空的大气压强约为0.943×10⁵Pa。

3.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果你父亲存入本金1000元，每期利率2.25％，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01元）？

（注：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。）

分析：已知本金为a元，让学生逐步说出各期后的本利和。

一期后的本利和为：y₁=a+a×r=a（1+r）

二期后的本利和为：y₂=a（1+r）+a（1+r）r=a（1+r）²

三期后的本利和为：y₃=a（1+r）³

……

x期后的本利和为：y=a（1+r）^x

将a=1000，r=2.25％，x=5，y=1000×（1+2.25％）⁵=1000×1.0225⁵≈1117.68（元）

最后让学生板书解题过程，教师再一次强调解题步骤。

八、课后反思

1.部分学生对于计算器的科学计算功能掌握不是很好，导致数据处理出现很大误差，进一步引起数学函数模型构建的可靠性大大降低，今后应该加强学生在科学运算方面的专门训练。

2.很多学生的相关生活体验不足，使得对于有些问题或名词理解出现偏差，影响了模型建构的科学性。

3.今后应该加强学生对庞杂数据处理分析能力的培养，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要。

4.建构学习过程一定要以学生为主体，强调学生对知识的主动探究和实践，特别是在推理演算环节不能越俎代庖，要多角度多层次启发学生。

5.信息网络，多媒体只是辅助元素，在教学中千万不能喧宾夺主。

6.要多鼓励学生，多给他们些自信，特别是在学生建构模型出现偏差时，不能批评和否定，要保护学生的积极性和探究兴趣。