人类大脑中的数学和宇宙

有两个问题：（1）数学是独立于人类思维之外的存在吗？（2）为什么对数学概念最初的研究都是针对特定的课题，但当它们发展成熟后，人们通常总会发现这种面向特定背景的数学工具，其应用已经远远超过了早先的课题范畴？两个问题实际上是紧密联系在一起的，但是这种联系却又错综复杂，不可能用一句话表达清楚。为了简化讨论，我将会逐一回答它们。

首先，你也许会问今天的数学家在面对数学是发现还是发明这样的问题时，他们的回答是什么？下面我就引用数学家菲利普·戴维斯（Philip Davis）^［254］和鲁本·赫什（Reuben Hersh）在他们那本经典的《数学的经验》（The Mathematical Experience）中，对当代数学家所处环境的生动描写：

对于这个问题，大部分人也许都会同意这样的观点，一位真正的数学家，当他在工作时，他是一位柏拉图主义者（他把数学当做是一种发现），而当他在休息时，他就变成了一位形式主义论者（他认为数学是一种发明）。也就是说，当他正在研究数学时，他相信他面对的是一种客观的真实存在，这种客观真实的属性正是他试图研究了解的。但是接下来，当他被要求对这种客观真实给出哲学解释时，他发现最简单的办法是假装他根本不相信它。

我没兴趣研究用“他或她”替代“他”后，数学人口统计数据有什么变化，我一直有一种印象，那就是对于今天的许多数学家和理论物理学家来说，戴维斯的这种描写和刻画也许真的就是事实。尽管如此，一些20世纪数学家的立场却十分坚定，他们要么完全支持柏拉图主义，要么完全赞同形式主义论。下面引用的是戈弗雷·哈罗德·哈代在他那本《一个数学家的自白》中的话，这段文字代表了柏拉图主义者的观点^［255］：

对我而言，并且我认为对绝大多数的数学家们来说，存在另外一种形式的现实，我本人把它称之为“数学现实”。不过，不管是在数学家的眼中，还是在哲学家那里，对于这种数学现实的本质一直都有不同的意见。一些人坚持认为它是“人为创造”的；但是，也有些人认为，它独立于我们，是存在于我们思维之外的。一个能对数学现实给出可信解释的人，一定也能解决形而上哲学中绝大多数最困难的问题，如果他还能解释物理现实的话，他将能解决形而上哲学中所有难题。

在这里，我不想为这些问题展开争辩，甚至还装出一副“我能回答”的样子来。但是我将清楚地表明我的观点以避免误解。我相信数学现实存在于我们人类之外，人类的作用只是发现或观察它们。我们所能证明的定理，我们言之凿凿地描述的“创造”，事实上仅仅只是对我们观察的记录。自柏拉图之后的许多颇有声望的哲学家都赞同这一观点，或者对这种观点有其他不同表述方式，我也要使用这种语言，对于支持它的人来说，它是再自然不过的了。

不过，也不是所有人都同意这样的看法。数学家爱德华·凯斯纳（Edward Kasner，1878—1955）和詹姆斯·纽曼（James Newman，1907—1966）在他们合著的《数学和想象》一书中就表达了完全相反的观点^［256］：

数学所享有的声誉是其他任何一种迸发出来的、目的明确的思想无法比拟的，这并不令人感到惊讶。我们必须承认，在科学领域，数学的确使科学研究取得了众多进步，它在处理实际事务中不可或缺，它使理论抽象变得更加容易理解，对其在人类智力成就中的杰出贡献的推崇绝对是它应当得到的。

尽管数学有这么多优秀之处，但是如果想从数学的各个分支中评选出哪一项研究成果最为重要，应当首推最近才出现的非欧四维几何学。当然，这绝不是说微积分、概率论、无限运算、拓扑学，以及其他我们讨论过的数学分支不重要。上述的所有这些数学分支，都极大地丰富了数学这门学科的内容，并且让我们对物理宇宙的认识更加深入。然而，这些内容没有一项像非欧几何这样的“异端邪说”那样推动数学自身的反省，并且促使人们重新认识数学内部各个分支学科领域之间的关系。

这种英勇的、关键性的、产生了“异端”精神的结果是，我们战胜了数学真理是独立存在并且与我们思维无关的观点。其实这种观点一直以来都存在，这也就是毕达哥拉斯曾经提到过的，是笛卡儿，还有19世纪以前其他一些著名数学家都赞同的。今天，数学已经从重重枷锁下解放了出来，它抛弃了过去的众多束缚。不管其本质是什么，我们认识到它如同思想一样自由，如同想象一样可以被捕捉到。非欧几何可以证明，与星空的音乐（毕达哥拉斯语）不同，这种数学是人类自己的作品，唯一限制它的只有思维的规则。

精确性和确定性是数学的鲜明标志，这是大家公认的。但对“发明还是发现”这个问题，我们则有了分歧，这种分歧在哲学或政治领域尤为典型。我们应当为此感到惊讶吗？实际上完全没有必要。数学是发现还是发明这个问题，事实上根本不是一个数学问题。

“发现”的提法暗示了在宇宙间有一种宛如前世的存在，这种存在要么是真实的、要么是超自然的，而“发明”的说法则涉及人类思维，这里的思维可能指某一个人，也可能指整个人类。因此，这个问题是一个跨学科领域的课题，它涵盖哲学、数学、认知科学，甚至人类学，而决不是数学能独立解决（至少不是能直接解决的）。因此，从这个意义上讲，数学家甚至不是回答这个问题的最佳人选。毕竟，用语言来表演魔术的诗人，不必是最好的语言学家；最伟大的哲学家也不一定必须是研究人类大脑功能的专家。对于数学究竟是“发明的还是发现的”这样的问题，只能从不同学科领域（如果有可能的话应当从全部学科领域）的众多线索中仔细探查才可以得到答案。