店头市场债券期权定价中存在的问题

第十二章　店头市场利率期权

在本书中，目前为止我所探讨的只是在有组织市场中交易的期权。在20世纪80年代，形成了一个全新的期权市场，它致力于解决与各种经济风暴相关的前所未有的利率、商品和外汇风险。在一个有组织的市场中不提供这些产品，相反它们由金融机构直接提供给客户。这些产品被称为店头市场（Over the Counter，OTC）期权。交易所交易的期权与店头市场期权之间主要的差别在于交易所交易的期权交易更为活跃但不是非常灵活（到期日和执行价格的范围受到限制），而店头市场期权提供特制的条款，但常常流动性较差或成本较高。在本章，我将仅仅分析店头市场利率期权。在下一章探讨变异期权时，店头市场期权的论述范围将包括所有主要的金融市场。

在利率风险管理中以下产品特别常见，它们是：固定收益工具（fixed income instruments）店头市场期权（比如债券）；利率保证协议（Interest Rate Guarantees）；利率上限、下限和对冲（Interest Rate Ceilings，Floors and Collars），以及利率互换（Interest Rate Swaps）期权。在本章，我将依次探讨这些内容，并且告诉读者这些定制的产品与以前在本书中探讨的概念有怎样的联系。我将探讨的第一个店头市场期权是店头市场债券期权。

店头市场债券期权

在现有的店头市场利率期权中，标的资产为固定收益证券、组合或贷款的期权最为常见。当然，期权长期以来与固定收益证券有关，这些证券与许多债券一样具有内置看涨期权特征。典型的看涨期权特征赋予债券发行人一定期间内以在债券发行时指定的价格从债券持有人手中回购债券的权利。可赎回债券（Callable Bond）的持有人实质上持有一个“买入”债券和“卖出”债券看涨期权的头寸。如果读者参考第十章第3个例子，他就会注意到当用债券多头和看涨期权空头进行组合时，组合损益与做空看跌期权的损益完全相同。^[1]因此，相对应地，可赎回债券的发行人必定持有类似于买入债券看跌期权的头寸。

这些看涨期权（或看跌期权）特征常常从标的债券中分离出来，并作为店头市场债券期权单独出售。这种技术一个最新的案例出现在德国市场上，德国政府在市场上发行名为Schuldscheindarlehen的政府债券（Bundesanleihen），这种债券含有允许购买人在1年、2年和3年后向德国政府回售债券的看跌期权特征。许多投资银行购买了这种债券，然后剥离出看跌期权特征，将它们作为店头市场政府债券期权向市场出售（实际上就是我将在本章后面部分探讨的互换期权）。^[2]这种技术在意大利市场上也有应用，意大利共和国政府在市场上发行Certificati di Credito del Tesoro Con Opzione（CTOs），这种债券也含有在规定的日期向政府回售债券的内置（embedded）看跌期权特征。许多意大利投资银行也将这种期权剥离出来，并将它们作为里拉（Lira）互换期权向市场出售。对投资银行来说不存在风险，因为出售的互换期权（债券看跌期权）设定的条款与政府债券（CTO）中期权的条款完全相同。投资银行再次应用第三章和第八章描述的简单看跌—看涨期权平价规则锁定交易为无风险交易（当然有一定收益）。现在这种期权剥离技术在几乎所有的固定收益市场上都有使用，并成为众多投资银行固定的赚钱方式。这些运作成功的关键因素是测定复杂结构产品中内置期权的“公允”价值。本章的目标之一是告诉读者这些期权如何公平定价。

此外，为了从现有债券中剥离出内置期权以构造店头市场债券期权，许多做市商也通过卖出期权和用标的债券规避风险，以提供“新”的期权。店头市场债券期权到底是什么？一份店头市场债券期权的典型条款参见表12. 1。就合同条款的灵活性来说，店头市场债券期权是合约条款可以协商（有时称为“喊价bespoke”）的期权。可协商的条款包括标的工具（比如，特定的固定收益工具），标的资产数量大小（有最小数量的限制），欧式或美式执行特征的看跌或看涨期权（或各种其他期权），完全灵活的到期日（一般超过一年）以及行权时结算方式以实物交割或现金结算。

表12. 1　一份店头市场债券期权的条款

为什么在交易所交易的期权有很高流动性时还有人愿意从事店头市场债券期权的交易？答案在于它的灵活性。店头市场债券期权的条款完全可以协商，而交易所交易的债券期货（或实物债券）期权却不能协商。所以，店头市场债券期权是完全满足使用者投机或套期保值需要的一种工具，套期保值需要是指不用承担用另一种工具对暴露头寸进行“交叉套期”产生的风险，也不承担所谓的“基差风险”。^[3]此外，套期者不必接受与交易所交易的期权到期日不匹配的收益曲线或某一期间的套期风险。

店头市场债券期权的应用案例

现在我将为客户分析店头市场债券期权的众多应用。我们假设某一投资者计划购买某一特定债券（可能是新发行的），并且希望在某一特定的价格水平将它全部出售。考虑到这些情况，他可以构造一个买入—卖出策略，即他买入债券，同时以他愿意出售债券的价格水平作为执行价格向投资银行卖出一份债券看涨期权。如果债券价格上涨至他希望的水平，他可以通过期权的行权卖出他的债券，如果市场价格没有上涨，他将能保留店头市场债券期权的期权费。此外，投资者可以用店头市场债券期权来代替某一特定债券的购买。读者可以回忆起，这些在第十章第1个案例中探讨过。店头市场债券期权的不同之处在于行权时购买者知道他实际上购买的是哪种债券。在长期政府债券（T - Bond）期货期权中，行权时他收到的是长期政府债券期货合约，在到期交割时期货合约允许他购买“交割最便宜”的美国政府债券，而这可能不是他最终希望购买的金融工具。第3个案例是对那些希望从美国政府债券市场波动中获利，但不愿意将大部分可支配资金兑成美元的外国投资者来说的。店头市场债券期权允许他通过支付小额期权费而有机会选择他所希望购买（或出售）的特定债券，同时承担对美元的最小暴露风险。此外，如果他持有的外汇与美元之间的汇率波动对他有利（与美国政府债券价格水平对他有利一样），则他将在固定收益期权和外汇期权的组合中获取双重收益。客户使用店头市场债券期权的最后一个案例是对那些想要做空某一特定债券，但因各种原因不能借入那种特定债券进行卖空的交易商来说的。通过买入店头市场债券看跌期权和以相同的执行价格卖出同一债券店头市场看涨期权，交易商构造出了一个合成的卖空债券头寸。^[4]

店头市场债券期权的定价

利率期权的定价是本书中目前为止我要解决的最难的主题，这主要是因为决定债券或其他附息证券价值的最终潜在因素是利率本身。虽然股票或商品可以被假定为服从随机游走模型，但利率的波动却难以用模型表示。此外，债券价格不只是单个利率的一个函数，而是像债券有多个现金流量一样它是多个利率的函数。例如，一个10年期的美国政府债券每半年付息一次且10年后还本，因此，这个债券总共有20个日期支付现金给债券持有人。为测算债券的当前价值，我们可以简单地把所有这些将来的付款折现为当前价值，予以加总就可以得出债券的价格。问题是成为期权基础的是哪个利率或哪些利率。如果我们主张一个附息债券是一组（在本例中是20）纯折现债券，则所有20个现金支出应该根据它们各自的特定利率折现为当前价值，这通常被称为“零息”利率。因为所有20个现金流可以被认为是一系列不付息（从而是零息）的单个债券。

我们测算每一单个现金流的利率，可能会发现它们处于不同的水平。一般来说事实如此，学术界把这种结果称为“利率的期限结构（the Term Structure of Interest Rate）”，大多数实务工作者称这种结果为（零息）收益曲线。债券期权定价中存在的问题是，我们不是为标的资产只有一个债券的衍生证券（期权）定价，而是为标的资产为债券（单个现金流）组合的期权定价，而且这20个“亚债券（subsecurities）”可以有不同的标的资产价格水平、波动率和有效期。因此，为标的资产为若干现金流（零息债券）组合的期权定价，我们必须提供能比用Black & Scholes模型定价的简单期权所要求信息更多的信息。事实上，我们需要合并利率的整个期限结构，并且以某种方式评估它在期权有效期内如何发生变化。此外，债券价格本身将随到期日的临近而发生变化。考虑以下情形：债券的波动率是所有单个现金流波动率的某种形式的合计。随着这些现金流被支付（付息日），来自于债券波动率的不确定性因素也随之下降，因为它们不再具有不确定性（它们已经落入了你的口袋）。因此，就像你所预期的那样，债券的波动率随着到期日的临近而缓慢下降。

为解决这些问题并获得债券期权的价格，基本上我建议用两种方法。第一种方法对基本的Black & Scholes模型进行修正，并试图在债券临近其最终到期日时合并变化的债券方差。这类模型包括：默顿（Merton）的债券期权模型（Debt option model），鲍尔和托尔斯（Ball & Torous）的“布朗桥（Brownian Bridge）”模型以及谢弗和施瓦茨（Schaefer & Schwartz）的期限（Duration）模型。第二种方法是通过试图估计利率整个期限结构的波动来解决这个问题。这类模型中最有名的是Ho-Lee模型。

Black & Scholes模型很快可以被排除掉，因为这个模型假设波动率为常数，虽然它对单一证券行之有效，但模型对极可能有不同波动率的多个证券的组合必然行不通。回到第二章对Black & Scholes模型做的类比，基本模型与尼康相机一样完好，但债券期权的问题在于你需要“电影摄影机”来记录几乎同时发生的许多图像，而不仅仅是单个的框架图。第一个试图吸收“更多图像”的模型由罗伯特·默顿（Robert Merton）于1975年提出。^[5]默顿找到的解决债券期权定价的方法有必要指定债券（收益）的波动率，它包括期权有效期内的平均预期波动率以及短期利率与长期利率之间的相关条件。在本章的后面部分，我将提供另一个模型，基本上它用于处理互换期权定价。^[6]

第二个为债券期权定价对Black & Scholes模型进行的修正由鲍尔和托尔斯（Ball & Torous）于1983年提出。^[7]他们对Black和Scholes提出的有关布朗运动的假设表示怀疑。他们主张债券价格不可能只是漫无目的地四处游走（像醉汉随机行走一样）。我们知道，当债券首次发行时，如利息等于相同期限可比债券的市场收益时，则它的初始发行价为100（面值），并且在到期日最后归还本金时，它的价格将也是100（面值）。然而在这两个日期之间，债券的价格会发生变化。他们称之为“布朗桥”。从图12. 1可以看出这些价格变动。在图中，债券价格从100开始（在“河”的一方），上下波动直到到期日返回100（在“河”的另一方）。根据对债券价格如何波动进行修正后的假设，他们本质上使用的是Black & Scholes方法对债券期权定价。布朗桥方法存在的问题是它也假设随着时间的变化，相对方差是常数。随着债券到期日的临近，波动率可能增至无穷大，我们知道随着现金流（首先引起债券波动）逐渐被支付（不再增加债券的总体波动），波动率的变化恰恰相反。

图12. 1　债券的布朗桥分布

我将探讨的通过调整债券波动率对债券期权定价的下一个方法是谢弗和施瓦茨（Schaefer & Schwartz）的期限模型。^[8]谢弗和施瓦茨假设债券的风险与它的期限有关。^[9]这个模型存在问题是期限类似于期权的Dleta，当利率发生变化时它也随之变化。此外，期限概念假设利率的期限结构只能以一种方式变化，即对每个到期利率来说变化的数值相同。因此，如果90天的利率从7%升到8%，上升了1%，则20年的利率也将同样变化1%，可能从9%升到10%。如果利率不遵循这种模式，则此方法行不通。对那些不熟悉期限和凸性概念的读者，我将在本章的后面部分介绍这些概念，并探讨期权如何影响债券价格风险的这些指标。

考虑到不同期限结构中利率不总是改变相同数值这个事实，可以尝试采用另一种方法：试图对整个利率期限结构的可能变化构建模型的方法。第一个这样的模型由霍和李（Ho and Lee）提出。^[10]他们不是从构建一个或多个利率的波动率模型以测算利率的期限结构开始，而是从期限结构本身（在他们必须为期权定价时）开始并追问整个结构如何变化。通过假设期限结构由于某种原因发生变化，假设市场认为它应该能看到那种变化（不可能存在套利交易），他们尝试了各种不同的期限结构模式，看看会产生什么结果。他们使用的是第三章介绍的二项式方法。随着时间的变化，期限结构向上弯曲或向下弯曲，或可能变得平滑。考虑到期限结构的预期波动，则对整个附息债券中的所有单个亚债券进行估价是一件简单的事情，所有这些小期权的总和就是附息债券期权的价格。不幸的是，Ho-Lee模型存在的一个问题是他们的假设存在名义利率为负的可能（这明显不合理）。考虑到Ho-Lee模型的这个不足，另有些方法避免了利率可能为负的问题。本质上说，有三种常见的期权定价模型用于解决利率期限结构的问题（实际上是利率均值回归的假设）。这三个模型包括：Black - Derman - Toy模型，^[11]Hull - White模型，^[12]Heath - Jarrow -Morton模型^[13]。在表12. 2中，所有这些模型都提出了随机分布（stochastic dispersion process）的假设，Ho - Lee模型也包括在内以便比较。

表12. 2　均值回归模型的随机分布

虽然我通常并不回避介绍给读者完整的定价模型，但在这种情况下是个例外，因为这四个模型很复杂。然而，给读者介绍假设的随机分布以说明各种模型做什么就足够了。对于所有这些模型来说，结果实质上是相同的。均值回归既受均值（或移动）调整的影响，也受波动率调整的影响。前三个模型调整均值，最后一个模型调整波动率。这些调整允许最终资产价格（这些模型中是利率）的统计分布变得平滑，且不再是简单地与到期时间成比例。

这就好比一个人开了枪，但由于重力的影响将沉重的子弹向下拉，弹丸没能击中谷仓门上的目标。如何解决？要么把枪举高些以抵消重力的影响（调整分布的均值），要么换枪管更长的枪以减少弹丸的散射且更多地集中在目标上（通过调整波动率）。但正如读者所猜测的那样，这些特别开发的模型仅仅解决均值回归问题，而均值回归可能不是波动率的期限结构为什么不平滑的惟一原因。所以，在修正所有导致期限结构弯曲而不平滑的因素时，模型受到了限制。

因此，有如此多的模型可供选择，实务工作者应该选择哪个模型对债券期权定价？在以上列示的方法中，Ho - Lee模型或Hull - White模型似乎目前很流行，但它们非常复杂，而且要假设交易商能输入有关期限结构预期变动的变量。第三章提供了另一个更简单的方法。在修正外汇期权定价模型的讨论中，我提供了马克·加曼（Mark Garman）的主张：所有的期权可以被视为资产期货价格的期权。如果真是这样的话，则测算债券的期货价格就是一件简单的事情，然后应用可靠的Black （1976）模型对期货期权定价。最近的一本书中，^[14]表明Ho - Lee模型和Black （1976）模型对债券期货期权的定价结果几乎没有差别。从本质上说，所有这些复杂的期权公式都在试图估计期权到期日债券价格的大小（期货价格），然后，它们测算那一点的期权价格。为测算期权的当前价格，结果只是到期日预计期权价格的现值。同样对第三章的外汇期权，为什么你自己不估计债券的远期价格，然后，应用一个简单的模型去测算期权时间价值的组成部分？对于许多交易商来说（包括我自己在内），简单似乎就能胜出，他们将估计各自的债券期货价格，然后，应用Black（1976）模型对债券期权定价。

债券期权波动率输入的估计

任何期权定价的关键问题是对输入到定价模型中去的波动率的估计。在债券的波动率输入中存在特殊的问题，本部分我将加以解决。目前为止，当我们探讨期权定价模型的波动率输入时，波动率是衡量标的工具价格变动的指标。考虑到随着时间的推移标的工具基本保持不变，这样做对于股票、外汇或期货合约来说是合适的。例如，标的资产为一份期货合约的期权直至到期为止，将总是同一份期货合约，对债券来说却并非如此。

考虑我们持有一份标的资产为5年期债券的1年到期看涨期权的情形。6个月后，标的资产将不再是一个5年期的债券，而变成一个4年半的债券。如上所述，4年半期的工具比5年期的工具波动要小，因此，对于债券期权的定价来说，价格波动率的输入明显不合适。因此，股票与债券之间分布的不同，要求用另一个输入量来取代随着时间推移不受债券性质变化影响的波动率。债券波动率的最好选择指标是将波动率建立在收益变化而不是价格变化的基础上。

收益波动率的优势在于它们不依赖于标的债券的到期日。收益可以在标的固定收益工具的有效期内进行比较，然而，收益波动率对债券和期权价格的影响将取决于标的工具的剩余期限。收益波动率转换为价格波动率将取决于债券价格对收益变化的敏感程度。衡量债券价格对收益变化敏感度的最常用的指标是期限和凸性，这些概念将在本章后面部分进行探讨。

不幸的是，收益波动率输入到债券期权定价模型中去时，存在着较大的问题。一个问题是当债券临近到期时，收益波动率将趋于增加。这并不反映“波动率”的一个买入机会，而是一个所有利率期权都面临的均值回归问题的函数。这可以再次参见第五章固定利率工具的波动率锥形图和美元利率波动率矩阵图。另一个问题是通过转换价格为收益的期权估价定价模型与看跌—看涨期权平价公式不一致，这就意味着可以进行价格套利。最后，人们普遍认为，到期收益是衡量某人从债券投资中取得真实收益的一个有缺陷的指标。因此，使用收益作为估计波动率的时间系列充其量是债券价格变化的近似。不过，对大多数应用来说，只要期权到期后标的资产超过一年到期，错误的程度就小到足以允许分析者将收益波动率输入到他的定价模型中去。

店头市场债券期权定价中存在的问题

店头市场债券期权定价涉及的步骤

同任何店头市场期权定价一样，分析者必须采取下列步骤以确保获得一个合理的价格。这些步骤依次是：

·定价模型的选择

·标的资产价格或收益的测算

·输入到模型中的其他变量的估算

·波动率的估计

·如果可能的话，比较理论价格与实际价格

合适的债券期权定价模型的选择取决于期权的执行特征（欧式或美式）和期权是标准期权还是变异期权（见下一章变异期权类型的综述）。假设期权是标准期权且执行特征是欧式，则如上所述，最有效的方法是估计标的债券的远期价格并应用Black（1976）模型对期货期权定价。如果不可能存在提前行权，这个方法也可用于美式期权。对于提前执行具有合理性的美式期权来说（对标的资产的某一价格水平来说，如看跌期权），分析者将输入标的债券的时点价格，并选择Ho - Lee模型或以上提供的任一不同模型。

接下来的步骤是测算标的资产。如果交易商打算卖出看涨期权，他必须买入标的债券对头寸进行套期，因此，他将关注当前债券价格的卖价。另一方面，如果交易商打算买入看涨期权，他将输入当前债券价格的买价到他的定价模型中去。对于看跌期权来说，标的资产的买价或卖价的输入正好相反。如果交易商打算卖出看跌期权，他将输入现货市场的买价；如果他打算买入看跌期权，他将输入现货市场的卖价到模型中去。

如果我们假设大多数店头市场期权要么是欧式期权，要么是提前执行不具有合理性的美式期权，则我们可以用简单的方法：测算期权到期日标的资产的远期价格，然后运用简单的Black（1976）模型。正如本书前面所探讨的那样（如第三章），所有的期权定价模型不管怎样都暗含着测算标的资产的远期价格。之后，期权价格通过向后折现到当前予以测算。用我建议的简单方法来取代期权定价模型中的内在“远期价格”要素和代替分析者可能实际进行交易的“真实”远期价格。

本书对资产远期价格的估计进行过全面探讨。债券远期价格的公式本质上类似于单个股票的公式（第二章提出）和股票指数的公式（第十一章提出）。简单如下：

理论远期价格=现货价格+回购利率-利息收益-从现在至期货到期日收取的所有利息的再投资

估计远期价格需要的变量包括：债券的肮脏价格（dirty price），^[15]债券可以被融资的利率（称为再购买或回购利率），持有债券获得的收益（应计息票利息），以及通过收取从现在至期货到期日期间的息票利息，并用于再投资直至期货到期日所获得的所有额外收益。这种方法也是测算相对于债券期货合约价格的现货市场的等值组合。一旦用实际市场价格或利率测算出远期价格，则交易商必须找到其余的需要输入到期权定价模型中去的变量。

对于一个标准化期权来说，执行价格是固定的，因此，不存在什么问题。然而，对某些店头市场变异期权来说，执行价格是可变的，需要更复杂的定价模型来处理。到期时间也应该直接给出，要么输入期权到期的日历天数，要么交易商只输入期权的到期日，由计算机自动算出到期的天数。需要注意的是，如果到期日正好是付息日或非营业日（如周末或银行节假日），则要么调整标的资产的远期价格（对于前一个付息日问题），要么调整输入的时间（对于后一个非营业日问题）。

对于许多店头市场期权做市商来说，一个大问题是测算期权定价模型中的合适利率，是回购利率、借款利率、息票利率、债券的到期收益率，还是银行内部的资本成本用于模型中输入的利率？可能的答案在于当我们使用模型，比如使用Black （1976）模型时，利率参数能做什么？在那个模型中，利率参数所做的是考虑与付出（或收取）期权费相关的机会成本。换句话说，如果期权费用于储蓄，则至期权到期日它能获得多少收益。因此，理论上说应该使用某个无风险存款利率。从实际角度说，大多数做市商会把多余的资金放在银行间同业拆借市场，因此，这个利率更具有现实意义。另一种方法是基于期权理论的假设：当人们买入或卖出期权时，预期的收益率是无风险利率。对于许多金融机构来说，投资估价的基准利率可能不是无风险利率，而是这些金融机构自身的内部资本成本。如果是这样的话，则把资本成本输入到期权定价模型，以向高层管理人员证明业务的预期收益至少等于内部成本，是行得通的。在大多数情况下，使用银行同业存款利率就足够了。

然而，如前所述，期权定价模型中最重要的是输入波动率。虽然大多数情况使用基于收益的波动率，但其他可选择的方法就像假设期权是欧式并用Black （1976）模型定价一样，也可以行得通。就算我们决定使用收益波动率，但它从哪里获得呢？

收益波动率的测算实际上与价格波动率的估计没有区别，既可以通过相关市场隐含波动率进行历史性估计，也可以用第四章和第五章介绍的技术对未来进行预测。对历史性估计来说，惟一的不同在于我们不是取价格的自然对数之差，而是取收益的自然对数之差。对于隐含波动率来说，我们不可能用与我们所定价期权相似的其他期权的收益来找到一个有意义的数值。对于店头市场债券期权波动率的估计来说，预测技术可能是最好的选择，因为这些产品往往比标准的交易所交易的债券期货期权有更长的期限。最好的选择是用第五章所提出的波动率锥形图技术对收益波动率进行比较。将测定的所有这些变量代入合适的定价模型，我们可以得出店头市场期权的理论价格。然后，这个价格可能需要进行调整，以反映我们向市场提供的实际买价或卖价。

店头市场期权实际价格为何不同于理论价值

引起期权实际价格偏离理论价格的因素包括：

·基差风险

·标的资产或期权市场不具有流动性

·交易成本

·波动率的错误估计

·利率的不稳定

·比要求的无风险收益率更高

·信用风险

当人们买入或卖出店头市场债券期权时存在着相当大的风险，于是用不同于期权标的资产债券的证券对Delta暴露风险进行套期。有代表性的是，店头市场期权做市商将使用交易所交易的衍生产品对它们的暴露风险进行套期，这种风险被称为基差风险，与我们第十章探讨政府长期债券期货和期权所使用的概念相同。为衡量这种风险，我们应该对期权标的资产债券与我们用来对期权风险套期的工具之间的历史价格或历史收益关系进行回归分析。R低于100%的百分比数应该增加或减少期权的理论价值。^[16]举一个例子，假设我们卖出一份执行价格为11/15/16，标的资产为7. 5%利率的美国政府债券的店头市场债券期权，并打算用政府长期债券期货或期权对该头寸的风险进行套期。对于一年期执行价格处于平价状态的看涨期权来说，期权的成本是3. 5个百分点。对这个债券的价格变化和政府长期债券期货的价格变化进行回归分析，回归结果表明，7. 5%利率的债券风险的90%可以通过政府长期债券期货予以解释（R2为0. 90）。这意味着期权标的资产债券变化的10%独立于我们用来套期的政府长期债券期货（或期权）。因此，期权的理论价格将调整10%。这个期权新的卖出价将是3. 85%，新的买入价将是3. 15%。

如果店头市场期权做市商打算用标的债券的头寸对期权套期，在修正期权理论价值时，必须考虑买卖价差。使用者必须认识到大多数定价模型的假设并不包括买卖价差。标的债券市场或期权市场的流动性越差，交易商在提供“真实”的市场报价时对理论价格增加（或减少）得越多。

以类似的方式，做市商可以利用期权定价理论来估计为保持套期他必须作出修正的数额。因为不同市场中的交易成本不同，在对店头市场期权理论价格进行修正时必须考虑这个因素。当卖空期权标的资产工具涉及的成本相当大时，^[17]这个因素变得更加关键。

当修正波动率的错误估计时，交易商必须认识到，在许多情况下，标的资产可能还不存在，这种情况发生在店头市场期权提供于发行债券时。这些债券的发行人已经表示，在未来的某个指定时点将发行债券，但包括利息和数量在内的具体条件将由债券实际发行时的市场行情决定。此外，大多数情况下，店头市场期权没有可以用于估计隐含波动率的其他期权作比较。通常，围绕着期权理论价格的买卖价差范围将扩大，以反映预计发生的可能性最小的波动率和可能性最大的波动率。这可以用具有合适期权到期时间的到期债券的收益波动率锥形图进行测算（见第五章）。

关于利率变动，对于期限更长的店头市场债券期权来说，利率对期权的敏感度比期限短的期权要大得多。像我先前指出的那样，对本书中涉及的大多数期权市场来说，Rho效果微不足道且几乎完全可以忽略。对于期限长的店头市场债券期权来说，这不能忽略。对于某种类型的期权来说，Rho参数将变得和Vega参数同样重要。为再次修正期权的理论价格，最高和最低的历史利率将被输入到定价模型中，以估计期权的买入价和卖出价。要记住的是，期权的理论价格应该只是买入价和卖出价之间的中间价，这是期权做市商买入时不超过或卖出时不低于的期权价格。实际的市场价格必须根据店头市场期权交易商承担的风险进行调整。

最后，许多交易业务要求获得对所有活动来说最小水平的预期收益。这对店头市场期权交易来说特别重要，因为风险可能相当大，这就是为什么如此多的机构不提供处于深度亏价状态期权的理论价值的原因。当收取的期权费在期权的长期有效期内摊销时，给定风险的收益率会很低。这个事实将导致店头市场期权的卖出价大大高于它们的理论价值。

在实务中，店头市场期权做市商在制定他的期权买入价或卖出价时将考虑所有这些因素。理论价值只是测算实际价格的起点。当在店头市场进行交易时，最后必须考虑的问题是对方的信用风险。

店头市场期权信用风险的涵义

交易所交易期权的重要优势之一在于，交易所清算公司保证了所有参与人的行为。^[18]在店头市场进行交易时，惟一的保证是对方的信誉。然而，信用风险只存在于期权市场的一方。如果某一做市商向对方卖出一份期权且对方立即支付了期权费，则从做市商的立场看，不存在额外的信用风险，对方最可能失去的是他已经支付的期权费。然而，在做市商从对方买入一份期权的情况下，则当做市商期权处于盈价且对方对期权持有人有欠款时，存在对方违约的信用风险。因此，对做市商来说，对方信用风险的影响只存在于做市商是买入方时。做市商作为卖出方时，将从对方收取期权费且不存在信用风险（期权费已经支付）。

对于信用差的对方，做市商考虑到违约的可能性后会自动降低自己的买入价。在许多情况下，如果信用太差，做市商根本不会向这些潜在的对方买入期权。这些信用差的对方如何才能让人向自己买入期权？在市场中基本上存在四种方法用以提高较差的信用。它们包括：

·邮寄标的债券或现金

·维持保证金账户

·建立信贷限额（Credit Line）

·签订有约束力的合同

第一种方法要求对方邮寄标的债券（在做空看涨期权的情况下）或等值于执行价格的现金（在做空看跌期权的情况下）给做市商或双方同意的中间人以保证安全。这将为期权空头的行为提供保证。作为一种可供选择的方式，通常建立和管理不同于交易所中保证金账户的保证金账户。期权卖方必须在做市商的账户中保持最低的余额，并且如果期权合约价值发生不利于对方的变动时补足保证金账户。如果对方的信用相对较好，做市商可能愿意通过信贷限额借给他钱以确保他的行为。最后，对所有对方来说，不管他们的信用质量如何，都有必要在进行所有交易前起草和签订一份具有约束力的合同。这些合同的范本可以从任何一个店头市场期权交易公司获得，也可以从国际互换和衍生金融产品协会（International Swaps and Derivatives Association，ISDA）得到。

虽然衍生产品和店头市场的信用风险既有趣又重要，但在本书中我将不再进一步详细讲述。不过，如果读者对这些问题特别感兴趣，他可以获得许多目前已出版的非常优秀的参考书。^[19]

店头市场债券期权的最后一个问题涉及期权风险如何才能与标的债券自身的最流行的风险衡量指标进行比较。

店头市场债券期权对债券期限和凸性的影响

对那些参与固定收益市场活动的人来说，应该很熟悉期限和凸性的概念。对那些不熟悉这些概念的人，我只是概述一下概念的含义以及如何使用它们。概念对保证本书内容的完整统一非常重要。然而，当需要更详细地解释这些概念时，确实存在某些非常好的书供读者查阅。^[20]

对所有的债券来说，引起它们价格变动的最终因素是利率水平的变化。从某方面说，你可以将债券视为一种衍生产品，而基本的标的资产是利率。同样，对于期权来说，我们也感兴趣于测算这些衍生产品对组成它们价格的标的资产变化的影响。本书第三章的大部分分析了这些敏感性参数，其结果是希腊字母的集合。对于能影响期权价格的每一个变量来说，另一个“希腊字母”必须予以估计。既然债券也可以被看做是利率的一种衍生产品，则债券价格对利率变化的敏感度也能估计，当这样做时，债券价格对利率变化的相对敏感度被称为期限（或称为修正后期限更合适）。因为引起债券价格变化的惟一因素是利率，所以，只有这个风险因素需要估计。在某些方面，债券的期限可以被认为类似于期权的Delta。正如Delta衡量期权价格变化与期权标的资产价格变化之间的关系一样，期限衡量债券价格变化与债券标的资产到期收益变化之间的关系。

Delta存在的问题是，当标的资产价格变化时，Dleta也会发生变化。债券的期限也有同样的效应。随着收益率的变化，期限也发生变化。在期权市场中如何消除这种效应？答案是通过Gamma的估计，它是标的资产价格的变化引起的Delta的变化。对于期限来说，这种效应的消除是通过估计债券价格对于收益率的二阶偏导数，这被称为凸性。凸性表示相对于收益率的变化，期限将改变多少。与凸性等价的期权概念，显然是Gamma。与不了解头寸的Delta和Gamma就试图进行期权交易被认为鲁莽一样，不了解资产的期限和凸性就管理债券头寸也同样不明智。

因此，当店头市场债券期权被那些根据期限和凸性看待风险的人所持有时，用这些术语来表示期权的风险就很关键。其原理与上一章对于权益基金管理人来说，根据期权的Beta表示股票期权的风险类似。当某一固定收益投资者持有一个债券和以这些债券为标的资产的期权组合时，为了根据期限和凸性估计总体风险，必须遵循以下三个步骤：

（1）组合中所有的店头市场期权必须相对于这些特定期权的标的债券进行估计。

（2）对于所有这些债券（包括期权在内）的每种，期限风险必须通过简单求和求出总数。

（3）对于所有这些债券（包括期权在内）的每种，凸性风险则必须再次通过简单求和求出总数。

表12. 3列示了债券期权的期限和凸性公式。

表12. 3　债券期权的期限和凸性公式

人们可能会推测，期权的期限取决于期权提供的杠杆、期权的Delta和期权标的债券的期限。同样，对于期权的凸性，需要期权的Delta和Gamma以及期权标的债券的期限和凸性。

随着这个最后主题论述的结束，我们将离开店头市场债券期权，探讨其他店头市场利率期权。然而，我们将分析的不是与债券有关的长期利率而是短期利率店头市场期权，以及基于这些短期利率期权的构造产品。

利率保证协议

利率保证协议（Interest Rate Guarantee Agreements，IRGs）仅仅是对单个浮动利率暴露风险的利率保单（insurance policies）。利率保证协议一般存在两种类型：借款者期权（borrower options）和贷款者期权（lender options）。其中，相当于利率看跌期权的被称为贷款者期权（LO），因为它在利率下降时获利。而借款者期权（BO）相当于利率看涨期权，因为它在利率上升时获利。这种合约的标的资产既可以是利率，比如优惠利率（Prime Rate）或伦敦银行同业拆借利率（LIBOR），也可以是利率的远期合约。这些利率远期合约实质上是店头市场期货合约，它们通常被称为远期利率协议（Forward Rate Agreements，FRAs）。

远期利率协议是金融机构与顾客之间的一种安排，它允许顾客锁定未来特定时期的利息成本（或投资收益）。未来时期特定到期日的名义存款所支付的利率在交易完成时双方已经协商一致。在远期利率协议的到期日，如果利率高于协定利率，则远期利率协议的卖方将支付一定数额的现金以弥补买方增加的利息费用。如果利率低于协定利率，则买方必须对卖方进行补偿。在远期利率协议中，本金不发生交换，交换的只是协定利率与到期日利率之间的差额。读者可以看出，远期利率协议与欧洲美元期货合约几乎完全相同。两者的差别在于：欧洲美元期货合约的日期（IMM市场日期）和数量（1000000美元合约大小）是标准化的，而远期利率协议是客户特制的；欧洲美元期货合约价格是100减去利率水平，而远期利率协议只是利率水平；最后，欧洲美元期货合约必须每天更新保证金，而远期利率协议一般没有这种保证金的要求。

因此，如果远期利率协议是店头市场欧洲美元期货合约，则利率保证协议（它是远期利率协议期权）是店头市场欧洲美元期货期权。既然事实如此，这些产品的价格与欧洲美元期货期权的价格必定相同。利率保证协议定价的主要差别在于它们往往具有欧式执行特征。因此，估计欧式利率保证协议理论价格的方法是，用简单的Black（1976）模型对标的资产价格等于利率保证协议到期日远期利率协议利率的期货进行定价。如果利率保证协议是美式，则可以使用二项式方法。读者可参考第三章（表3. 13）这些模型的公式。

像利率保证协议这样的店头市场利率期权，是基于年利率而不是像欧洲美元期货期权那样基于价格指数。这些期权的期权费也是以年度百分比形式表示，对期货期权来说，期权的价格等于百分比价格（基点）乘以每0. 01%点的价值（1个基点）。因为大多数店头市场利率期权不能提前执行（欧式），所以，不存在与行权时实际交割相关的问题。在期权的最后到期日（比如贷款者期权），期权的卖方将仅仅以现金形式支付给利率保证协议持有人IRG的执行“利率”与市场参考利率（reference rate）之间的差额。这种情况只出现在参考利率（如LIBOR）低于执行“利率”时，如果参考利率高于执行“利率”，则不发生现金支付，并且期权到期无价值。

利率保证协议应用的一个例子是，某个借款人必须对他的浮动利率资金的下一次归还（rollover）进行保险。他将选择购买一份借款者期权（BO）来保护自己。表12. 4为套期者列示了当前市场动态。

表12. 4　利率期权

他发现当前6个月LIBOR为6. 5%，并且他希望在9个月后锁定这个利率。执行利率为6. 5%，暴露头寸的数量是20000000美元。因为借款者期权是欧式期权，所以，测算9个月后预计6个月的LIBOR（远期利率）是多少就很重要，它可以用9∶（vS.）15的远期利率协议进行测算。远期利率协议的这种报价形式表示借款或贷款风险开始于9个月后，结束于15个月后。因此，这代表9个月后的6个月借款，借款利率是6. 75%。为更好地看清风险发生的时间，图12. 2显示了期权保护的风险期间和实际的借款期间。

图12. 2　利率期权和标的资产的暴露风险期间

期权的成本是0. 50%或50000美元（50个基点·每1000000美元每6个月LIBOR基点50美元·20000000美元）。在借款者期权的到期日，期权持有人要么什么都得不到（如果6个月LIBOR低于6. 5%），要么取得（当前6个月LIBOR和6. 5%之差）·182/360·20000000美元。假设在到期日，6个月LIBOR等于8%。则借款者期权持有人将得到151667美元（8% - 6. 5%）·182/360·20000000美元。则借款人那时在市场中的实际借款利率为8%，然而由借款者期权卖方付给他151667美元，相应地减少了他的利息支出。

借款者期权套期的净效益将是借款利率为8%的808889美元利息费用（8%· 182/360·20000000美元），减去借款者期权的现金流入151667美元，加上他直接付出的借款者期权50000美元的期权费。他的利息费用总共等于707222美元（808889美元-151667美元+50000美元）或6个月LIBOR利率为7%（707222美元/20000000美元·360/182）。如预期的那样，他最糟糕的结果等于他的执行利率6. 5% +他支付的借款者期权费0. 50%。

利率上限、下限和对冲协议^[21]

20世纪80年代早期，利率的极端变动导致许多借款人和投资人为他们的浮动利率支付流寻求保护。满足这些需要的理想产品是利率覆盖协议（Interest Rate Cap Agreement），它限定了借款人的变动利息费用或投资人的变动收益率。这种店头市场产品因而“覆盖”了暴露风险，并由此得名“覆盖协议”。利率覆盖协议是一种合约安排：如果在将来某个时点特定利率超过或低于双方共同协定的利率水平，协议的让与方（卖方）有义务向协议的持有方（买方）支付现金。

利率覆盖协议的两种最基本形式是下限（Floor）协议和上限（Ceiling）协议。上限协议允许持有方为给定期间内的借款（以浮动利率为基础）设定最高利率水平。如果利率超过上限利率，持有方收取的现金正好抵消当前更高利率下所发生的额外利息费用。如果利率下跌，持有方能以低于上限利率的利率借款，在这种情况下，他不能从让与方取得现金。他可以将此上限协议视为一份过期失效的利率保单。下限协议允许持有方为给定期间内他的浮动利率存款设定最低投资收益水平。如果利率低于下限利率，让与方弥补持有方短缺的利息收益；如果利率超过下限利率，持有方不能从让与方取得现金，但能以更高的市场利率存入款项。

对冲（Collars）协议（有时称为防护）只是这两种交易的组合。对冲协议允许持有方为给定期间内的借款（或投资）设定最高（或最低）利率水平。此外，持有方已卖出一份限定利率下跌时收益的下限协议。如果利率超过上限利率，他从允许他以那个利率借款的让与方（以现金流形式）处获取现金；如果利率低于上限利率，则他能以更优惠的利率借款，直到利率到达他卖出的利率下限协议水平。利率等于或低于那个下限利率水平，他必须向设定了最低借款利率的让与人（以现金流形式）支付现金。常用对冲协议的原因在于它的成本实质上低于上限协议。本质上说，对冲协议的基本原理与第十一章介绍的零成本期权策略完全相同。期权费成本的降低是通过放弃可能的无限收益取得的。

目前为止，最常见的利率覆盖协议是上限协议。因此，使用利率覆盖协议的人大多是以变动利率借款且存在到期归还借款时利率发生变动的风险。举例来说，某一借款人以3个月LIBOR利率（伦敦银行同业拆借利率，本例中是美元）为自己融入3年期资金。他可能关心在此3年期间，当他必须每3个月对借款展期时，利率会上涨。他可能也有一个心理目标的LIBOR利率，如果超过这个利率的话，可能会给他带来大问题。对这个借款人来说，合适的利率覆盖协议将是上限协议。

对有浮动利率抵押贷款的私人来说，上限协议套期保值的使用日益重要，他们希望保护自己免受浮动利率抵押贷款支出增加的影响。

在20世纪70年代和80年代的动荡时期，利率水平波动剧烈。在大部分时期，利率上涨，对那些以60年代较低固定利率水平提供贷款的金融机构来说，金融崩溃不可避免。在美国，储蓄和贷款协会（Savings and Loan Associations，S&Ls）遭受的损失最大。这些机构以固定利率向房主提供住房抵押贷款，这些贷款常常长达20或30年。为筹集这些贷款所需的资金，储蓄和贷款协会主要从存款人手中借入隔夜资金，存款人可以随时或以临时通知的形式取回他们的资金。为保证借入资金成本低于抵押贷款赚取的利息，支付给存款人的利率非常低。而当20世纪80年代早期利率上涨时，存款人可以从货币市场共同基金处获取更高的利率，他们在利益的驱动下取出他们的资金。为避免破产，储蓄和贷款协会也必须从货币市场取得资金。考虑到支付的利率比储蓄和贷款协会收取的抵押贷款利率高得多，储蓄和贷款协会开始大量失血。

其余的正如他们所说的那样成为“历史”。在垃圾债券推销员完成任务和利率持续上下波动后，储蓄和贷款行业遭到巨大破坏。那些幸存下来的机构决定要么他们不再提供固定利率抵押贷款，要么他们尽可能将所有固定利率抵押贷款廉价卖给市场。随着这种情况的发展，抵押支持证券（mortgage backed securities）随之出现，但那是另一时间另一本书探讨的内容。关键之处在于储蓄和贷款协会不再接受利率波动的风险，他们或者将风险传递给投资者，或者通过变动利率贷款让取得抵押贷款的人承担风险。

当然，这对于英国来说并不是新生事物。直到最近，几乎所有英国的住房抵押贷款都支付变动利息。这意味着当英国20世纪80年代晚期利率涨至两位数水平时，许多房主失去了他们的壁炉面积。那时，保险经纪人突然开始销售覆盖了这些房主必须支付的抵押贷款变动利率的保单。这些只是经过重新包装和出售给私人“大军”的利率上限协议。这种产品在英国获得了巨大成功，现在开始扩展到全球范围的许多市场中。在这些市场上，私人第一次有权获得（虽然是间接）店头市场期权产品。

对于其他类型的覆盖协议来说，下限协议的潜在使用者将是债券组合管理人，他希望限定浮动利率债券组合对利率下跌的风险。这样，他要么转向固定利率投资，要么购买下限协议作为一份投资保单。

当持有方购买覆盖协议时，必须支付费用给让与方。因此，从这方面说，一个利率覆盖协议类似于一份期权。并且作为一份期权，协议的持有方付出期权费以享有其有利的条件和不受不利条件的限制。

另一方面，让与方不能确信当协议达成时是否将发生付款。然而，假设知道与其他资产收益相比的利息“收益”分布，他可以用标准期权定价方法帮他测算协议的价值，获得付款可能性的指示和量化头寸的风险。

考虑到覆盖协议类似于期权，那这种上限协议的持有方是不是买入了一份3年期利率期权？答案为是，也不是。他所购买的是一系列欧式期权（类似于利率保证协议），这些期权在3年期间的每个季度，他以当时市场的LIBOR利率对借款展期，直到到期那天。本质上说，上限协议对他所有的LIBOR展期借款提供了最高利率保证。

图12. 3揭示了这个过程。从图中可以看出，从1994年6月开始的3年期上限协议的买方实际上获得了11份标的资产为3个月LIBOR的期权。

图12. 3　3年LIBOR利率上限协议的结构

与LIBOR借款有关的每个决定期右方的空格表示他的实际借款期间。借款期间左方的满格代表每个展期期权的期限。他必须支付的上限协议价格是所有11个期权的期权费总和。

上限利率协议的定价

3个月LIBOR上限利率协议的付款由未来特定时点的3个月LIBOR的水平决定。为计算上限协议的当前价值，我们必须想办法测算3个月LIBOR的预计未来水平。换句话说，我们需要上限协议期限内3个月LIBOR的未来价格。

如果上限协议的期限是10年或少于10年，且上限付款结算日与芝加哥、新加坡和伦敦交易的LIBOR期货合约（欧洲美元期货）到期日相符，我们所要做的是用100减去欧洲美元期货价格以测算上限协议预计的LIBOR。如果上限协议的期限更长（超过10年），或付款结算日不同于期货到期日，我们必须查阅远期利率协议市场信息，或用长期LIBOR存款利率进行远期/远期计算以测算预计的3个月利率。回到我们所举的从1994年6月开始的3年期上限协议的例子，我们假设付款结算由欧洲美元期货的到期日决定。表12. 5列示了从1994年6月15日开始的实际（LIBOR）欧洲美元期货价格和隐含的LIBOR利率（100减去期货价格）。

表12. 5　3年覆盖利率上限协议定价的例子

季度上限价格=4. 961
上限价格报价=1. 24025

我们可以用这些期货利率作为测算单个LIBOR期权价值的元素，期权价值之和构成了上限利率协议的价格，但我们首先必须测算对单个期权进行定价需要的其他变量。变量取决于我们选择的期权定价模型。

我们已经确定的是，因为单个LIBOR期权只在某日（到期日）发生从让与方到持有方的现金流，它们可以被认为是欧式期权。我们也已确定的是，预计的未来LIBOR将等于100减去欧洲美元期货价格。所以，对这些LIBOR期权定价，我们将使用对期货欧式期权定价的Black（1976）模型。

这个模型需要获得5个变量：到期时间（或付款结算日），标的期货的价格（或预计的未来LIBOR），敲定或执行价格（上限利率水平），期权有效期内的无风险利率和标的资产收益的方差（或方差的平方根即“波动率”）。

表12. 5列示了组成上限协议价值的所有11个期权的这些变量值。我们已经假设买方需要的是执行价格为7%的上限协议。上限利率协议的价格是单个LIBOR期权费的总和。在本例中是，496个（3个月）LIBOR基点，或借入的每百万美元价格为12400美元。一般来说，这些产品以年利率的形式报价，并且只要用季度价格（496）除以4（得出的报价为1. 24025）就可以测算。在我们的例子中，上限利率协议是对一个价值为20000000美元的借款来说的，其成本为248050美元。

用欧洲美元期货和期权对上限利率协议进行套期

上限利率协议的持有方给让与方支付费用以转移他的利率风险。让与方制定价格时考虑的关键因素是怎样对这一系列店头市场期权进行套期。让与方怎样规避利率上升的风险？在我们的例子中，如果3个月LIBOR超过7%，让与方则可以通过建立与欧洲美元期货或LIBOR远期利率协议相反的头寸进行套期，套期比率为1∶1。在本例中，以93. 00的价格对每个LIBOR展期卖出价值为20000000美元的欧洲美元期货就能达到目的（或对所有买入11个日期价值为20000000美元的远期利率协议）。

然而，如果任何一个展期时点的LIBOR都低于7. 00%，则不需要期货或远期利率协议，这意味着套期比率为零，因而让与方不能事先判断他是否需要进行套期保值。因为套期或不套期的决策是建立在可能性的基础上，他惟一可以确定的是恰当的套期比率在0和1之间。

那么，让与方如何才能得出他所需要的套期比率的准确计算结果呢？在我们估计上限利率协议的价值时，我们用的是Black（1976）期货期权定价模型。在第三章，我们能找到该公式，且表3. 6列出了模型的几个部分派生值。既然我们把欧洲美元期货作为标的价格输入（或更确切的是100减去欧洲美元期货价格），通过微分计算，我们可以知道对某一给定的期货价格变动单个期权价值如何变化。如果知道了这种关系，我们就可以调整套期保值中期货（或远期利率协议）的数量以正好抵消组成上限利率协议的期权价值的损益（对某一给定标的LIBOR利率的变动）。

我们需要的派生值是dc/ dF，通常是指Delta。计算看涨期权和看跌期权的Black模型的Delta派生值出现在表3. 6中。正如Black在他1976年论文第177页指出的那样，“这个Delta派生值决定了构成无风险组合头寸的期货空头的大小”。因此，对每个欧洲美元期货月份（或远期利率协议）来说，合适的套期比率是在特定欧洲美元期货月份到期日到期的LIBOR（上限利率协议的组成部分）的Delta。这个套期比率可参见表12. 5中的Delta参数那一行。

例如，如果我们的上限协议让与方打算用期货对协议进行套期，他卖出1994 年12月到期的欧洲美元期货将等于那时余下的上限利率协议本金数额的10. 2%（因为单个期权的Delta为0. 10243）。因此，如果展期时的本金数额是20000000美元，则让与方现在大概要卖出2份1994年12月到期的欧洲美元期货以对协议价值进行套期，以规避展期时预计的LIBOR利率变动产生的风险（实际上，如果可能的话，他要卖出2. 0486份期权）。在每个与某一特定LIBOR期权相符的欧洲美元期货合约月份，他将重复使用这种技术。如果期货合约存在理想的可分性，上限利率协议让与方可以用期货（与当前利率水平变动相关）取得一个无风险的被套期头寸。这种使用Delta进行套期的策略，就是我前面谈到的Delta中性套期策略。

被套期头寸的风险

过去认为套期涉及用价格（或利率）风险换取基差风险。一般来说，基差风险（或现货价格和期货价格的变动关系）低于价格风险，尤其是在现货价格和期货价格共同变动的时候（常常通过相关统计来衡量）。既然这种基差风险现在已经成为期货/现货被套期头寸的主要风险，套期者可以通过管理基差风险对他的套期进行管理。然而，当用期货对利率覆盖协议或期权进行套期时，还存在除基差风险以外的额外风险。这些额外风险可以被概括为Delta风险和标的市场的方差变动风险。

用期货对期权或类似期权的金融工具进行套期存在的主要问题是，期权头寸大小是变动的，而期货（或远期利率协议）的大小是固定的。具有Delta中性的被套期头寸只在某一点被“套期”（我在第三章和第八章探讨过）。如果标的期货价格（或利率）发生变化，虽然期货头寸的风险保持不变，与期货相比期权的风险大小将变大或变小。由于这些期权的Delta发生变化，“套期”不再存在，必须改变卖出的期货数量以使头寸保持中性。因此，套期者面临Delta变动的额外风险。

这种风险也可以通过Black模型的微分计算予以量化。它是期权价格相对于标的资产的第2个派生值，通常被称为Gamma，表3. 6也给出了这个派生值的公式。因为期货的风险大小不受标的市场价格水平变化的影响，一个有效的期货套期策略必须包括监控和修正。套期者必须考虑所涉及的交易成本。

对LIBOR期权套期的另一个选择方案是使用其他的LIBOR期权——交易所交易的欧洲美元期货期权，其他的利率覆盖协议或利率保证协议。

这种方法隐含的思想是，最好用另一个同样的或有资产（或负债）保护一个或有负债（或资产）。实际上，对一个覆盖利率协议真正理想的套期是用完全相同的覆盖利率协议进行保护。然而，这样做把让与方降低至经纪人角色，相应地限制了他的盈利可能。如果让与方选择通过购买期权规避他的风险，他必须支付期权费，但他可以抵消标的市场的风险并将市场变动对Delta的影响减到最小。因此，使用期权套期，套期者可以同时取得Delta中性和Gamma中性，但要付出一定代价。

用期权对利率覆盖协议套期的另一个优势（与期货相比）在于，它关注市场方差的变动对这些协议价值的影响。当标的资产方差增大（或减小）时，利率覆盖协议和期权的价值增加（或减少），而期货价值不受方差变动的影响。用期货对类似期权的金融工具进行套期也造成不匹配，这意味着方差变动的风险没有被规避。

这种方差风险也可以通过Black模型的微分计算予以量化；在表3. 6中这个派生值作为Vega出现。抵消方差风险的惟一方式是用资产进行套期，这个资产的价值对方差变化比较敏感且变化方向完全相反。因此，规避与卖出期权相关的方差风险（和Delta/ Gamma风险）的惟一正确的方法是买入具有相同到期日、执行价格和标的资产的期权。

不幸的是，如果上限利率协议的让与方决定用欧洲美元期货期权进行套期，他会发现这并不可行，因为期权不能远在1997年3月卖出（现在是1994年6月）。实际上，前两个合约到期日之后，就不存在交易活跃的期权。因此，上限协议让与方如何才能用只有前两个相邻到期月份（1994年9月和1994年12月）的欧洲美元期权对一系列长至11个季度的LIBOR期权风险进行套期？这就有必要使所有的不同期权头寸直接与一个标准进行比较。

在表12. 6中，提供了Black（1976）模型的其他派生值，使Delta和Gamma相当于现货价格或临近的期货。因此，用一个期权到期日对多个期权到期日进行套期，你必须使多个到期日期权中的所有Delta等于一个到期日期权的Delta，这些修正后的派生值将帮助你这样做。

表12. 6　Black（1976）商品期权定价模型：与现货和临近期货相关的派生值

在这些修正的波动率派生值中，Vega不受影响，因为我们假设它在不同的时间变动程度相同。不幸的是，一个新的风险出现了：到期日之间的价差风险。当对临近期货（或现货）与延期期货进行比较时，我们必须假设持有成本保持不变。但如果这些持有成本确实发生变化，它们会给套期策略带来另一个风险要素。持有成本定义了现货价格与期货价格之间的隐含关系，并且它也在期货月份之间使用，持有成本调整后的派生值（Rho）也出现在表3. 6中。它衡量第十四章将探讨的月份内部的风险，并且这种风险的规避将在那时解决。

兜了一圈我们回到原来的问题，当用期货市场对现货市场套期时，我们用价格风险换取基差风险；当用期货对期权套期时，我们用价格风险换取Gamma风险和波动率风险；当用一个到期日期权对多个到期日期权套期时，我们用价格风险、Gamma风险和波动率风险换取价差风险（spread risk）。

欧洲美元（和其他外汇存款）期货和期权的出现为金融工程师提供了开发店头市场期权产品所需的基本要件。利率覆盖协议是店头市场期权产品出现的典型例子。

利率互换期权^[22]

互换期权是持有标的利率互换头寸的权利，而不是义务。当金融机构发觉存在没有填满的衍生产品空间，且通过提供这些新产品可以获得合理收益时，互换期权就出现了（几乎所有的店头市场期权产品都是这样产生）。而且，第一个推出互换期权产品的机构可能赢得的远远多于声望。不幸的是，任何引进都必须等到那些打算提供互换期权的机构能测算出一个“公允”价格，这个价格将足以抵消承担的所有风险而且还能提供合理的收益。

互换期权协议的结构

在我们深入分析这些店头市场期权如何运作之前，有必要定义术语和澄清互换期权是什么：它们何时做了什么承诺。所承诺的是有条件地取得具有预定到期日的利率互换头寸。重要的是记住，利率互换是一个固定利率支付流（如固定利率债券）与一个浮动利率支付流（如浮动利率债券）的交换。互换期权的买方有权（而没有义务）接受利率互换协议，且只在有利的情况下合理行权。如果相对于互换期权的执行“利率”（不是执行价格），买方将加重损失，则利率互换协议不被接受。为获得这个权利，买方支付给卖方一定的费用。毫不奇怪的是，当互换期权回到它们最基本的形式时，我们发现它们只是利率互换期权。

实际上交换的是什么：浮动利率流还是固定利率流？对许多潜在的互换期权使用者来说，这个问题是混乱之源。具有类似“镜像（mirror）”效应的外汇期权也存在相同的谜团，比如，用美元买入德国马克的权利（看涨期权）与卖出美元收取德国马克的权利（看跌期权）是完全相同的交易。在互换期权中，支付利率互换协议固定部分的权利等同于收取浮动部分的权利（且反之也是）。为简化问题，一般来说，互换期权市场只对利率互换协议的固定利率部分报价。互换期权（与多数期权一样）存在两种类型，不是分为看涨期权（买入的权利）和看跌期权（卖出的权利），互换期权的类型被分为收者（Receiver）互换期权（收取固定利率的权利）和付者（Payer）互换期权（支付固定利率的权利）。然而，我们必须记住的是，固定部分的收者互换期权与浮动部分的“付者”互换期权完全相同（且反之也是）。

收者互换期权允许购买者有权（而不是义务）收取利率互换协议的固定利率。收者互换期权的买方在利率下降时获利，因为他得到了收取高于市场利率的固定利率的保证（以目前较低的利率融入资金）。当利率上升时，互换期权买方将放弃行使权利，因为他可以选择在市场上收取更高的固定利率（抵消他更高浮动利率的费用）。收者互换期权的卖方有义务在利率互换中支付固定利率，同时收取浮动利率。收者互换期权产生的损益结构类似于一个简单的利率看跌期权（或固定收益工具看涨期权）。

付者互换期权允许买方有权（而不是义务）在利率互换协议中支付固定利率，同时收取浮动利率。与收者互换期权相比，当利率上升时，买方可以锁定一个有吸引力的固定利率，当固定利率下降（低于互换期权执行利率）时，买方可以让互换期权到期失效。付者互换期权的卖方有义务在利率互换中收取固定利率，同时支付浮动利率。付者互换期权产生的损益结构类似于利率看涨期权（或固定收益工具看跌期权）。

既然我们知道所做的承诺，假定买方希望执行互换期权，重要的是问清楚固定与浮动利率的交换实际上何时发生。对大多数互换期权协议（以下称为“标准”互换期权）来说，利率互换的“计时（clock）”从行权的时点开始。这种“发令枪（starting gun）”的特征允许买方限定利率互换的确切期限和利率交换日期。

比如，一份以5年期利率互换为标的资产的1年期互换期权，一旦行权，将允许买方立即开始建立5年期固定利率与浮动利率交换的互换头寸，未来利息交换日期根据行权日期确定。因此，如果付者互换期权在4月1日执行5年期利率互换的合约，他将有义务在接下来的5年中每个4月1日（或与之相近的适当营业日）支付固定的利息（互换期权的执行“利率”），同时，根据4月1日确定的日期收取浮动利息。如果互换期权的买方相反在4月15日行权，所有的固定与浮动款项将在与4月15日相关的日期支付。因此，在互换期权协议开始时，参与的双方都知道他们交易的是假定的5年期利率互换，但在互换期权开始时，双方可能并不知道付款将在哪天发生或是否会执行协议。

我们可以设想，如果买方在到期日前的任何日期都可以执行互换期权，协议的卖方必须接受具有“零散日期（broken dates）”的不合意的利率互换。这些“零散日期”提出了一个问题，因为相对于在标准日期交换利息的利率互换，日期的非标准化造成了标的利率互换协议二次交易的困难（和随后互换期权风险的规避）。

具有代表性的标准日期是在大量金融机构对浮动利率负债展期的日期。欧洲美元期货的结算日期常常代表诸如套期者将被套期的头寸推入现货市场这样的标准化日期。

这种特殊的不确定性导致大多数互换期权的卖方不给买方提前执行互换期权协议（美式期权执行特征）的权利。卖方提供的大部分期权只允许在某个日期行权（欧式期权执行特征），这意味着如果买方行权，那么，不仅是利率互换协议将有已知的到期日，而且在标准日期交换利息。我估计具有欧式期权执行特征的“标准”互换期权几乎占所有互换期权交易的90%，余下10%的互换期权交易主要是“可反转（reversible）”互换期权。

可反转互换期权建立在现存利率互换的基础上，现存利率互换的利息交换条款和互换到期日在互换期权开始时确定。这些互换期权不同于建立在假定利率互换基础上的“标准”互换期权。我们发现，可反转互换期权更可能具有美式期权执行特征，因为交换日期是预先决定的，并且提前执行不会导致零散日期。然而，对可反转和标准互换期权来说，欧式期权执行特征似乎更常见。

互换期权与利率覆盖协议的比较

互换期权与覆盖协议都是标的利率市场的期权衍生产品。互换期权允许持有人有权在双方协定的条款下支付（或收取）特定的固定利率和收取（或支付）浮动利率。互换期权只要被执行就能进入标的利率互换协议。利率覆盖协议是锁定一系列单个利息支付的权利。如上所述，利率覆盖协议实际上是每个借款时点的一系列期权。因此，利率覆盖协议往往成本更高，因为持有人有多个执行日期，并且在协议的有效期内如果利率下降他能受益，如果在任意时点利率上升他可以限定他的可能损失。

标的互换期权的合理定价

在我们跨越了第一道障碍（这种工具是“衍生产品的衍生产品”）后，互换期权的理论定价就非常简单了。衍生产品市场意味着它们可供交易的工具起源于某个其他市场，并且它们是与这个市场无关的“替代”性的几个步骤，比如，最终的标的“市场”可能是利率的期限结构。不幸的是，利率本身不能直接进行交易，像固定和浮动利率债券这样的证券成为交易这种“货币时间价值”的市场替代品。利率互换协议是二次衍生产品，因为它们与标的期限结构没有直接关系，而是反映固定利率债券对浮动利率债券的相对价格（这是离最终期限结构最近的一个步骤）。互换期权是离得较远的一个步骤，因为它们起源于利率互换协议。从本质上来说，互换期权允许买方有权对固定与浮动利率债券之间的关系进行“打赌”，而不是直接对利率（或债券）进行“打赌”。

所有期权定价问题面临的第一个挑战是确定期权的标的资产是什么。如果你执行期权，你得到的是什么？且在何时得到？一旦解决了这个问题，理论定价就大大简化了。如前所述，互换期权允许买方有权在利率互换协议中收取或支付固定利率。因此，第一步是识别标的利率互换协议的特征以及确定它的利率。

在一篇关于利率互换协议的有趣的文章中，^[23]作者认为，互换利率有3个组成部分：远期利率、交易成本和互换交易中固有的信用风险。它们从本质上显示出，互换协议基本上是“一系列远期合约”。

为测算与利率互换协议相关的固定利率，浮动利率资产的远期利率被看做是一系列现金流，并用不同于到期收益计算的方法将其折现为现值。这里的“收益”是利率互换协议中的固定利率。换句话说，利率互换反映的是将浮动利率支付流（债券）和当期固定利率支付流（债券）等同起来的均衡利率。

此外，为估计互换利率，互换市场的做市商则必须考虑当前市场买卖价差（由流动性的供需决定）以及结合中间人和（或）对方的所有信用风险。大多数信贷人员都知道，信用问题可能开启了一个令人作呕的长满蛆虫的罐头。

有人或许会猜想，互换期权需要考虑所有的这些因素再加上与期权相关的其他变量。幸好并不需要这样，因为与互换相关的利率已经包括了这些因素。如果期权考虑收益曲线影响、交易成本和信用风险，则实际上是重复计算。利率互换协议已经把这些因素考虑在利率中了。我们的主要任务是测定推动标的利率互换市场变动的合理随机过程。一旦完成这个任务，通过应用适当的期权定价模型，并把互换协议中的利率作为“标的市场”项代入模型，我们就能测算出互换期权的价格。

另一个必须考虑的重要问题是：实际上你在何时取得利率互换协议？考虑一下具有欧式期权执行特征的互换期权（这是大多数互换期权的惯例）。互换期权的实际标的资产不是利率互换协议的当前利率，而是利率互换协议在互换期权到期日的“远期”利率。我们现在的问题是测算利率互换协议的“远期”利率。正如以上我们讨论期权定价时所指出的那样，互换协议的“远期”利率不需要包括估计互换协议当前利率所需的所有因素。所需要的是应用简单的货币时间价值“套利”公式，这个公式常被用来测算远期/远期利率。在利率互换市场上，这些交易很常见，通常被称为远期利率互换协议。

在测算了利率互换协议的远期利率后，期货期权定价的Black（1976）模型看来最合适，实际上大多数市场参与者都使用这个公式。然而，必须认识到的是，Black（1976）模型应用于商品（期货）市场，这个市场上期权合约允许在将来某个日期用现金与某种商品进行交换，并且模型假设利率是常数。在互换期权中，期权合约允许浮动利率“债券”与固定利率“债券”进行交换，所以，当模型明确假设利率必须是常数时，使用Black（1976）模型就不合适。看来，解决互换期权定价问题更合适的方法是测算用一项资产交换另一项资产的期权的价值。玛格瑞伯（Margrabe）已经解决了这个问题，他求出了欧式期权估计的解析解。^[24]读者或许还记得在第九章讨论市场间期权交易时我着重计算过Margrabe模型。为避免回头参考那一章，表12. 7再次列出了对用一项资产交换另一项资产的期权价值进行定价的Margrabe模型。

表12. 7　用于互换期权定价的Margrabe模型

读者可以再一次看出，这个期权定价模型与Black & Scholes公式几乎完全相同。这次惟一的区别是这个模型不存在利率参数（因此，我们不必假设利率是常数），而且执行价格“E”被B2代替。B1是“固定”支付流的价值，而B2是“浮动”支付流的价值。因此，在Margrabe模型中，“标的”资产（B1）和执行价格（B2）都允许变动。Margrabe模型惟一的技巧是波动率的输入。因为这里的两项资产都可以变动，两者的方差对互换期权的总波动率很重要。为测算波动率，我们必须估计两项资产的波动率，再减去它们之间的协方差（乘以2）。因此，读者可以看出，表12. 7中的波动率公式看上去非常像第十一章提出的组合风险公式。这并不是偶然巧合，因为Margrabe模型（事实上所有的期权定价模型）建立在等值组合头寸概念的基础上。比如，互换期权定价的Margrabe模型假设我们可以用一个“固定”支付流和另一个“浮动”支付流构建一个组合，这个组合与利率互换期权产生的瞬间收益相同。因此，组合理论领域和期权定价领域比我们的最初想法更接近。

互换期权定价的当前市场惯例

假设我们决定遵循市场惯例，并且使用Black（1976）公式，这就是假设欧式期权定价的“正确”标的资产是利率互换协议的远期利率。现在我们所需要做的是收集进行公式运算所需的其他数据。

这些数据包括互换期权的执行“利率”、到期时间、互换期权到期日的政府无风险利率和远期利率互换协议的波动率。除了波动率以外（我们会解释读者如何才能估计它），所有这些变量都可以直接观察到。假设交易商取得了所有这些输入量，他可以简单地把变量代入Black方程，以测算欧式互换期权的理论价格。

美式互换期权会怎样？在期权理论中，如果存在提前行权的可能性，情况就会复杂些。如果提前行权不是一个合理的策略，则美式互换期权的价值将等于欧式互换期权的价值。在股票期权中，对看涨期权来说，使得提前行权合理的因素通常是股利的支付（虽然如第三章所探讨的那样，默顿发现，看跌期权还存在其他能证明提前行权具有合理性的因素，参见那一章的默顿，1973）。

这与互换期权有怎样的关系？大多数互换期权参与人都避免了提前行权（和美式执行特征）的问题。对那些提供美式互换期权的人来说，他们必须清楚地知道可能导致提前行权的因素可以是某些正的现金流（比如应计利息），这将促使互换期权的买方提前行权以获得该现金流。对标准互换期权交易来说，这是无关的，因为互换协议的期限从行权的时点开始，所以，在那一时点不涉及任何累积现金流。

然而，对可反转互换期权来说，如果浮动利率显著低于固定利率，美式收者互换期权的买方有行权的动机（或如果浮动利率显著高于固定利率，美式付者互换期权的买方有行权的动机）。不过，这种“支付”实际上不像股利，而是全面利率互换协议某一部分的“盈价数额”，并且已经包含在互换期权的价格中。

此外，如果互换期权被执行，它会立即产生现金流，但买方必须考虑到利率互换协议现金流的其余部分将被递延到未来。即使这样，可以想像到的是，如果递延现金流的现值低于立即产生的现金流，可反转互换期权可能会被提前执行。对可反转互换期权来说，提前执行的这种潜在价值意味着，美式互换期权的价格必然大于或等于具有相同到期日的欧式互换期权的价格。为估计美式互换期权的价值，某些解决提前执行问题的估值模型会更合适。二项式方法（第三章所探讨的Cox、Ross、Rubinstein模型）和结合了利率期限结构的Schaefer & Schwartz公式（第三章以前提出的）是市场参与者用来解决美式互换期权定价问题的两种方法。然而，许多市场参与者采用逼近的方法估计美式互换期权的价格，这种方法本质上类似于费雪·布莱克（Fischer Black）对付息股票美式看涨期权估值时采用的逼近方法。

这种逼近方法是：

美式价格= MAXIMUM（内在价值，欧式价格）

因此，我们可以避免使用其他方法带来的计算上的复杂性。不管怎样，大多数期权交易商都会告诉你，模型的选择固然重要，但输入到模型中去的波动率的测算更加重要。

如果已知互换期权的价格，则通过迭代（iterative）过程测算隐含波动率是一件简单的事情。然而，如果没有提供互换期权的价格，则测算远期利率互换的预计波动率理论上需要进行历史分析。必须收集的过去利率互换数据，要么是利率互换协议的“当前”利率，要么是利率互换协议的远期利率。一般来说，得到利率互换协议的“当前”利率更容易（尤其是涉及到政府债券间的价差）。如果分析者确实使用“当前”利率，从理论上说，他必须用合适的政府（无风险）利率将它们转换为“远期”利率。然而在实务中，用来计算远期互换利率的是合适的存款利率，这是分析者所在机构可以进行投资的利率。用手中利率互换协议的合成或实际远期利率数据，通过假设利率的相对变化呈正态分布，我们就可以测算预计波动率了。根据手中的这个假设，我们可以用一般的计算方法（历史波动率）或用第五章讨论的“圆锥”技术来测算预计波动率。

在完成所有这些步骤和把数据输入到模型中之后，还需要对理论价格做最后的调整。需要调整是因为互换期权的“价格”以年利率的形式表述。标的利率互换协议通常超过1年，互换期权的价格必须反映内在价值（正的利率价差）随着互换协议临近到期而增加这个事实。为说明这种效应，互换期权的内在价值必须乘以一个系数，这个系数衡量利率互换协议期间内正的利息价差的现值（然后以年利率形式表述）。

店头市场利率期权的总结

根据某些人的估计，就交易量和合约所代表的标的暴露风险来说，期权和其他衍生产品客户化定制的店头市场大大超过了交易所交易的市场。毫无疑问的是，如果利率继续保持过去20年来的剧烈变动模式，店头市场利率期权将继续繁荣下去。

很清楚的是，大多数金融市场显示出的变动与过去20年同样剧烈。店头市场期权对这些市场与对利率期权同样重要，而对某些市场，比如外汇市场，店头市场期权占期权总交易（包括第三章提出的交易所交易期权）的98%。获得成功的主要原因是，店头市场期权向最终用户提供客户化定制的产品。这种灵活性几乎没有限制，因为每天都在推出越来越多奇异的店头市场期权产品。因此，我用整个下一章来介绍这个不同寻常的领域，它们或许更适合称为变异期权。

【注释】

[1]参见标题为“套期案例3：卖出美国政府长期债券期货看涨期权以降低风险和提高收益”的部分，第375页。

[2]为更好地了解这种方式如何运作，读者可参考《剥离透视》，《风险杂志》，第4卷，第2期（1991 年2月），第20～24页。

[3]基差风险是在套期保值策略中被套期工具与所用套期工具之间随时间推移产生差异的风险，这在第十章进行过全面探讨，读者可参考第十章对美国政府债券与政府长期债券期货之间基差关系的探讨。

[4]用做空看涨期权和做多看跌期权构造合成标的头寸在第八章作为转换交易进行过全面探讨。

[5]罗伯特·默顿（Merton，Robert C.），《论公司债券的定价：利率的风险结构》，《金融月刊》，第29卷，第449～470页。

[6]那时我会再介绍用一项资产交换另一项资产的Margrabe模型。如果你用债券代替第一项资产，用短期利率证券代替第二项资产，且最后包括期权有效期内债券的“平均波动率”，你就可以得出默顿模型。

[7]鲍尔和托尔斯（Ball C.，A. and W. Torous），《债券价格动力学和期权》，《金融和数量分析月刊》，第18卷，第4期，第517～530页。

[8]史蒂文·谢弗和爱德华·施瓦茨（Schaefer，Steven M.和Edawardo S. Schwartz，）《时间依赖方差和债券期权的定价》，《金融月刊》，第42卷，第5期，第1113～1128页。

[9]期限是衡量债券平均有效期的指标，当除以（1 +债券收益率）时，可以预测在给定利率变动的情况下债券价格的变化大小。

[10]霍·托马斯和李（Ho. Thomas，S. Y. and S. B. Lee），《期限结构变动和利率相机选择权的定价》，《金融月刊》，第41卷（1986年12月），第1011～1029页。

[11]费雪·布莱克，伊曼妞尔·德尔曼和威廉·托伊（Black，Fischer，Emanuel Derman and William Toy），1990，《利率的单因素模型和它在政府债券期权中的应用》，《金融分析家月刊》（1990年1～2月），第33～39页。

[12]约翰·赫尔和怀特·艾伦（Hull，John，and Alan White），《利率衍生证券的定价》，《金融研究评论》，第3卷，第4期（1990年），第573～592页。

[13]大卫·希思，罗伯特·加罗和莫顿·安德鲁（Heath，David，Robert Jarrow and Andrew Morton），1990，《债券定价和利率的期限结构：相机选择权估价的一种新方法》，《金融和数量分析月刊》，第25卷（1990年12月），第419～440页。

[14]菲戈沃斯基·斯蒂芬，威廉·希尔伯和马蒂（Figlewski Stephen，William I. Silber and Marti G. Subrahmanyam），《金融期权：从理论到实践》Business One Irwin，Homewood，Illinois，1990年，第337～338页。

[15]清洁价格（clean price）加当前购买或销售债券上的应计利息。

[16]为全面理解R2，读者可参考本书的第九章。

[17]霍奇斯·斯图尔特和莱斯·克卢洛（Hodges Stewart，Les Clewlow），《交易成本下最佳Delta套期》，金融期权研究中心打印稿，沃里克大学。

[18]为全面了解清算公司的作用和它如何保证所有对方的行为，读者应参考第十五章的前几部分。

[19]埃里克·班克斯（Banks，Erik），《复杂衍生产品的信用风险》，Macmillan 1993年。

[20]杰拉尔德（Bierwag，Gerald），《期限分析，管理利率风险》，Ballinger出版社，1987年。

[21]本部分大多摘自本书作者发表的一篇论文，《覆盖协议的从头到尾》，《风险杂志》，第2卷，第3期（1989年3月），第21～24页。

[22]本部分大多摘自本书作者发表的一篇论文，《镜像背后》，《风险杂志》，第2卷，第2期（1989年2月），第17～23页。

[23]参见克利福德·史密斯，查尔斯·史密森和李·韦克曼（Smith，Clifford W. Jr.，Charles W. Smithson，and Lee M. Wakeman），《发展中的互换市场》，《内地公司金融月刊》，Winter 1986，第20～32页。

[24]威廉·玛格瑞伯（Margrabe，William），《一项资产交换另一项资产的期权的价值》，《金融月刊》，33（1977年3月），第177～186页。