列昂惕夫逆矩阵的一个性质及其在比较静态分析中的应用

列昂惕夫逆矩阵的一个性质及其在比较静态分析中的应用_纪念中国社会科学院建院三十周年学术论文集·数量经济与技术经济研究所卷

列昂惕夫逆矩阵的一个性质及其在比较静态分析中的应用

曾力生

一、引言

众所周知，若霍金斯－西蒙条件被满足，则在列昂惕夫逆矩阵中，任意1阶子矩阵的行列式不小于1，如果它是主对角元素，否则该行列式非负。本文将把此结果推广到2阶子矩阵，因此将得到列昂惕夫逆矩阵的一个新性质。该性质可被用于以投入系数、最终产出和增加值系数为参数的投入产出模型的比较静态分析。在研究投入系数变动时，必须涉及Sherman和Morrison(1949，1950)开创的矩阵扰动理论，在许多文献中，如Sonis和Hewings(1992，1998)，虽然这些作者发展了矩阵扰动理论，但是他们的研究成果没有涉及上述列昂惕夫逆矩阵的新性质。本文表明，利用这个新性质来分析当投入系数矩阵只在一行(或列)发生变化或只有一个部门的最终需求(或增加值系数)发生变化时对经济结构的影响是非常有效的。

若A的变化只发生在第i行，由Evans(1954)的公式(1.9)，B的变化为

其中Δ表示增量。若A的变化只发生在第j列，作为公式(1)的对偶形式，B的变化为

由公式(1)和(2)可得b_kr关于a_ij的偏导数为

b_kr＞0关于a_ij＞0的偏弹性为

若A的变化只发生在第j列，由公式(2)，产出乘数行向量M=EB=(m₁，m₂，…，m_n)＞＞0的变化为

命题1:若A的变化只发生在第j列，则部门j的产出乘数变化当且仅当各个部门的产出乘数变化率不完全相同，即Δm_j≠0(Δm₁/m₁=Δm₂/m₂=…Δm_n/m_n)。

则EC_j=0。由附录中的定理A1知|C_j|=|B|≠0，因此E=0，矛盾。证毕。

众所周知，X=BY，即

若只有部门i的最终产出有变化，且A不变，则X的变化为

若A的变化只发生在第i行，且Y不变，则由Evans(1954)的公式(3.3)，X的变化为

命题2:在一个经济系统中，若(i)只有部门i的最终产出变化，且A不变，或(ii)只有A的第i行变化，且Y不变，这引起了部门i的总产出变化，则每个部门的总产出变化率都相等当且仅当每个部门(部门i除外)的最终产出是零。即

(Δx₁/x₁=Δx₂/x₂=…=Δx_n/x_n)(y₁，…，y_i－1，y_i+1，…，y_n)=0。

公式(6)的对偶形式为P_k=，k=1，2，…，n。若只有部门j的增加值系数变化，且A不变，则P的变化为ΔP_k=(Δv_j)b_jk，k=1，2，…，n。若A的变化只发生在第j列，且V不变，作为公式(8)的对偶形式，P的变化为ΔP_k=b_jk∑_iP_iΔa_ij/(1－∑_ib_jiΔa_ij)，k=1，2，…，n。与命题2及其证明相对偶，我们可以类似地证明下面的命题3。

命题3:在一个经济系统中，若(i)只有部门j的增加值系数有变化，且A不变，或(ii)只有A的第j列有变化，且V不变，这引起了部门j的价格变化，则每个部门的价格变化率都相等当且仅当每个部门(部门j除外)的增加值(系数)是零。即

(ΔP₁/P₁=ΔP₂/P₂=…=ΔP_n/P_n)(v₁，…，v_j－1，v_j+1，…，v_n)=0。

令g=EX为社会总产值，W=g^－1X=(w_i)_n×1为总产值权系数列向量，显然有w＞＞0，且EW=1。

若只有部门i的最终产出变化，且A不变，则g的变化为

若只有A的第i行变化，且Y不变，则由公式(8)，g的变化为

根据公式(8)和(10)，若A中只有a_ij变化，且Y不变，则W的变化为

所以

二、列昂惕夫逆矩阵的一个新性质

为了得到关于比较静态分析的更精确的结果，我们给出下列列昂惕夫逆矩阵的新性质。

定理1:列昂惕夫逆矩阵B中的元素满足

其中，是与b相对应的R－1中的元素，R是列昂惕夫矩阵R中的_kji r_ii的余子矩阵。

根据定理1，我们任取B中的一个2阶子矩阵，若该子矩阵的一个主对角元素正是B的一个主对角元素，则该子矩阵的行列式非负，特别当该子矩阵的两个主对角元素都是B的主对角元素时，该子矩阵的行列式不小于1。若该子矩阵的一个非主对角元素是B的一个主对角元素，则该子矩阵的行列式非正。由公式(3)和(12)可得

所以，定理1的一个解释是:b_ij关于a_ik的偏导数不小于b_ii关于a_jk的偏导数，其中j≠i≠k，并且b_ij关于a_ij的偏导数大于b_ii关于a_jj的偏导数，其中i≠j。由定理1和公式(3)还可得

因此，当经济系统去掉一个部门时，列昂惕夫逆矩阵中任意元素的值不增大。设

所以当经济系统增加一个部门时，列昂惕夫逆矩阵中任意元素的值不减小。

三、列昂惕夫逆矩阵新性质的应用

根据定理1，命题1可以改进为如下的推论1。

推论1:若A的变化只发生在第j列，则部门j的产出乘数变化当且仅当部门j的产出乘数变化率大于所有其他部门的产出乘数变化率。

若Δm_j=0，则ΔM=0。证毕。

推论2:对i，j∈{1，2，…，n}，有

证明:由定理1可知，(b_iib_kj－b_ijb_ki)≥1＞0，j=1，…，i－1，i+1，…，n。因此

即Yⁱ=0时b_it=m_iw_i，Yⁱ＞0时b_ii＞m_iw_i。所以由公式(11)知本推论成立。证毕。

推论2表明，只有一个投入系数a_ij变动时不改变部门i的总产值权系数当且仅当每个部门(部门i除外)的最终产出是零。部门i的总产值权系数随投入系数a_ij增大(减小)而增大(减小)当且仅当至少存在一个部门k≠i，使得部门k的最终产出大于零。

根据定理1，命题2可以扩充为如下的推论3。

推论3:在一个经济系统中，若(i)只有部门i的最终产出变化，且A不变，或(ii)只有A的第i行变化，且Y不变，这引起了部门i的总产出变化，则(a)下列条件等价

(a₁)至少存在一个部门k≠i，使得部门k的最终产出大于零;

(a₂)部门i的总产出变化率的绝对值不小于所有其他部门的总产出变化率的绝对值，且至少大于一个部门的总产出变化率的绝对值;

(a₃)部门i的总产值变化率的绝对值大于社会总产值变化率的绝对值;

(b)当每个部门(部门i可除外)的最终产出都大于零时，部门i的总产出变化率的绝对值大于所有其他部门的总产出变化率的绝对值。

证明:先证(a)。由定理1知

即

所以，当只有部门i的最终产出变化，且A不变时，

类似地，当只有A的第i行变化，且Y不变，这引起了部门i的总产出变化时，

所以(a₁)(a₃)。下面证(b)。由定理1和Yⁱ＞＞0可知公式(13)至(16)中的所有不等式都是严格的。证毕。

在推论3的证明中，定理1显然起了关键作用。与此相比，Woods(1978)的有关推理是不正确的。他考查了只有一个部门的最终产出的变动对每个部门总产出的影响。根据直觉，他提出了他的“定理79”，其主要结果是，若只有部门k的最终产出增加，则该部门总产出的增长率最大。与本文的推论3相比，“定理79”是不准确的。首先，由本文命题2，当每个部门(部门i除外)的最终产出是零时，“定理79”的主要结果不成立。其次，由本文定理1和公式(13)至(15)，即使至少存在一个部门d≠k，使得部门d的最终产出大于零，也可能至少存在两个部门，譬如部门k和部门r，使得当部门r的最终产出等于零时，部门k和部门r的总产出以相同的最大比率增加。因此，当a_rj=0＜a_rk(j=1，…，k－1，k+1，…，r－1，r+1，…，n)时，Woods(1978)的方程(1)

即Woods(1978)的方程(1)中的不等式不成立。这意味着Woods(1978)的主要结果的证明是不正确的。事实上，为了正确地推导对应的结果，我们必须使用定理1。

作为推论3的对偶形式，下面的推论4扩展了命题3。

推论4:在一个经济系统中，若(i)只有部门j的增加值系数变化，且A不变，或(ii)只有A的第j列变化，且V不变，这引起了部门j的价格变化，则

(a)下列条件等价

(a₁)至少存在一个部门k≠j，使得部门k的增加值(系数)大于零;

(a₂)部门j的价格变化率的绝对值不小于所有其他部门的价格变化率的绝对值，且至少大于一个部门的价格变化率的绝对值;

(b)当每个部门(部门j可除外)的增加值(系数)都大于零时，部门j的价格变化率的绝对值大于所有其他部门的价格变化率的绝对值。

推论5:令B＞＞0且a_ij＞0。则由公式(4)定义的偏弹性满足下列不等式

推论5表明，B的第i行中的每个元素关于a_ij的偏弹性不小于其他行中的对应元素关于a_ij的偏弹性，且不大于b_ij关于a_ij的偏弹性;B的第j列中的每个元素关于a_ij的偏弹性不小于其他列中的对应元素关于a_ij的偏弹性，且不大于b_ij关于a_ij的偏弹性。

Holley(1951)证明了不等式0＜|R|≤1。本文将给出另一个简单的证法。令

附录

限于篇幅，附录中的定理和推论的证明从略。

定理A1:令矩阵T=(t_pq)_n×n，且

，k=1，…，i－1，i+1，…，n，r=1，…，j－1，j+ 1，…，n。则有

其中，n≥2，且当n= 2时，有t_ij≠0。

推论A2:令非奇异矩阵G=(g_pq)_n×n= F^－1。若g_ii≠0，则|G|= g_ii|G⁽ⁱ⁾|，其中，G⁽ⁱ⁾=，F_i是F=(f_pq)_n×n中的f_ii的余子矩阵。

参考文献

1.Evans，W.D.(1954) The effect of structuralmatrix errors on interindustry relations estimates，Econometrica，22，pp.461－480

2.Holley，J.L.(1951) Note on the inversion of the Leontiefmatrix，Econometrica，19，pp.317－320

3.Sherman，J.＆Morrison，W.J.(1949) Adjustment of an inversematrix corresponding to changes in the elements of a given column or a given row of the originalmatrix，Annals of Mathematical Statistics，20，p.621

4.Sherman，J.＆Morrison，W.J.(1950) Adjustment of an inversematrix corresponding to a change in one elements of a given matrix，Annals of Mathematical Statistics，21，pp.124－127

5.Sonis，M.＆Hewings，G.J.D.(1992) Coefficient change in input－outputmodels: theory and applications，Economic Systems Research，4，pp.143－151

6.Sonis，M.＆Hewings，G.J.D.(1998) Temporal Leontief inverse，Macroeconomic Dynamics，2，pp.89－114

7.Woods，J.E.(1978) Mathematical Economics(London，Longman)

(原载Economic Systems Research Vol.13.No.3，pp.299－315)