矩阵方法在薄透镜系统中的应用

4.3　矩阵方法在薄透镜系统中的应用

以上两节中讨论了矩阵方法在近轴光学即共轴球面系统近轴区中的应用，研究了系统的作用矩阵与物像关系矩阵。从系统作用矩阵的组成可以看出，系统对参与成像光线的偏折作用是以折射面为单元的，即每一个折射面决定一个折射矩阵；每两个面之间的间隔决定一个传递矩阵，透镜厚度的作用不可忽略。

但在很多情况下，当透镜厚度与其半径或焦距相比很小时，其厚度作用可以忽略，这种共轴球面系统称之为薄透镜系统。本节即讨论矩阵方法在薄透镜系统中的应用。

在厚透镜作用矩阵的表达式（4.16）中，当d₁→0时，传递矩阵将蜕化为单位阵，即T₂₁=。相应地，薄透镜的作用矩阵变化为：

上式表明，薄透镜作用矩阵的各高斯常数分别为：，即a为薄透镜的光焦度φ，它等于薄透镜两折射面光焦度之和；此外，b=1；c=1；d=0。

将薄透镜的高斯常数值代入式（4.44）～式（4.49），显然有

l_H＇=l_H=0；l_F＇=f＇，l_F=f

上述分析表明，薄透镜的作用矩阵实质上就是一个折射矩阵，是由其本身的光焦度φ决定的。为此，在讨论薄透镜系统的作用矩阵时，每个薄透镜的作用矩阵仍以折射矩阵R_i=表示；两个薄透镜之间的传递矩阵仍以表示（式中d_i表示第i个薄透镜与第i+1个薄透镜之间的间隔）；由K个位于空气中的薄透镜组成的薄透镜系统的作用矩阵仍以M_K1表示，则应有

上式表明，薄透镜系统的作用矩阵（及其各高斯常数）和共轴球面系统近轴区的作用矩阵（及其高斯常数）具有相同的物理意义；对于物像关系矩阵也是同样，因此，有关公式组完全适用。但是，两者也有区别：共轴球面系统近轴区的作用矩阵，其各折射矩阵是以折射面为单元构成的；而薄透镜系统作用矩阵的各折射矩阵是以薄透镜为单元构成的。

以位于空气中的、相隔距离为d₁的两个薄透镜组合为例，其系统作用矩阵为

上式中a=φ₁+φ₂－d₁φ₁φ₂=φ，即高斯常数a就是两薄透镜组合的光焦度φ。

［例4.4］已知一由正负薄透镜组成的系统，f₁＇=8cm，f₂＇=－10cm，正负透镜间隔d₁= 6cm，求系统的基点位置和焦距；又若正透镜左侧24cm处有一高度为3cm的物体，问其像的位置和大小如何?

解：如图4.4所示，l₁=－24cm，y₁=3cm，且设像距为l₂＇，像高为y₂＇。

首先求系统的作用矩阵为

则有高斯常数：a=10，b=1.6，c=0.25，d=－0.06

基点位置：

物像关系矩阵：

又由式（4.42）得

与上述结果对比，应有0.8l₂＇－0.12=0，故。

又β=－10×0.15+0.25=－1.25，因而像高y₂＇=βy₁=－1.25×3=－3.75cm。

将上述计算结果表示于图4.4中。

图4.4　正负薄透镜组合的基点位置与成像