数学的意义与数学教育的价值

第二节　数学教育的价值

所谓数学的教育价值，即数学教育对人的发展的价值。如何认识数学教育的价值，这是数学教育的一个基本理论问题，也是数学教育工作者为了卓有成效地进行数学教育而必须具备的一种数学教育理论修养。古往今来，大凡受过适度教育的人，都要接受不同程度的数学教育。那么，为什么要进行数学教育？为什么把数学设为学校的主课？要回答这个问题，有赖于对数学的教育价值的理解。下面从数学的实践价值、认识价值、德育价值和美育价值等方面来阐述数学教育的价值。

一、数学的实践价值

所谓数学的实践价值，是指数学对于认识客观世界、改造客观世界的实践活动所具有的教育作用和意义。任何一门科学，其教育价值都是建立在它的实践价值基础之上的，如果一门科学不具备任何方面的实践价值，这种知识对教育来说可以认为是没有多大价值和意义的。正如数学家拉普拉斯所说：“数学是一种手段，而不是目的，是人们为解决科学问题而必须精通的一种工具。”这种工具的作用主要表现在：

1．数学是科学的语言

任何科学都有自己的语言，这种语言能高度准确地描述科学所固有的特性。不难想见，化学反应方程式的语言何等清晰洗练。它使化学家们不仅能记下化学过程的进行情况，而且能预见到可能产生的结果。尽管这种语言如此重要，但充其量最多也只不过用来解决化学自身中的问题，却不可能将它用到其他方面的知识领域中去。在这方面，数学语言则有不可比拟的优越性，从一定意义来讲，数学是适合于描述不同质的过程的万能语言。在初中代数中指出，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫代数式。用代数式总能表达一个意思。因此，代数式是数学语言中的词汇或短句。而列方程就是把日常生活语言翻译成代数语言。要想掌握代数这个工具，就要学会认读代数式，会翻译其含义，并且会由代数式展开推理。这是学好代数，以至于学好数学的基本功。

数学语言由于其本质上包含着思维的经济性，使得我们可用少量的语言和公式来描述不同质的过程。例如，二次函数y＝ax²既可描述自由落体运动（d＝gt²），又可描述物体运动的动能（E＝mv²），也可表示半径为r的半圆形铁板的面积（s＝πr²）等等。好的数学语言本身还可成为数学发现的有力工具。譬如，（xa）（x－b）（x－c）＝x³－（a＋b＋c）x²＋（ab＋ac＋bc）xabc的符号记法能使你发现即使几十个数值例子都不大可能发现的东西：三次方程根与系数的关系。实际上，对于各行各业的技术术语而言，同样都要训练有素才能灵活运用，不能认为这些术语和符号的引人，增加了这些理论的难度。相反地，这些术语或符号的引入，往往是为了理论的易于表述和解决问题。特别是在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。可见，学好数学语言正是为今后到科学技术领域“留学、工作”的必要条件。

2．数学是计算的工具

数值计算是数学的基本功用之一。一门学科从定性的描述到定量的分析，是这门学科达到成熟阶段的重要标志。因此，数学科学的实践价值的一个方面就在于它是计算的工具。天体力学理论依据数学计算和推导，正确地预言了海王星的存在；生物遗传学中的基因理论就是从两两具有不同性状的个体杂交实验中获得了大量实验数据，进行大量计算，并经过数理统计推断分析才提出来的。

现在，数值计算都可以使用计算器甚至用计算机，还学数学做什么？“实际上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻快地前进，从而避免靠蛮力计算的艺术。”比如，计算：

靠蛮力计算甚至用计算器都可求得结果，然而观察分母特点，进行拆分，即可使

可见，数学教给人们的是计算的艺术。

3．数学是科学抽象的工具

运用数学的抽象和数学模型的方法，在理想状态下分析最纯粹的过程，是科学研究的重要手段。数学作为科学抽象的工具，在科学史上可以找到无数的事例。著名的“七桥问题”，在一般市民走来走去找不到出路的时候，数学家欧拉把问题抽象为“一笔画”问题，一举证明所要求的走法不存在。牛顿研究天体力学，中心的物理概念是引力。而引力的作用是完全不能用物理的术语解释。牛顿不给解释，只给出一个显明而有用的数量公式，表明引力是怎样作用的。这就是为什么牛顿在《自然哲学的数学原理》的开端处说：因此，我计划在这里只给出这些力的数学概念，不考虑它们的物理原因的根底。牛顿放弃物理的机械解释而改用数学的描写，虽然使杰出的科学家也感到震惊，曾遭到惠更斯、莱布尼兹等人的非议，“但是，只有依靠数学的描写（即使完全缺乏物理的了解时也依靠它）才使得牛顿的惊人的贡献成为可能．更不用说后来的发展了。”近、现代的科学成就，如相对论、量子力学、信息论、控制论等，都是因为有了相应的数学为之提供了科学抽象的工具，才使得它们成为了现代科学发展的里程碑。通过数学教育，可以使人们熟练地掌握打开科学大门的方法。

二、数学的认识价值

所谓数学的认识价值，是指学习和掌握数学科学知识及其过程在发展人的认识能力上所具有的教育作用和意义。认识价值是评价一门科学是否具有教育价值的最根本的标准和出发点。数学科学的认识价值表现为：

1．数学是锻炼思维的体操，启迪智慧的钥匙

每个正常人的思维能力的先天素质可能差别不大。但是，思维能力作为一种潜能，必须通过刻苦的训练才能显现出来，才能转化为一种认识能力，而数学在这种能力的训练中具有突出作用。然而，善于推理的能力不是天生就有的。只有通过教育，才能使人在这方面的潜能得到发展。人类的推理能力在于，在完全相信可以进行推理之前，可以用其他的方法来确证推理要素的真与假以及推理是否完善。数学是最适合进行推理的科学，因为它有如下一些特点：一是任何术语都被清楚地解释；二是证明过程都严格地合乎逻辑而不含糊，不受任何权威意见之制约与限制；三是任何悖于常理的概念与理论，只要它能对数学的发展有促进作用，就不会长期为人们所拒绝。在数学中人类的理性可以最大限度地发挥出来，并以此来促进人类理性的发展。

这表明：首先，逻辑思维能力是思维能力的核心，数学是培养学生逻辑思维能力最好的、最经济的材料。因此，加里宁说：“数学是锻炼思维的体操。”化学家罗蒙诺索夫说：“至于数学．即使是只不过使人们的思维有条理，也应该学习。’’这些话都是至理名言。其次，数学训练思维能力的价值不仅在于严格的逻辑推理，同时数学也是学习合情推理的理想的课堂，学习发现问题、提出问题、分析问题、解决问题思维程序，培养探索解决问题能力的最经济的场地。最后，数学方法的思维功能是数学教育功能最突出的体现。在数学的具有价值的内容体系中，数学方法是核心内容，因为数学思维从宏观上看是一种观念形态的策略创造，数学教学的重点就在于培养学生如何用数学的眼光、数学的方法去透视事物，提出数学概念，解决数学问题，而数学方法就是数学思维策略创造的结晶。要学会创造就要从数学思想方法的学习与应用开始。

2．数学是辩证的辅助工具和表现方式

数学抽象思维除了它的抽象概括性、简明性和严谨性之外，还有辩证性。数学概念的形成，数学思想的更新，数学方法的演进，处处充满了辩证的逻辑。抽象与具体，理论与实际，量与质，数与形，正与负，常量与变量，连续与离散，有限与无限，精确与模糊等等对立的数学概念，在一定条件下实现相互转化，这表明数学中充满了辩证法。人们要认识世界只有形式逻辑思维方式远远不够，还必须用辩证唯物主义的观点看世界。正像R．E．莫里兹所说：“数学使思维产生活力，并使思维不受偏见、轻信与迷信的影响与干扰。”足见数学对于提高人才素质有重大的教育价值和意义。

三、数学的德育价值

所谓数学的德育价值，是指数学在人的科学世界观、道德色彩和个性品质的形成和发展过程中所具有的教育作用和意义。以往人们对于数学在形成和发展学生辩证唯物主义世界观以及正确、严谨的逻辑思维能力方面的作用和意义，已经有相当多的讨论了，而数学教育对学生形成和发展道德品质和个性特征所具有的教育作用，则没有受到应有的重视。人的毅力、刻苦精神、对真理的追求、对问题的实事求是的态度、协作共事的作风，这些做人的基本准则和一个人的品质，都不是先天铸就的，而是后天通过教育、学习、实践逐步形成并完善的，其中数学教育对此具有重要的功能。前苏联数学家、数学教育家A．R．辛钦曾说：“数学课对于培养正确与严密的思维能力方面的作用和意义已经被人们讨论得很多了。

然而，关于数学课对于学生性格和道德个性的影响几乎还没有被谁谈到过。这是十分清楚的，从学科的抽象性讲，数学科学当然不能像历史、文学那样，为学生提供一个印象直接，伦理方面有助于性格形成的形象画面或激情。但是，由此得出结论，认为数学课与学生的道德个性的形成是毫无关联的．则是最肤浅的看法。

根据多年的经验，钻研数学科学必然会在青年人身上循序渐进地培养出许多道德色彩明显，并进而能够成为其主要品德因素的特点，这是教师应该承受的任务。把这一过程变得更加积极，把成果变得更加扎实，这对教师来说是责无旁贷的任务。”数学教育对学生的性格特征的影响结果，辛钦归纳为四点：真诚、正直、坚韧和勇敢。

数学是一门论证科学，其论证的严谨使人诚服，数学的真理性使人坚信不移。数学无声地教育人们尊重事实、服从真理这样一种科学的精神。

数学是一门精确的科学，在数学演算中，来不得半点马虎，在数学推理中，更容不得粗心大意。粗枝大叶、敷衍塞责是与数学的严谨性格格不入的，因此数学使人缜密。

数学是一门循序渐进、逻辑性很强的抽象科学。学习数学，攻克具有挑战性的问题，会逐渐铸就人们脚踏实地、坚韧勇敢、顽强进取的探索精神。

一个人学习数学，工作以后很可能由于长期不接触数学，而“把数学都还给老师了”。但由于学习数学过程中领悟的数学的精神、思想和方法，作为一种品格力量，却一直发挥着作用，这集中体现了数学的德育价值。

四、数学的美学价值

所谓数学的美学价值，是指数学在培养发展学生审美情趣和能力方面所具有的教育作用和意义。什么是美？美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一。美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明。真与善、规律性与目的性的统一，是美的本质与根源。科学家从自己科学研究实践中已经深刻认识到科学美、数学美的存在与作用。比如，作为一个伟大的科学家，彭加勒对科学美与数学美有强烈的感受：“一个名副其实的科学家。尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”这种“伟大的东西”就是与艺术美相提并论的科学美（数学美）。“感受到自然和人类的美，并用美丽的语言讴歌她，这就是诗歌：用美丽的色彩和形态去表现她，这就是绘画；而感受到存在于数与形的美，并以理智引导下的证明去表现她，这就是数学。’’哲学家常说，美的就是真的，而数学就是这样一门“既美而又真”的科学。正如英国数学家、哲学家罗素所说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至上的美。正像雕刻的美．是一种冷而严厉的美。这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰．它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”数学与科学知识之所以给人以美的感受和力量，就在于秩序、和谐、对称、整齐、结构、简洁、奇异，这些都是人们产生美感的客观基础，而数学恰恰集中了美的这些特点，并以纯粹的形式表现出来。

人们对数学的统一美、简单美、奇异美等的追求，在很大程度上促进了数学的发展。例如射影几何的对偶原理，数学中自然对数的引进都是基于对称美的追求；二进制的建立是对简单美的追求；集合论中的悖论是对奇异美的追求；而公理化方法是数学抽象美的高层次的显示。我们再举一个实际的例子。1772年。柏林天文台台长，德国天文学家波德总结前人经验，整理发表了一个“波德定律”，为人们提供计算太阳与诸行星之间的距离的经验法则。设地球与太阳间距离是10，则太阳到各行星的距离分别如表2—1：

表2－1

表格最下一列数，若在12与48之间添上24，不计首项0，其余各项是一个公比为2的等比数学列。1781年，天王星被发现。它与太阳距离为192（按上面规律应为96×2＋4＝196，它与192甚为接近）。从数列的和谐性上看，人们怀疑在距离为28的位置上还应有一颗小行星。天文学家忙碌了20年。1801年1月1日，意大利天文学家皮亚齐偶然在那个位置发现了一颗行星，数学家高斯给出了确定行星的轨道的方法，同年12月7日，人们找到了这颗小行星，且被命名为谷神星。这个例子突出说明自然界的规律性的美学特点，也可看出追求美学特点在探索自然规律中的作用。数学家冯·诺伊曼曾指出：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要的都是美学的。”他又说：“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的，不受（或近乎不受）经验的影响。”数学家阿达玛则更明确地表示：“若要问及研究工作的未来是否能产生卓有成效的结果，严格地说，我们对此真是一无所知，但审美感是可以告诉我们的，除了美感以外，就看不出有任何东西能够帮助我们去做预见了。”这正是对数学审美创造的深刻体验和精辟概括。马克思认为，社会进步就是人类对美的追求的结晶。数学对自身发展所具有的创造性的审美价值，要求我们在教育过程中必须注意诱导、培养学生感受数学美的能力，这是数学教育的一个重要目标。

到底什么是数学的教育价值？我们可以得到如下的基本认识：数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。美国一位数学家说：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。”

波兰一位技术专家科目艾布斯基认为，人类的最大特征是“具有随着时代的节拍不断进步发展的性质，即具有发明、发现和创意创新的能力。而这种能力正是一切其他生物几乎不具有的、人类独特的本领。”日本数学教育家米山国藏读后深受启发，认为：致力于启发和培养这种特征，乃是人类最大的责任和义务。米山国藏曾在大学和高中的数学教育实践中取得了许多的成绩，并探索过科学精神和文艺的根基与数学的精神和思想的根基之间的密切关系。米山国藏指出：“我历来认为，要启发人类独有的这种最高贵的性能，莫过于妥善利用数学教育。”这个结论是很有说服力的。