证券投资学基本因素分析

第六节　套利定价模型

斯蒂芬·罗斯在1976年提出了一种新的资本资产均衡理论——套利定价理论(Arbitage Pricing Theory，简称APT)。由于该理论认为风险可由几个因子产生，而不像CAPM那样基于一个风险因子，这与许多经验结果相吻合(许多经验结果表明了存在一个以上的风险因子)，并且CAPM是APT的一个特例，APT的假定又大大少于CAPM的假定，市场组合在APT中不起重要作用，致使APT比CAPM容易检验，因此，APT成为CAPM的一个较好的替代理论，可用于CAPM所应用的领域，如计算留存收益的成本。由于APT较之CAPM具有上述优点，故自该理论被提出之日起，对它的研究方兴未艾，日益成为金融投资学中的重要内容。

一、套利和套利证券组合

所谓套利是利用同一种实物或金融资产在时间或空间上存在价格差异来赚取无风险利润的行为。作为一种广泛使用的投资策略，最具代表性的套利行为是以较高的价格卖出证券，同时以较低的价格买进相同或功能上等价的证券。对于证券之间的相似性可以有不同的定义，这里的一个定义与因素模型有关，即对共同因素有着相同的敏感度系数。

根据一价定律，同一种可贸易商品不可能在一个或几个市场上存在不同的价格，否则将出现投机者贱买贵卖的套利行为，最终使各个市场上同一商品的价格趋于一致。因此，在完全竞争的资本市场上一旦出现相似的资产价格不一，就必然会伴随着套利行为。

根据定义，一个证券套利组合要符合以下三个条件:(1)套利组合不需要投资者任何净投资;(2)套利组合对任何共同因素和证券的独有因素不敏感，这就要求组合中的资产必须充分分散化;(3)套利组合必须是一个盈利的组合。

现在举例说明问题。假设证券回报率可以用一个单因素模型来解释。模型的表达式为

R_i= E(R_i)+ b_i F+ e_i(10－28)

其中，R_i——证券i的回报率;

　　　E(R_i)——证券i的预期回报率;

　　　F——证券i的公共因素，且E(F)= 0;

　　　b_i——证券i对公共因素的敏感度系数;

　　　e_i——随机误差，与F不相关，且E(e_i)= 0。现有一个由3种股票组成的套利组合:

如果X_i表示套利组合中证券I的权重的变化，那么要求:

把(2)代入具体数值，得到:

4X₁+ 2X₂+ 3X₃= 0(4)

不失一般性，取X₁= 0.01，并与(1)联立，解得: X₂= 0.01，X₃=－0.02，代入(3)，得:

0.01×25%+ 0.01×20%－0.02×10%= 0.25%

如果投资者拥有的三种股票当前的市值都是100万元，这个套利组合就是卖出股票3。

0.02×300= 6(万元)

同时买入股票1。

0.01×300= 3(万元)

买入股票2。

0.01×300= 3(万元)

投资者赚取的利润是:

300×0.25%= 0.75(万元)

二、套利定价方程

在上例中，不断买入股票1和股票2，会引起它们价格上升从而预期回报率下降;不断卖出股票3则会引起它的价格下跌从而预期回报率上升。这种套利行为会一直持续到无风险利润消失为止。这时，必有下式成立:

E(R₁)X₁+ E(R₂)X₂+ E(R₃)X₃= 0(5)

把(5)与前面的(1)和(2)两式联立，得到一个方程组。

因为X₁= X₂= X₃= 0与实际情况不符，方程组一定要存在非零解，根据线性代数的知识，三个方程中至少有一个是多余的，而方程(1)和(2)的系数又是线性无关的，那么方程(5)的系数必然能够被(1)和(2)的系数线性表示。于是:

E(R_i)=λ₀+λ₁ b_i(10－29)

这个线性方程就是套利定价方程，也可以叫做套利定价线或APT资产定价线。

现在分析一下套利定价方程中系数λ₀和λ₁的含义。如果b_i= 0，那么E(R_i)=λ₀，也就是说，λ₀表示共同因素的影响不存在时的期望收益率，其实就是无风险报酬率R_f。

若b_i= 1，由于敏感系数为1的资产必然是一个证券组合，可以对套利定价方程稍加变动:

E(R_p)= R_f+λ₁ b_p　　　(10－30)

图10－7　套利定价线

容易得到，λ₁= E(R_p)－R_f，这说明λ₁表示敏感系数为1的证券组合的风险报酬率，也叫因素风险溢酬。令δ₁=E(R_p)，则λ₁=δ₁－R_f，最后，套利定价方程可以写为

E(R_i)= R_f+(δ₁－R_f)b_i 　　　(10－31)

图10－7中的直线即套利定价线，处于线上方的点M代表的资产价值被低估，线下方的点N价值被高估，套利者出售资产A买进资产M，出售资产N买进资产B，最终使M和N回归到套利定价线上。

三、ATP的多因素模型

我们以双因素模型为例，推导出多因素模型下的套利定价方程。假设每个证券的回报符合双因素模型:

R_i= E(R_i)+ b_i1 F₁+ b_i2 F₂+ e_i(10－32)

其中，R_i——证券i的回报率;

　E(R_i)——证券i的预期回报率;

　F_j——证券I的公共因素，且E(F_j)= 0;

　b_ij——证券I对公共因素的敏感度系数，其中j= 1，2;

　e_i——随机误差，与F不相关，且E(e_i)= 0。

如果套利组合中有三种证券，X_i表示套利组合中证券i的权重的变化，那么要求:

当套利机会最终消失时，

E(R₁)X₁+ E(R₂)X₂+ E(R₃)X₃= 0　　　(4)

把上面四个方程联立，很明显，至少有一个方程是不必要的，我们知道各个共同因素的敏感系数是不可能线性相关的，否则将会把线性相关的因素加以合并。事实上前三个方程的系数构成一个线性无关组，因此必然存在如下关系:

E(R_i)=λ₀+λ₁ b_i1+λ₂ b_i2　　　(10－33)

这就是双因素模型下的套利定价方程，它表示一个二维平面，平面上方的资产价值被低估，平面下方的资产价值被高估，通过套利者买进卖出的行为，资产的价值得到调整，最终当供求平衡时，所有的资产都回归到平面上。

一般地，在n因素模型中套利定价方程的形式为

E(R_i)=λ₀+λ₁ b_i1+λ₂ b_i2+…+λ_n b_in　　　(10－34)

它代表一个n维超平面。其中λ₀= R_f，λ_j表示第j个共同因素的风险溢酬，也可以用(δ_j－R_f)表示。δ_j是所有其他的共同因素的敏感系数为0，第j个因素的敏感系数为1的证券组合的预期报酬率，其中，j= 1，2，3，…，n。于是，n因素模型的套利定价方程也可以表示为

E(R_i)= R_f+(δ₁－R_f)b_i1+(δ₂－R_f)b_i2+…+(δ_n－R_f)b_in 　　　(10－35)

四、ATP与CAPM的综合

单因素模型下的ATP资产定价方程是:

E(R_i)= R_f+(δ₁－R_f)b_i　　　(10－36)

而CAPM方程是:

E(R_i)= R_f+[E(R_m)－R_f]_βim　　(10－37)

现在对各种状况分别讨论:

(1)在APT单因素模型中，如果把市场组合的回报率作为共同因素，那么δ₁=E(R_m)，b_i=β_im。这时ATP与CAPM是一致的。

(2)如果共同因素不是市场组合的回报率，那么证券i与市场组合协方差为:

因为Cov(e_i，R_m)很小，这里可以忽略不计。根据贝塔值的计算公式:

其中是与证券i无关的一个常数。把贝塔值的上述表达式代入CAPM方程，可以得到:

与APT方程比较后可以得到:

如果ATP和CAPM的假设条件同时满足，当因素与市场组合正相关时，因素风险溢酬也为正，而且敏感系数越大，证券的预期回报率越高。相反，当因素与市场组合负相关时，因素风险溢酬为负，且敏感系数越大，证券的预期回报率越低。

类似地，在n因素模型中每一个因素的风险溢酬:

其中，j= 1，2，3，…，n。

CAPM模型与APT模型都经过了严格的数学推导，其正确性是毋庸置疑的，但模型严格的假设条件却是国际上所有证券市场都无法满足的。因此，一个完美的理论模型是否能经得过资本市场的实证检验，决定了该理论模型在经济实践中的运用。美国等发达国家的经济实践证明，CAPM模型在经济实践中获得了成功的应用。通过中美证券市场中资产定价模型的比较研究，可以从实证检验方面初步判断定价模型在中国的适用性。