恒定总流的能量方程

6.2.3　恒定总流的能量方程

恒定总流的能量方程是能量守恒定律在流体力学中的数学表达式，它与恒定总流的连续性方程相结合，可以解决许多流体力学问题。

1.理想流体恒定元流的能量方程

在流场中，沿流向取一长度为ds、过流断面积为dA的微小元流段，如图6.2-6所示。作用在流向s的外力有:进口断面的压力pdA，出口断面的压力(p+dp)dA，作用在元流段的重力在流向的分力dGcosα，对于理想流体，作用在元流侧表面的切应力为零。

在流向s应用牛顿第二定律，有

pdA－(p+dp)dA－dGcosα=dm·

式中dm=ρdAds为元流段质量，dG=ρgdAds为元流段重

量，cosα根据图6.2-6中几何关系有cosα=udu=

图6.2-6

，得将dm、dG、cosα等关系式代入上式，化简整理，并考虑到

对于不可压缩流体，ρ=常数，故上式可写成

积分上式得

或写成

这就是理想流体恒定元流的能量方程，该方程是由瑞士物理学家柏努利首先提出的，故亦称柏努利方程，它反映了恒定流中沿流线各点位置高度z、压强p和流速u之间的变化规律。

为了加深对柏努利方程的理解，下面对其物理意义和几何意义进行讨论。

从物理角度看，z表示单位重量流体相对于某基准面所具有的位能;表示单位重量流体所具有的压能;表示单位重量流体所具有的动能。因通常将位能与压能之和称为势能，势能与动能之和称为机械能，故式(6.2-6)的物理意义为单位重量恒定不可压缩理想流体的机械能沿流线不变，即机械能守恒。

从几何角度看，z表示元流过流断面上某点相对于某基准面的位置高度，称为位置水头;称为压强水头称为流速水头。因通常将位置水头与压强水头之和称为测压管水头，测压管水头与流速水头之和称为总水头，故式(6.2-6)的几何意义为恒定不可压缩理想流体的总水头沿流线不变。

2.实际流体恒定元流的能量方程

由于实际流体具有黏性，在流动过程中流层间内摩擦力做功，将使一部分机械能不可逆地转化为热能而耗散，因此实际流体流动的机械能将沿程减小。根据能量守恒原理，实际流体恒定元流的能量方程可写成

式中h'W为元流中单位重量流体沿流程的机械能损失，亦称元流的水头损失。

图6.2-7

实际流体恒定元流的能量方程各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线表示。元流各过流断面的测压管水头的连线称为测压管水头线，而总水头的连线称为总水头线(见图6.2-7)。这两条线清晰地表示了流体的位能、压能和动能及其组合沿程的变化过程，其变化的程度可分别用测压管坡度

和水力坡度(即总水头坡度)

量度。实际流体的总水头线总是沿程下降的(J＞0)，而测压管水头线沿程则可升(J_P＜0)、可降(J_P＞0)，也可不变(J_P=0)，主要取决于水头损失及动能与势能间相互转化的情况。

3.恒定总流的能量方程

恒定总流的能量方程就是元流的能量方程式(6.2-7)在总流上的推广。以重量流量ρgdQ=ρgu₁dA₁=ρgu₂dA₂乘以式(6.2-7)后在总流过流断面上积分:

上式共包含三种类型的积分，即

为便于积分，将过流断面取在渐变流段。因渐变流断面上各点的z+=常数，则有

为便于计算，通常用断面平均流速v表示实际动能，同时考虑实际流体的流速不均匀性而加以修正，即

式中α称为动能修正系数，反映过流断面上流速分布不均匀程度，一般流动的α=1.05～1.10，工程计算中常见流动通常取α=1.0。

(3)水头损失积分∫_Qh'WρgdQ

根据积分中值定理，可得

∫_Qh'WρgdQ=h_WρgQ

式中h_W为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失。

将上述关系代入式(6.2-10)，注意恒定流时Q₁=Q₂=Q，化简后得

这就是实际流体恒定总流的能量方程(柏努利方程)，它在形式上类似于实际流体恒定元流的能量方程，但是以断面平均流速v代替点流速u(相应地考虑动能修正系数α)，以平均水头损失h_W代替元流的水头损失h'W。总流能量方程的物理意义和几何意义与元流的能量方程相类似。

恒定总流的能量方程的应用条件:①流动必须是恒定流;②流体是不可压缩的;③质量力只有重力;④选取的过流断面必须符合渐变流条件(两过流断面之间可以不是渐变流);⑤两过流断面之间没有能量的输入或输出。当总流在两过流断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体将额外地获得或失去能量，则总流的能量方程应作如下修正:

式中:+H表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量;－H表示单位重量流体流经水轮机所失去的能量。

应用恒定总流的能量方程解题时应注意基准面、过流断面和计算点的选取，这三个“选取”应综合考虑，以计算方便为宜。原则上基准面可以任选，但必须是水平面，且两过流断面必须选取同一基准面，通常使z≥0;过流断面必须选在渐变流段上，且应选在已知量较多的断面上，并使能量方程含有待求未知量;过流断面上的计算点原则上可以任取，为方便起见，通常对于管流取在管轴中心，对于明渠取在自由液面上。另外，方程中的流体动压强p₁和p₂，可以采用相对压强或绝对压强，但方程两端必须统一。

图6.2-8

4.能量方程的应用

【例6.2-2】皮托管是将流体动能转化为势能，从而通过测压计测定流体点流速的仪器。它是由测压管和测速管(两端开口的直角弯管)组成，其测速原理如图6.2-8所示。测速时，将弯端管口正对来流方向置于A点下游同一流线上相距很近的B点，来流在B点受测速管的阻滞流速为零(B点称为滞止点或驻点)，动能全部转化为势能，测速管内液柱保持一定高度。试根据B、A两点的测压管水头差h_u=计算A点的流速u。

解:将理想流体恒定元流的能量方程(6.2-6)应用于A、B两点，有

考虑到实际流体黏性作用引起的水头损失和测速管对水流的影响等，用上式计算A点流速尚需修正，即

式中ξ称为皮托管修正系数，其值与皮托管构造有关，由实验确定，通常很接近于1.0。

图6.2-9

【例6.2-3】文丘里流量计是一种测量有压管流流量的仪器。如图6.2-9所示，它是由光滑的收缩段、喉道和扩散段三部分组成。管道过流时，因喉道断面缩小，流速增大，动能增加，势能减小，这样通过在收缩段进口断面和喉道断面安装测压管或差压计，实测两断面的测压管水头差，便可由恒定总流的能量方程得到管道的流量。若已知文丘里管进口直径d₁=100mm，喉道直径d₂=50mm，流量系数(实际流量与不计水头损失的理论流量之比)μ=0.98，实测测压管水头差Δh=0.5m，试求管道通过的流量Q。

解:选取渐变流进口断面1—1和喉道断面2—2为计算断面，计算点均取在管轴上，基准面0—0置于管道下某一固定位置。据1—1、2—2过流断面列恒定总流的能量方程(暂不考虑水头损失)，有

取α₁=α₂=1.0，整理上式得

式中可由总流的连续性方程求得，即

2，将其代入上式，可得

故理论流量

式中K

取决于文丘里管的结构尺寸，称为文丘里管系数。

考虑到实际流体存在水头损失，实际流量略小于理论流量，即

式中μ称为文丘里管流量系数，一般μ=0.95～0.98。

对于本例，文丘里管系数

【例6.2-4】离心式通风机借集流器B从大气中吸入空气(如图6.2-10)，在直径d=200mm的圆柱形管道部分接一根下端插入盛水容器的玻璃管，若玻璃管中的水上升h=150mm，试求通风机流量Q。已知空气的密度ρ气=1.29kg/m³。

解:取管轴为0—0基准面，对1—1、2—2断面建立总流的能量方程(计算点均取在管轴上)

图6.2-10

式中p可据盛水容器由流体静力学方程求得，即

取α=1.0，故