随机事件与概率

1.7.1　随机事件与概率

直观上可以这样认识:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情称为随机事件(简称为事件);概率是随机事件发生可能性大小的一种度量.记事件A的概率为P(A)，规定

0≤P(A)≤1.

必然事件(记作Ω)与不可能事件(记作Φ)是两个特殊的随机事件，规定

P(Ω)=1，P(Φ)=0.

1.随机事件之间的运算

随机事件通常用集合(样本空间Ω的子集)形成来表达.复杂的随机事件可以通过简单随机事件的运算来体现.随机事件之间的运算本质上是集合的运算.

①对立事件(或逆事件):事件A的对立事件表示“A不发生”，记作－A.

②和事件:事件A与B的和事件表示“A与B中至少有一个发生”(即“A发生或者B发生”)，记作A+B(或A∪B).

③积事件:事件A与B的积事件表示“A发生并且B发生”，记作AB(或A∩B).

④差事件:事件A与B的差事件表示“A发生并且B不发生”，记作A－B(或A－B，或AAB).

2.随机事件之间的关系

随机事件之间常常存在某种内在联系，这种联系在数学上称为关系.

①包含:事件B包含事件A表示“当A发生时B必定发生”，记作B＜A(或A＞B).

②相等:事件A与B相等表示“A＞B并且B＞A”，记作A=B.

③互不相容(或互斥):事件A与B互不相容表示“A与B不可能同时发生”，记作AB=Φ.

④对立(或互逆):事件A与B对立表示“A与B有且只有一个事件发生”，记作－A=B(或－B=A).

⑤完备事件组:事件A₁，…，A_n构成一个完备事件组表示“A₁，…，A_n两两互不相容，并且A₁+…+A_n=Ω”.当n=2时，A与－A构成完备事件组.

⑥相互独立:事件A与B相互独立的直观意义是“A与B是否发生相互不影响”.事件A与B相互独立的数学定义是

P(AB)=P(A)P(B).

3.随机事件运算的性质

由于事件用集合来表示，因此集合运算的性质(例如交换律、结合律、分配律等)全都适用于事件的运算.特别指出下列德摩根法则:

4.条件概率

在事件A发生的前提下事件B发生的概率称为条件概率，记作P(B|A).条件概率的常用计算公式为

P(B|A)=，其中P(A)＞0.

当事件A与B相互独立时，P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A).

5.概率的计算公式

事件之间的运算与关系通过下列公式反映概率之间的联系.

①求逆公式:P(－A)=1－P(A).

②加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB).当A与B互不相容时，P(A+B)= P(A)+P(B).

③乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).当A与B相互独立时，P(AB)= P(A)P(B).

④求差公式:P(A－B)=P(A)－P(AB).当A＜B时，P(A)≥P(B)，且P(A－B)= P(A)－P(B).

⑤全概率公式:如果事件A₁，…，A_n构成一个完备事件组，且P(A_i)＞0，i=1，…，n，那么

P(B)=P(A_i)P(B|A_i).

⑥贝叶斯公式(或逆概率公式):如果事件A₁，…，A_n构成一个完备事件组，且P(A_i)＞0，i=1，…，n，P(B)＞0，那么

P(A_i|B)=，i=1，…，n.

【例1.7-1】设A，B，C为三个事件，则－A+－B+－C表示(　).

(A)三个事件全发生　　(B)三个事件全不发生

(C)三个事件不全发生　(D)至少有一个事件发生

解:按照德摩根法则，由

推得(C)成立.

事件的同一表达式可以有多种表示，但含义是相同的.本题中－A+－B+－C也表示A，B，C中至少有一个不发生，还可以表示A，B，C中不多于两个事件发生.

【例1.7-2】设事件A满足P(A)=0，则(　).

(A)事件A不可能发生　(B)A与任意一个事件B相互独立

(C)事件－A必定发生　(D)A与任意一个事件B互不相容

解:由P(A)=0推不出A=Φ(反例可见1.7.3中的连续型随机变量)，因此(A)、(C)、(D)都不对.故选(B).

这个问题也可以正面解答.由于AB＞A，因此，由

0≤P(AB)≤P(A)=0

推得P(AB)=0.从而，P(AB)=P(A)P(B)成立，即事件A与B相互独立.

【例1.7-3】设P(A)=0.3，P(B)=0.4.在下列三种情形下，分别求P(A+B)与P(A－B).

(1)A与B互不相容;

(2)A与B有包含关系;

(3)A与B相互独立.

解:(1)由AB=Φ推得

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7，

P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.3－0=0.3.

(2)由于P(B)＞P(A)，因此包含关系只能是A＞B.由A+B=B，AB=A分别推得

P(A+B)=P(B)=0.4，

P(A－B)=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A)=0.

(3)由于P(AB)=P(A)P(B)=0.3×0.4=0.12，因此

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.3+0.4－0.12=0.58，

P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.3－0.12=0.18.

【例1.7-4】已知某台机器正常运转时，产品的合格品率达到90%;当机器发生故障时，产品的合格品率仅为30%.通常机器发生故障的概率为25%.

(1)试求该机器的产品的合格品率;

(2)已知某日首件产品是合格品，求此时机器正常运转的概率.

解:设事件A表示“机器正常运转”，则－A表示“机器发生故障”.A与构成完备事件组，且

P(A)=0.75，P()=0.25.

设事件B表示“产品是合格品”，则

P(B|A)=0.9，P(B=0.3.

(1)由全概率公式得到

P(B)=P(A)P(B|A)+P(=0.75×0.9+0.25×0.3=0.75.

(2)由贝叶斯公式得到

【例1.7-5】设事件A，B满足P(A)=0.2，P(－B|A)=0.4，则P(AB)等于(　).

(A)0.08　(B)0.12　(C)0.2　(D)0.4

解:由于P(B|A)=1－P(－B|A)=1－0.4=0.6，因此，由乘法公式得到

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.2×0.6=0.12.

故选(B).