《求随机事件的概率》教学设计／姚英艳

姚英艳

本部分内容包括条件概率、相互独立事件的概率、n次独立重复试验的概率等问题。内容、概念多，公式多，计算量大，综合性强。无论是离散型随机变量的分布列、均值，还是方差，都离不开随机事件的概率计算。让学生通过概念辨析和例题，认识求概率的几个常用公式，面对复杂事件能够利用事件的关系与运算将事件分解，并选择合适公式进行求解。

本节课是新课标高中数学A版选修2-3中第二章随机变量及其分布的章末复习课。学生很多在做题时，只写计算过程，不习惯用字母来表示事件，不习惯描述事件的关系，对错完全凭感觉。在解题过程中最关键的是概率的求解问题，因此根据这种需要我将复习课分为三部分，第一部分：概率的求解问题；第二部分：离散型随机变量的分布列、均值和方差；第三部分：正态分布。第一部分无疑是最关键的一环，在高考中，既有以考察正态曲线及独立事件的概率为主的选择题、填空题，也有以考察二项分布为主的解答题。通过本节课的学习，可以培养学生相互联系、相互转化的思想，逻辑的解决问题的能力，体会最基本的数学思想。

1．通过概念热身，复习回顾已学知识，并找到知识间的联系。

2．通过例题解析，规范解题过程，通过一题多解继续明确知识间的联系并找到最优解法。

重点：理解互斥事件，条件概率，相互独立事件的概念；掌握古典概型，互斥事件概率加法公式，独立事件同时发生的概率乘法公式，二项分布中的概率公式，在解题中能用字母表示事件及事件的运算。

难点：灵活选择公式求解随机事件的概率。

教学基本流程

（一）引入

给出本章的知识结构图：

师：今天我们来上一堂习题课，先通过第二章随机变量及其分布的知识结构图对所学知识有一个整体的认识。我们截取其中最重要的一个片段，为了求离散型随机变量X的均值与方差，我们往往需要列出概率分布列，这一方面要确定X的全部取值，另一方面要求出该取值下的随机事件的概率。比如通过古典概型很轻松地得到掷一枚骰子，点数X=1的概率为，但有些复杂事件的概率却并不好求，而且到目前为止，我们已经积累了很多求概率的公式，只有理清事件的关系及运算，才能正确地选用公式，求出随机事件的概率。

设计意图：从整体知识结构出发，认清要研究的任务，明确学习目标。

（二）自主小测

1．下列说法正确的是__________。

（1）运动员射击一次，射中8环与射中10环是相互独立事件。

（2）甲、乙两名运动员各射击一次，甲、乙都击中目标与甲、乙都没有击中目标是互斥事件。

（3）甲、乙两名运动员各射击一次，甲射中10环与乙射中9环是相互独立事件。

（4）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，此试验为10次独立重复试验，若击中目标的次数记为X，则随机变量X服从二项分布。

（5）一袋中有3个红球，2个白球（形状、质地相同），从袋中取出2个球，则取

到一个红球的概率是。

师：我们请同学给出第一题的答案，并说明理由。

学生口述，并给出评价。

师：下面继续请同学回答第二题。

2．一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的。

已知这个家庭有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________。

师：非常好.请同学试着给出第3题答案，并说明理由。

3．同时掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，求X的期望________。

学生口述，并评价。

师：我们刚才使用了哪些公式？下面我们一起梳理概率公式间的逻辑关系。在本章开头，我们已经知道随机变量可以建立随机试验的结果和数字的对应关系，如在一次随机试验中，事件A要么发生，要么不发生，A发生次数是1或0，这样的分布列称为两点分布；又如从含有M件次品的N件产品中抽取n件产品，含有次品的件数符合超几何分布；符号P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，计算条件概率一般有两种方法，其中符号AB表示事件A与事件B交事件或积事件，如果A的发生对B没有影响，则P（B|A）=P（B），于是有P（AB）=P（A）▪P（B），这样得到了相互独立事件的概率的乘法公式；在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，则X服从二项分布。如n=3时，在推导二项分布的概率公式当中用到了互斥事件和事件或并事件的概率加法公式。超几何分布和条件概率的公式都是比值形式，它们都应用了共同的概率模型古典概型，古典概型是离散型随机变量求概率的最基本公式，它在形式上是一个比值，分母是试验所含的基本事件的总数，分子是事件A所含基本事件的总数。同学们有时很难把握什么时候该用概率的乘法，什么时候该用概率的加法，那是因为不能正确区分互斥事件和相互独立事件，对此我们再对这两个概念进行认识。互斥事件往往是指在同一试验中，两事件不能同时发生；相互独立事件往往是指在不同试验中两事件互不影响。如用韦恩图，可这样表示：

概率公式的逻辑关系图为：

设计意图：从具体事件的事例出发，引发学生们对基本概念，基本公式的思考，面对如此多的概念，公式，学生们并没有建立起它们之间的联系，教师在这个恰当位置阐明概率公式逻辑关系及基本概念的重要性，引发学生对于后序知识的关注。

师：下面通过例题解析，来进一步完善求概率的解题方法。认真梳理你的思路，并规范的写出解题过程。

（三）例题解析

例1．在10道题中有6道选择题和4道填空题，如果不放回的依次抽取2道题，求

（1）第一次抽到选择题的概率；

（2）第一次和第二次都抽到选择题的概率；

（3）在已知第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率。

学生活动，老师点拨。

解题小贴示：

（1）弄清试验条件，正确识别随机事件；

（2）事件符号化；

（3）古典概型是求概率的基本方法；

（4）条件概率形式为比值，可一题多解，择优而用。

设计意图：通过例题，明确古典概型是求概率的基本模型，条件概率公式与之有密切关系。

例2．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件进行检验，这4件产品中优质品的件数记为n。

如果n=3，那么再从这批产品中任取4件进行检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；

如果n=4，那么再从这批产品中任取1件进行检验，若为优质品，则这批产品通过检验；

其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出每件产品是优质品的概率为，且各件产品是否为优质品相互独立。求这批产品通过检验的概率。

解题小贴示：

（1）分解复杂事件，弄清它的结构；

（2）独立事件考虑概率乘法公式或n次独立重复试验考虑二项分布；

（3）互斥事件和事件使用概率加法公式。

设计意图：通过一道高考题，明确面对实际问题，辨识选择概率模型的重要性。

（四）课堂小结

师：通过这堂课，你现在对于求概率有什么认识？或者哪一点你印象比较深刻？

1．概率公式的逻辑关系：古典概型是求离散型随机变量最基本的概率模型，遇到互斥事件的和事件使用概率的加法公式，遇到相互独立事件考虑概率的乘法公式，而遇到n次独立重复试验，则很有可能考虑二项分布的概率公式。

2．相互独立事件和互斥事件的区分方法。

3．数学思想：转化的数学思想。

设计意图：再次对概率公式的逻辑关系进行认识和回忆，加强印象，为解决求随机事件的概率打下基础。

（五）作业

复习参考题A组2、3；B组1、2、3

（六）板书设计

第二章复习课（一）求随机事件的概率

1．概率公式的逻辑关系

2．互斥事件与相互独立事件的区分

3．转化思想

本教学设计先由本章知识结构图出发，让学生从整体上认识所学知识的联系，通过概念热身暴露出众多的概念及公式，并初步挖掘出学生的已有的零散认知；通过概率公式间的知识结构图，说明知识间的联系，并着重强调如何区分互斥事件。在例题解析部分，充分调动学生积极性讲解习题，教师在关键处进行点拨，对古典概型，独立事件的概率乘法公式，互斥事件和事件的概率加法公式进行再认识，在解题过程中注意传递转化的数学思想。通过课堂小结再次强化各个概率公式间的关系，为灵活应用打下坚实的基础。

这节课的亮点有：

1．复习课回归了基本概念的复习，有利于学生知识结构的建立。

2．知识结构图共3张，第一次整体认识；第二次梳理逻辑关系提升认识；第三次总结再次巩固和提升认识。其中第二和第三张概括性很强。学生面对错综复杂的求概率问题，会有一个解题思路和方向。

3．在习题的处理当中，教师注重传递学生三点：“想明白”、“会表达”、“写规范”。可提升之处：在课堂上，教师应强调审题，阅读能力的重要性，第一步粗读，第二步再细读才能准备把握题意。

区分二项分布模型和超几何分布模型，不同概率模型如何记忆的问题是一个难点。市教研员和老师们认为教师可在课下针对一种概率模型举出典型的几个具体试验，从具体情境中学生可认清每种模型的本质特征。对于难点问题，教师应有科研意识，教学反思的意识，也应教会学生学会如何反思，反思概率模型，反思题型，这样才能突破瓶颈，解决好概率的求解问题。