隧道变形监测信息处理方法综述

隧道变形监测信息处理方法综述

靳晓光　黄　亮

（重庆大学土木工程学院　重庆　400030）

摘　要　简要介绍了隧道变形监测信息常见处理方法的基本原理、实现过程和优缺点，为隧道围岩变形监测处理系统的建立和完善提供了理论基础和方法体系。

关键词　隧道　变形监测　信息处理

隧道工程监测中，因变量与自变量之间往往呈一元非线性关系（如u—t，σ—t）。位移—时间（u—t）曲线、应力—时间（σ—t）曲线随监测时间的增大，曲线的几何形状可表示为连续的折线。监测量的突变点通常是由外因（如开挖、降雨）和内因（如岩体结构、地应力场）引起的。结合量测过程进行分析，将这类连续折线的转折点纵坐标取为这一时刻实际发生的相对位移、应力监测量，将转折点之间的图形连为直线，对其间变形过程规律的描述带有主观随意性。因此，为了较客观地反映监测信息随时间变化的规律，借助数学方法或数学模型将连续折线处理为连续光滑的曲线，并应用于预测预报分析。

1　回归分析

根据监测数据序列，选用已知的非线性函数（如双曲线函数、幂函数、指数函数、对数函数、生长函数、S形函数等），对其数据序列进行回归，选择精度最高的作为其回归方程，如图1所示。

图1　数据管理系统输入及处理界面回归程序框图

2　时间序列分析

隧道工程监控量测中，由于多种原因，往往不能测到变形位移的全过程。为了判断围岩稳定性，需要估计收敛量测的预报误差。有时为了反分析等效弹性模量，还需要推断测前位移值或最终位移值。对于最终位移值，目前常用的回归分析法一般可以预测。但回归分析用于推断测前位移时，由于实测值取舍或线型、参数等选取的不同等主观因素，往往分析结果相差较大，难做取舍。时间序列分析方法则能考虑到位移时间序列中的每一时刻的量测数值，与该时刻以前（或以后）的各个值有内在联系，即有所谓“记忆”特性。时序分析方法对于影响因素众多、关系复杂、随机性强的问题，提供了一种不考虑内部机制，只描述现象规律，进而做出预测的途径。

2．1　时间序列方法概述

一串带有随机性的随时间变化的无穷数据系列，称为随机时间序列，简称时间序列。写成X₁，X₂，X₃，…，X_t或｛X_t｝（t＝1，2，3，…）。

随机时间序列有平稳序列和不平稳序列两种。所谓平稳随机序列就是统计特性不随时间变化的随机序列，即对于随机序列中的每一个都有相同的一维概率密度。一般来说，任何动力学系统的随机过程一开始是不平稳的，即“过渡过程”，随着过渡过程的消失，从此时起可认为过程是平稳的。实际工作中遇到的非平稳随机序列，通常采取措施使它变成平稳序列，然后用平稳随机时间序列的理论与方法进行研究。如果平稳随机序列｛X_t｝的自协方差函数γ_k＝0，则称白噪声序列。它在时序分析中起着重要的作用。

2．1．1　平稳随机序列的遍历性

遍历性（各态历经性）平稳随机序列具有以下性质：在采样时间足够长的条件下，任一个样本函数（指一条记录曲线，如位移—时间曲线）都能“遍历”各种可能的状态，这样就可以用来计算随机序列的特征量。平稳随机序列的各态历经性、是时间序列分析的重要理论基础之一，因而也是用时间序列分析方法对现场位移量测资料做反分析的一个理论根据。

用数学语言表示：

设｛X_t，t∈T｝，T＝｛0，1，2，…｝是平稳过程，对于X_t的均值具有遍历性，即有

若平稳随机序列具有遍历性，就可以通过它的一个现实（即一个样本函数）对其均值与自协方差函数进行估计。

一般来说，在实践中平稳随机序列的遍历性常能成立。例如隧道周边收敛量测的一对测点只需量测一条收敛—时间（u—t）曲线，而不是多条u—t曲线。这就是认为一条记录曲线即能遍历各种可能的情况，并能用以对随机序列的特征量进行估计。

2．1．2　时间序列的线性模型

（1）自回归模型（AR模型）

如果平稳随机序列任一时刻t的数值X_t可表示为过去几个时刻的数值X_t－1，X_t－2，X_t－3，…，X_t－n的线性组合，再加t时刻的白噪声ε_t，则可用AR模型描述。数学表达式为：

式中，常数n为模型阶数，a₁，a₂，…，a_n为参数；ε_t为白噪声。AR模型的物理意义是任一时刻的X_t值，可由该时刻以前的各个值X_t－1，X_t－2，…的加权和再加上白噪声ε_t来表达。

（2）滑动平均模型（MA模型）

如果平稳随机序列任一时刻t的数值X_t可表示为此时刻白噪声ε_t，与此前几个时刻的白噪声ε_t－1，ε_t－2，…，ε_t－m的加权平均之差，则可用MA模型描述。数学表达式为：

当n＝1时，其物理意义是：输出的X_t由输入白噪声ε_t，加上ε_t的一次时迟，乘以放大系数b₁的负前馈组成。

（3）混合模型（ARMA模型）

ARMA模型实际上是AR与MA两种模型的混合，数学表达式为：

2．2　时间序列数据处理建模技术

在许多工程问题中，由量测直接得到的随机序列并不平稳，而呈现某种趋势。对于非平稳随机序列可做适当阶数差分处理，把它变为平稳的随机序列，然后建模。一个非平稳随机序列，往往可以分解为一个线性或缓慢变化的非平稳趋势项、一个周期项与一个平稳随机序列项（余宏明等，1992年，1995年，1997年）。一般来说，线性时间序列的建模方法有Box的从统计观点出发，以相关分析为基础来实现的相关法和美国威斯康辛大学吴贤铭教授提出的从分析系统特性出发，采用ARMA（n，n－1）的模型形式的系统法。前者是通过预处理实现数据平稳化，再以相关的分析来选择模型形式，在计算机实现过程中进行人工干预；后者是先对数据建立ARMA（n，n－1）模型，再通过对系统特性的分析，进一步简化模型形式，便于在计算机上实现。简而言之，一个是先处理，后建模，一个是先建模，后处理。

由于MA模型或ARMA模型在参数估计时必须做非线性迭代，计算时间长，同时考虑到3种模型间有相互转换关系，研究中参照Box建模方法选择了较为简便的AR（n）模型。其主要优点是建模快，计算速度高。参数估计采用Burg算法，即采用双向（正、反向）预测误差平方和为最小来估计模型参数。该法从一阶模型开始逐步增加阶数，寻求最优解。

3　响应面法处理技术

响应面法是统计学的综合试验技术，用于处理复杂系统的输入（随机变量）与输出（系统响应）的转换关系问题。通过采用一个适当的修匀函数来近似地表示一个未知函数的显示关系。它与常规数理统计的明显区别在于，当不了解数据集趋于何种曲线时，可对所有数据进行整体拟合。对于岩土工程监测信息（如围岩位移或应力），可用适当的修匀函数来拟合，使得在所求区间内，用修匀函数近似地代表真实的响应函数。

式中，Y为响应值；X₁，X₂，…，X_n为不定性参数。

在响应面法中，计算点的设计和修匀函数的估计是两个需要解决的问题。前者是在统计因子（参数）空间给出最佳点的位置，后者则是利用计算点的影响值Y和参数X₁，X₂，…，X_n来计算修匀函数f（X）的函数。计算点设计的方法很多，如正交设计、二级数因子设计和中心混合设计等。计算结果表明，响应面法能更准确地反映位移—时间关系，其预测结果与原始序列间的拟合程度要比回归分析法高。

4　基于灰色系统理论的处理技术

灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授1982年创立的一门新兴横断学科，它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发、提取有价值的信息，实现对系统运行行为的正确认识和有效控制。贫信息不确定性系统的普遍存在，决定了这一理论具有十分广阔的应用和发展前景。目前，灰色系统理论不仅在理论上迅速发展，日臻完善，而且在社会科学、自然科学的许多方面得到日益广泛和深入的应用，取得了一系列重大成果。地下工程监控量测是新奥法的重要内容，围岩变形是岩土体在自然和人类地质工程活动影响下的具体反映。由于地下工程围岩—支护系统是一个复杂的、开放的巨系统，决定了监控量测信息只是岩土体变形发展过程中某一阶段的部分信息，应用灰色系统理论可解决围岩变形信息的模拟和预测问题。目前，灰色系统理论在岩土工程领域的许多方面已得到广泛应用，并取得了系列成果，但在地下工程中的应用成果尚少。从隧道工程监测以及应用灰色系统理论处理围岩变形信息实践中发现，根据围岩变形特征，选择应用合适的线性—非线性GM模型及灰色优化模型可获得精度较高的模拟和预测值。

4．1　灰色模型建模机理及数据处理

设原始数据列x^（0）＝（x^（0）（1），x^（0）（2），…，x^（0）（n）），（x^（0）（k）≥0，k＝1，2，…，n）x^（0）的一次累加（1-AGO）序列x^（1）＝（x^（1）（1），x^（1）（2），…，x^（1）（n）），x^（1）的紧邻均值生成序列z^（1）＝（z^（1）（2），z^（1）（3），…，z^（1）（n）），其中

为非线性GM模型，且

①当实数α＞0时，称为一般非线性GM模型。

②当实数α＝0时，称为线性GM模型。

③当实数α＝2，b＜0时，称为Verhulst灰模型。

为GM（1，1）灰色微分方程的白化方程，模型参数＝（a，b）^T的最小二乘估计满足＝（B ^T B）^－1 B ^T Y，其中，

方程的解

对应GM（1，1）灰色微分方程的时间响应序列为：

对模型值进行累减运算的原始序列值为

为DGM（2，1）灰色微分方程的白化方程，模型参数a^＾＝（a，b）^T的最小二乘估计满足a^＾＝（B^T B）^－1 B ^T Y，其中

方程的解

对应DGM（2，1）模型的时间响应序列为

为灰色Verhulst模型的白化方程，模型参数＝（a，b）^T的最小二乘估计满足1＝（B ^T B）^－1 B ^T Y，其中

方程的解

对应Verhulst模型的时间响应序列为

GM（1，1）模型多适用于位移呈低增长的指数序列，只能描述单调的变化过程，对隧道围岩变形的计算模拟精度不高；DGM（2，1）模型不同于GM（1，1）模型，它不仅适用于描述单调的具有较强指数规律的变化过程，而且适用于非单调的摆动发展序列；Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即“S”形过程。由方程的解可以看出，当t→∞时，若a＞0，则x^（1）（t）→0；若a＜0，则x^（1）（t）→a/b，即有充分大的t，对任意的k＞t，x^（1）（k＋1）与x^（1）（k）充分接近，此时x^（0）（k）＝x^（1）（k）－x^（1）（k－1）≈0，系统趋于死亡。

4．2　灰色优化模型建模机理及数据处理

GM（1，1）模型的拟合和预测精度取决于常数a和b，而a和b的求解依赖于背景值Z^（1）（k＋1）的构造形式。用均值生成z^（1）（k＋1）代替背景值，当时间间隔很小，序列数据变化平缓时，这样构造的z^（1）（k＋1）是合适的，模型偏差较小。但当序列数据变化急剧时，构造出来的z^（1）（k＋1）往往产生较大的滞后误差，模型偏差较大；当GM（1，1）模型的参数a满足非常小时，用均值生成z^（1）才合理，模型预测精度才高；当－a＞1时，不宜采用GM（1，1）模型。

在灰色模拟预测中，应用最广泛的是灰色GM（1，1）模型。由于创建GM（1，1）模型时，引入了等时距概念，因而使用GM（1，1）模型的前提条件是建模序列必须满足等时距（或等间距）的要求。在岩土工程领域，往往存在非等间距的监测时序问题。曾有学者将非等间距序列先做等间距处理后再使用GM（1，1）模型，处理结果往往表现出较大的近似性；或从GM（1，1）模型建模原理出发，直接采用非等间距序列建立非等间距GM（1，1）模型，虽然精度较高，但计算复杂。基于优化灰色模型背景值z^（1）（k＋1）构建的GM（1，1）灰色优化模型，不仅表达形式简洁、计算简单、适应性强，而且克服了传统GM（1，1）模型对高增长数据序列模拟精度不高及对非等间距序列适用性差的弱点，对提高传统GM（1，1）模型的精度及其适应性，具有非常重要的理论价值和实践意义。

图2　z^（1）（k＋1）构造示意图

从式（6）可以看出，z^（1）（k＋1）是x^（1）（k）与x^（1）（k＋1）的平均值，可以看作是［k，k＋1］区间上梯形abcd的面积（如图2所示）。因GM（1，1）模型拟合曲线是指数曲线，在［k，k＋1］区间上指数曲线x^（1）（t）对应的曲线面积总是小于梯形abcd的面积。序列数据变化越大，模型误差ΔS越大。因此，可以把［k，k＋1］区间划分成n个小区间，消减数据序列的变化速度，用n个小区间的梯形面积代替实际的曲线面积，提高背景值z^（1）（k＋1）的精度。从理论上分析，应该存在一个最优的n值（可以不是整数），使得这n个小区间的面积和等于或非常接近于实际指数曲线在［k，k＋1］区间上对应的面积，以与此对应的n个小区间的面积之和作为z^（1）（k＋1），使GM（1，1）模型偏差最小，模拟和预测精度最高。以优化z^（1）（k＋1）为基础构建的灰色优化模型，即能适用于低增长序列，又能适用于高增长序列，提高了GM（1，1）模型的精度和适应性。从灰色优化模型的建模机理可以看出，背景值z^（1）（k＋1）与n值直接相关，n值的变化与数据序列有关。所以，GM（1，1）灰色优化模型z^（1）（k＋1）值不受数据序列间距大小的影响或影响较弱，可用于非等间距隧道围岩位移的模拟预测。

一般地，n等分区间［k，k＋1］时，n个小区间面积之和为

令

则

可以看出，n值的确定是建立灰色优化模型的关键。文献构造了一个确定等分数n的经验公式，即

式中，N为序列长度（原始建模数据个数）

显然，n值与建模序列长度N和1-AGO序列x^（1）（k）有关。

5　基于混沌相空间重构的处理技术

预测的基本问题就是要依据事物的自身发展变化规律来揭示并推断它的未来。由于地下工程的复杂性和影响因素的非线性，迄今为止还没有充分精确的动力学模型和数理统计方法来预测地下工程围岩的变形位移。

混沌是确定非线性动力系统中出现的貌似无规则的、类似随机的现象，它揭示了隐藏在无序和复杂表象背后的有序和规律。近年来，随着混沌动力学的发展，人们对时间序列的复杂性有了新的认识。混沌理论认为：动力系统随时间的变化不仅受外在随机因素的影响，更重要的是由系统内在的动力特性所决定。由Farmer D．J等提出，Takens用数学为之奠定了坚实基础的重构相空间方法为时间序列的预测提供了一条新的途径，它打破了人们通常认为的单变量位移时间序列只能提供系统十分有限信息，不能反映复杂体系的“一维”观点。实际上，地下工程围岩变形位移时间序列本身包含着比人们想象的远为丰富的信息，蕴藏着参与围岩变形动态过程的全部其他变量的痕迹，它是围岩变形动态的综合反映。因此，通过地下工程围岩变形位移时间序列的混沌相空间重构，可为地下工程围岩稳定性预报提供重要信息。

5．1　混沌相空间重构

混沌动力学研究表明，对于决定系统长期演化的时间序列，均包含了系统所有变量长期演化的信息。时间序列的复杂特征是混沌系统所产生的某一特定轨迹（混沌吸引子）经过类似拉伸和折叠后演化的结果。设地下工程围岩变形位移实测时间序列｛U（t_i），i＝1，2，…，n｝，其采样时间间隔为Δt，重构相空间为：

式中，m为嵌入维数；τ为延迟时间；U（t_i）为m维相空间中的相点；n为相点个数，n＝N－（m－1）τ。集合｛U（t_i），i＝1，2，…，n｝描述了系统在相空间中的演化轨迹。按照Takens的观点，只要嵌入维数m以及时间延迟τ选择恰当，重构相空间在嵌入空间的“轨线”就是微分同胚意义下的原系统的“动力学等价”。因而存在一个光滑映射f∶R^m→R^m，使得

这样的f在理论上是唯一的。在工程实践中，f是由有限的观测数据构造映射∶R^m→R^m，使得充分接近f。

5．2　基于相空间重构的预测方法

（1）全域法

全域预测法是指对重构相空间中的所有状态，拟合一个光滑函数或m维超曲面∶R^m→R，使得［u（t＋1＋（m－1）τ）－（u（t）），…，u（t＋（m－1）τ）］²达到最小，其中n由有限数据确定。

利用最小二乘法C＝（B ^T B）^－1 B ^T Y，求得a，b，c的值，进而对u（t＋1）做出预测。

（2）局域法

局域法不是对m维嵌入空间的所有状态点进行拟合，而只是在n个状态点中挑选出与需要预测的状态点邻近的k个点：U₁，U₂，U₃，…，U_k来拟合函数，拟合函数可以是非线性的，也可以是线性的。在局域法中最常用的是一阶近似。设相空间轨迹在某一预测状态中心点U（t_n）的某一邻域内满足式U（t_n＋1）＝a＋b U（t_n），如果该邻域内有k个参考点，则利用最小二乘法求得a，b，便可以得到预测表达式。设

U（p）＝a＋bU（p－1）

U（q）＝a＋bU（q－1）

…

U（k）＝a＋bU（k－1）

其中

写成矩阵形式

利用最小二乘法C＝（B ^T B）^－1 B ^T Y，求出a和b，便可得到预测表达式。

在这个过程中，最重要的问题是如何确定参考点的个数k，太多的点通常是不必要的，甚至会影响预测效果，一般来说取k＞m＋1。一阶近似的缺点在于它是线性的，其优点是要拟合的参数随嵌入维数的增加而缓慢增加，增加局域预测的阶数可以增加预测的精度。

5．3　混沌重构相空间—灰色DGM最优组合模型

设u₁是混沌重构相空间模型（全域法或局域法）预测值，u₂是灰色DGM（2，1）模型预测值，u_c是最优组合模型预测值，预测误差分别为e₁，e₂和e_c，取ω₁和ω₂是相应权系数，且ω₁＋ω₂＝1。有

则误差及方差分别为：

e_c＝ω₁ e₁＋ω₂ e₂

关于ω₁对Var（e_c）求极小值可得：

因为ω₁＋ω₂＝1，可取协方差cov（e₁，e₂）＝0，记Var（e₁）＝δ₁₁，Var（e₂）＝δ₂₂，则组合预测权系数

则

为最优组合模型预测值。

以某地下工程典型断面1～16 d的周边收敛位移为原始数据序列，以1～14 d的实测位移数值为依据，分别建立混沌重构相空间（全域法和居域法）、灰色DGM（2，1）及二者优化组合模型，预测数据序列第15，16 d的位移，并与实测值加以对比，分析其模拟计算和预测精度。同时，对数据序列第17 d的未知位移做出预测。

定义相对误差为

综合误差为

式中，为预测值；u（t）为实测值。

各模型的计算结果如图3所示。可以看出，各模型计算预测的平均相对误差和综合误差分别为：全域法，0．153 8%和2．386 6%；局域法，0．083 7%和1．602 0%；灰色DGM（2，1）模型，0．923 8%和5．198 7%；组合（全域法＋DGM）模型，－0．024 2%和2．220 3%。全域法和局域法模型利用了单变量位移时序的相空间重构信息，具有较高的拟合和预测精度，其中局域法的综合误差最小，精度最高，但计算较为复杂，实用性较差。组合模型（全域法＋DGM）的综合预测误差比全域法和灰色DGM模型都小，精度也很高，能很好地模拟预测地下工程围岩的动态变形特征，可为地下工程信息化施工提供更加准确的信息。该地下工程围岩实际变形动态特征证明，组合（全域法＋DGM）模型的预测结果不仅符合实际，而且具有很高的拟合预测精度。

图3　围岩收敛及预测位移—时间特征

6　神经网络处理技术

6．1　神经网络数据处理模型构造

设时间序列｛x_i｝是一个i∈z的实值随机过程，其中z表示整数集。从科学方法论的角度来看构造模型的方法有唯理方法和唯象方法。唯理方法着重于揭示支配事物生成的动力系统。规律的彻底揭示需要对其物理基础的彻底了解，如物理学中的许多定律。但当基础理论不存在或相差甚远时，若对事物了解仅限于观察数据，那只能利用现有的历史数据去构造模型，进而去推测未来，这就是所谓唯象方法。可见唯象方法是对历史数据变化规律的一种探索。从隧道围岩位移的演化特征来看，围岩位移预测就是一种唯象方法。

采用唯象方法构造模型时，需采用以下步骤：

①识辨、观察数据的重要特点。

②构造一个先验时间序列模型，使其尽可能地与背景理论相符。

③检查所构造模型是否合理。

④模型的特性、能力及其能否进一步改进。

上述4个步骤的建模过程，就是一个模式的选取过程，而这一过程的实质就是一个模式识别过程。神经网络在模式识别领域中已得到了广泛的应用，利用神经网络建立非线性预测模型不仅是可能的，而且是恰当的。神经网络中权系数的确定相当于传统非线性时间序列模型的参数确定。隧道工程位移处理、预测的BP模型由3部分组成，即输入单元、输出单元和隐层单元。

隧道围岩位移的演化特征可用式（31）表示：

式中，i＝1，2，…，n；n为所要推广预测的位移时步数；p为推广预测的一个位移时步数所需的其前面的位移时步数。

式（31）表示第i＋p个记录为其前面p个历史记录的函数，通过对前p个记录的某种组合运算，可推出第p个记录的值。由于选择不同的p值将会影响建模的预测效果，因此，如何选择一个合适的p值是十分重要的。到目前为止，p值都是凭经验选取的，一般并没有分析p值的大小对建模的影响。

神经网络预测的优点在于：

①统时序分析方法一般需要数据具有二阶稳性，而神经网络法并不需要这一假设。

②神经网络本身所具有的泛化能力，可对输入样本在一定范围内的噪声自适应。

BP网络的学习效果和预测精度很大程度上依赖于网络的构造，所以并非所有BP网络都能成功地学习一个给定的任务，它的主要缺点是：

①收敛速度慢。

②局部极值。

③难以确定隐层和隐结点的个数。

④在网络训练阶段，有时会出现一种“过训练”现象，如果把学习过程看作是一个曲线拟合过程，推广则相当于非线性内插，经过正确训练的网络，即使训练样本有一点误差，也可对未出现的输入给出正确反应；但如果学习了过多的特殊样本，且过分追求训练集内误差小，就会丧失推广能力。

在隧道工程围岩位移预测的实际应用过程中，采用了动量法和学习率自适应调整策略，对BP算法进行了改进，以提高学习速率、增加算法的可靠性；为克服“过训练”现象，程序设计时采用了最优学习算法，将位移时间序列构成的样本分成两组，一组为学习样本，另一组为测试样本，学习样本用于训练网络，测试样本用于对训练好的网络进行测试，并将此测试样本的误差作为评价网络性能好坏的标准。

7　结　论

隧道工程监测信息的采集与处理是一个开放的、复杂的系统。数据处理方法很多，如何正确、合理选择最佳的数据处理方法，既要考虑到监测数据的特点，又要考虑到不同处理方法的优点和不足。