平面光波导

纵向分界面是平面的均匀光波导称为平面光波导或薄膜光波导。平面光波导在激光器中用作谐振腔，因此，对平面光波导的研究有重要的实际意义。为简单起见，取两个分界面为无限大平面，折射率为

图4.2.1　平面光波导横截面形状示意图

如图4.2.1所示，＜a的区域称为芯层，＞a的区域称为包层。这种平面光波导称为对称平面光波导或对称薄膜光波导，它的三个基本性质是：

（1）由于两个分界面为无限大平面，图中的y方向与z方向没有区别，一个模式可以沿y方向传输，也可以沿z方向传输，两个方向都可能是纵向。也就是说，若一个模式沿z方向传输，则其模式的场量与y无关，即有

（2）由于模式场中只含一个横向变量x，式（4.1.2）化为

（3）而式（4.1.3）化为

1.平面光波导可能存在的模式

将et＝ex＋ey，ht＝hx＋hy代入式（4.2.3），得到下列两个标量方程组：

和

其中，式（4.2.4）是关于ey，hz，hx的方程组，式（4.2.5）是关于ex，ez，hy的方程组，所以，式（4.2.4）的解属于TE模，而式（4.2.5）的解属于TM模。

对于上述TE模，ez＝0，et＝ey，ht＝hx。同时，由式（4.2.4）得

所以，这种TE模只有三个非零分量ey，hx，hz。只要求得了ey，其他两个分量就可得到。要得到ey，只需解式（4.2.2）的第一个方程：

这是一个二阶常系数齐次常微分方程，其解应满足x→±∞时ey→0的条件。因此，按照微分方程理论，在芯层内，系数－β2＞0，方程有余弦函数和正弦函数的解，分别是TE偶模和TE奇模；在包层内，系数－β2＜0，方程有形如指数函数的解。方程（4.2.7）的TE偶模解是

TE奇模解是

其中，b1，b2，b′1，b′2是待定常数。同理，TM模只有三个非零分量ex，ez，hy，也有奇模和偶模，其表示式与TE模相似。

2.特征方程

根据2.1节所讲，电磁场介质边值关系式（2.1.31）和式（2.1.32），ey和hz在边界上连续。在式（4.2.8）和式（4.2.9）中，令x＝a，得

令

定义

显而易见，U与波导芯层中的横向传播常数有关，称为芯层中的径向相位常数，W与波导包层中的横向传播常数有关，称为包层中的径向相位常数。用式（4.2.12）除式（4.2.13），得

上式称为对称薄膜波导中TE偶模的特征方程。同理，可得对称薄膜波导中TE奇模的特征方程

相应地，U与W统称为模式的特征参量或特征参数。以上两式都是超越方程。一般说来，超越方程只能用数值法求近似解，但对称薄膜波导的特征方程可以用图解法求近似解。将式（4.2.16）写成

取U为横轴，W为纵轴做一个直角坐标系，如图4.2.2所示。在此坐标系内，上式左边函数的图线是Utan U，右边函数的图线是以坐标原点为中心，以V为半径的圆，两个函数图线的交点就是式（4.2.18）的解。

图4.2.2　对称薄膜波导的特征方程图解法

由图可见，波导中可传播模式的数目完全由参数V，也就是图中的圆半径决定。参数V越大，圆半径越大，它与图线Utan U的交点就越多，波导中可传播模式的数目就越多。由定义式（4.2.15）可知，参数：

由波导的结构参数a，n1，n2和波长λ＝2π／k决定，与波的频率ν成正比，是一个无量纲的量，称为波导的归一化频率。上式中的u是介质中的波速。若将波导的几何尺寸归一化，即令ρ＝，则方程式（4.2.7）化为

其解是

若取ρ＝1时ey＝1，则b1＝cos U，b2＝eW。

对TE奇模和TM模也可做与以上类似的讨论。

3.截止条件

式（4.2.21）第二式表明，场量ey在包层内指数衰减，也就是说，电磁波只存在于包层内界面附近的薄层内。波导中的这种模式称为导波模。如果把波振幅衰减到初始值的1／e时的透射距离称为穿透深度，记作δ，则δ＝。由式（4.2.15）和式（4.2.19）可知，随着频率ν变小，归一化频率V变小，U和W变小。当W→0时，穿透深度δ→∞，电磁波的能量耗散于广大的空间，不再沿着波导传输。这种模式称为辐射模，产生辐射模的现象称为模式截止，W＝0称为截止条件。

由图4.2.2可知，W＝0时，特征方程式（4.2.16）和式（4.2.17）的解是

m是模式序号。m＝0的模式称为基模，它的截止频率V＝0，这说明基模不会截止。m≠0的模式称为高阶模，当V≤mπ时高阶模截止。

由于基模不会截止，当0＜V＜π／2，只有基模在波导中传输。这种状态称为波导的单模传输。事实上，这时除了TE单模，还有TM单模在波导中传输。所谓单模传输，是就TE模或TM模而言。

单模传输的概念对任意光波导都适用。通常把用于单模传输的光纤称为单模光纤，把用于多模传输的光纤称为多模光纤。由式（4.2.19）可知，这种区分包含两方面的含义。对于给定的光纤结构，模式数取决于频率（或波长），低频传输时的单模光纤用于高频传输时模式增多。对于一定的频率，尺寸大或介质折射率差大的光纤中可传输的模式多。所谓多模光纤，主要是指后一种含义。例如，标准的G.652单模光纤的截止频率为1 270nm，虽然当它用于850nm波长时有多个高阶模存在，但比通常所说的多模光纤中的模式要少得多，称为少模状态。而且，截止频率附近的高阶模的很大一部分能量透射到包层中去了，实际意义不大。如果包层中的损耗不大，这些高阶模也可以传得很远，称为包层模。4.远离截止频率的情形

图4.2.3　U＝f（V）函数曲线图

将TE偶模的特征方程（4.2.16）式代入式（4.2.15），得

由于特征参数是一个有限值，当V→∞时，有cos U→0，即U→（m＋1／2）π。同理，对于TE奇模，当V→∞时，U→mπ。这就是说，对于一定的模式，当V远离截止频率时，特征参数趋于一个确定值。U＝f（V）的函数曲线如图4.2.3所示。