平面简谐波的波动方程

作简谐振动的波源在介质中形成的波称为简谐波，它是最基本、最简单的波。一切复杂的波均可看成若干简谐波的叠加。

一般而言，波线上的质点离开各自平衡位置的振动位置不仅与空间有关，而且与时间有关。描述质点振动位置随空间和时间变化的关系式称为波函数，通常也称为波动方程。为简单起见，本节只讨论平面简谐波的波动方程。

1．波动方程的推导

在平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻各点的振动相位一般不同，它们的振动位移一般也不相同，但根据波面的定义知，在任一时刻处在同一波面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。因此，只要研究与波面垂直的任意一条波线上波的传播规律，就可知整个波的传播规律。

设一平面简谐波在无限大无吸收的均匀介质中沿x轴正向传播，波速为u，在x轴上任选一点O作坐标原点，如图13－2－1所示。设O点处的质点在t时刻的振动方程为

图13－2－1 波在x轴上传播

由于B点为波线上的任意一点，所以上式代表了介质中任意质点的振动方程。此方程反映了波场中所有质点振动位置随空间和时间的变化关系，因此是沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程。式（13－2－1）称为平面简谐波波动方程的一般形式。

沿x轴正向传播的平面简谐波，对于x＞0的质点，很显然其振动相位比原点的要落后；对于x＜0的质点，因波沿x轴正向传播，它们的相位较原点超前。

如果平面简谐波是沿x轴负向传播的，设位于坐标原点处质点的振动方程为

此式就是沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程。类似地，该方程的其他几种形式为

沿x轴负向传播的平面简谐波，x＞0的质点的振动相位比原点的要超前，x＜0的质点的振动相位较之原点落后。

通过对于平面简谐波的分析可知，任意时刻波场中各点处的质点的振动有如下特点：振幅均为A（无吸收）；振动的角频率仍为ω；沿着波的传播方向，各点的振动相位依次落后。

2．波动方程的物理意义

为了进一步理解平面简谐波波动方程的物理意义，下面分三种情况来讨论。

（1）当x为常量时（即在波线上取一定点），则位移y仅是t的函数。由式（13－2－1）可得

（2）当t为常量时，则位移y仅是x的函数。将t＝t0代入式（13－2－1），得

t固定，y随x而变，此时的波动方程表示在给定的t时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即t时刻的波形，如图13－2－2所示。

（3）当x、t都变化时，波动方程既是x的函数，又是t的函数，表示在各时刻所有质点振动位置的分布。图13－2－3中的实线为t时刻的波形曲线，虚线为t＋Δt时刻的波形曲线。由图可见，在Δt时间内，波形曲线沿波的传播方向移动了uΔt的距离。因此波动方程反映了波形的传播，它所描述的波称为行波。

图13－2－2 平面简谐波的波形

图13－2－3 平面简谐波的波形的传播

图13－2－3给出的是沿x轴的正方向传播的波形不断向右推进的图像。如果波沿x轴的负方向传播，波形将向左不断推进。在Δt时间内，波形沿波的传播方向推进uΔt的距离，则在一个周期（整数倍周期）时间内，波形推进的距离就是一个（或几个）波长λ。所得到的波形将会是虚线波形与实线发生重合，即波线上每一个质点完成一次全振动，t＋T时刻的振动状态与t时刻的振动状态相同。

【例13－1】 如图13－2－4所示，有一平面简谐波以速度u沿x轴正向传播，已知P点（距原点距离为a）的振动方程为

求其波动方程。

图13－2－4 例13－1图

【例13－2】 某横波的波动方程为

求：

（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；

（2）x＝2m处质点的振动方程及初相；

（3）x1＝0．2m及x2＝0．35m处两质点振动的相位差。

解 （1）将波动方程

故

（2）将x＝2m代入波动方程，即可得到该点的振动方程为

故该质点的初相为－10π。

（3）由波动方程知，x1＝0．2m处质点振动的相位为

x2＝0．35m处质点的振动相位为

所以x1、x2两点之间的相位差为