电阻的形连接与△形连接的等效变换

前面介绍了电阻串联、并联、混联的分析方法，但是在电路中，电阻的连接有时既不是串联也不是并联，而是三个电阻元件首尾相连，连成一个三角形，如图2.2.1（a）所示；或是三个电阻元件的一端连接在一起，另一端分别连接到电路的三个节点，如图2.2.1（b）所示。图2.2.1（a）所示连接方式称为三角形连接，简称△形连接；图2.2.1（b）所示连接方式称为星形连接，简称Y形连接。

图2.2.1　电阻的Y形连接与△形连接

电路中出现电阻的Y形连接或△形连接时，就不能用简单的串、并联来等效。但是，电阻的Y形连接和△形连接是可以等效变换的。根据等效网络的定义，在如图2.2.1所示的Y形网络与△形网络中，若电压U12、U23、U31和电流I1、I2、I3都分别相等，则两个网络对外是等效的，据此可导出电阻Y形连接与△形连接之间的等效关系。由于推导过程较为烦琐，在此不再赘述，直接给出相关公式。

以图2.2.1为例，若将电阻△形连接变换为Y形连接，其等效变换公式为

若将电阻的Y形连接变换为△形连接，其等效变换公式为

为便于记忆，可将上述公式用文字表述为

若Y形连接的三个电阻相等，即R1＝R2＝R3＝RY，则等效互换为△形连接的电阻也相等，R12＝R23＝R31＝3RY。

反之，若△形连接的三个电阻相等，即R12＝R23＝R31＝R△，则等效互换为Y形连接的三个电阻也相等，R1＝R2＝R3＝RY＝R△。

电阻Y形连接有时也可以画成图2.2.2（a）所示形式，称为T形电路，电阻△形连接画成图2.2.2（b）这种形式，称为П形电路，其分析方法完全一样。

图2.2.2　T形电路与П形电路

Y形网络与△形网络的等效互换，在后面的三相电路中有着重要的应用。

【例2.2.1】　如图2.2.3（a）所示桥式电路，求ab两端的等效电阻Rab。

图2.2.3　例2.2.1的图

【解】　将图2.2.3（a）中1Ω、2Ω、3Ω构成的△形网络用等效Y网络代替，相应的等效电路如图（b）所示，应用式（2.2.2），得

然后用电阻的串、并联方法求得

【例2.2.2】　在如图2.2.4（a）所示电路中，已知R1＝10Ω，R2＝30Ω，R3＝22Ω，R4＝4Ω，R5＝60Ω，US＝22V，求电流I。

图2.2.4　例2.2.2的图

【解】　这是一个电桥电路，既含有△形电路又含有Y形电路。如图（b）所示，先将△形连接的R1、R2、R5化为Y形连接的Ra、Rb、Rc。应用式（2.2.2），得

再用串、并联的方法求出等效电阻

则电流