地基附加应力

由于天然地基的自重应力早已存在，一般情况下，自重应力作用下的地基变形早已完成，只有建筑物荷载引起的附加应力才能导致地基发生新的变形。因此，地基附加应力主要是由外加荷载引起的应力增量。计算地基附加应力时，假定基础土是一个各向同性的、均匀的线性变形体，在深度和水平方向上无限延伸，即基础被认为是均匀的线性变形半空间，我们可以在弹性力学中采用弹性半空间理论推导。

1）单个竖向集中力作用

如图3-9所示，在半无限弹性地基表面上作用一竖向集中力F时，半空间内任一点M（x，y，z）将产生应力和位移，此产生的应力增量即为附加应力。如图3-9，将集中力作用处作为坐标原点，根据弹性力学解析，推导出空间任一点M（x，y，z）处单元体上6个应力及3个位移表达式：

图3-9　竖向集中力作用下的附加应力

式中：σx、σy、σz——M点平行于x、y、z正应力；

τxy、τyz、τzx——剪应力；

u、v、w——M点沿x、y、z轴方向的位移；

R——集中力作用点至M点的距离；

θ——R线与z轴的夹角；

r——集中力作用点与M点的水平距离；

E——土的弹性模量（或土力学中专用的地基变形E0）；

μ——土的泊松比。

上述式（3-9）～式（3-14）是求解地基附加应力的基本公式；式（3-15）～式（3-17）是求解地基位移的弹性力学公式。由公式可见，M点处的附加应力只与集中荷载P的大小和位置相关，而与弹性模量E和泊松比μ无关，即与土的性质无关。但位移表达式中涉及弹性模量E和泊松比μ，则与土的工程性质密切相关。本节只讨论和应用附加应力基本公式。

这里需要注意的是，若R→0，上述公式计算的结果将趋于无穷大，此时地基土已产生了塑性变形，不再满足弹性理论的基本假设。因此，所选择的计算点不宜过于接近集中力的作用点。

以上6个应力分量的公式中，在工程实践中应用最多的是竖向法向应力σz，为了方便计算，可将代入式（3-9），则

其中，被称为集中力作用下的地基竖向应力系数，简称集中应力系数，无因次，是r/z的函数，由表3-1查得。

表3-1　集中荷载作用下地基竖向附加应力系数

【例3-2】　在地表面作用一集中力F=200kN，试求：

（1）地面下深度z=3m处水平面上的附加应力σz分布，并绘制出分布图。

（2）在地基中距F的作用点r=1m处竖直面上的附加应力σz分布，并绘制出分布图。

【解】　各点的附加应力σz可按公式（3-18）计算，并列于表3-2及表3-3中，同时绘制出的分布图如图3-10所示。

图3-10　竖向集中力作用下土中σz

表3-2　z=3m处水平面上附加应力σz计算

表3-3　r=1m处竖直面上附加应力σz计算

由例3-2可知，竖向集中应力F作用下的地面其附加σz分布规律是由地基中向四周无限传播且应力强度越远越小。

（1）距离地面越深，附加应力的分布越广。

（2）在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小。

（3）同一竖向作用线上的附加应力随深度而变化。

（4）在集中作用线上，当z=0时，σz→∞，随着深度增加，σz逐渐减小。

（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩散）。

2）多个集中力及不规则分布荷载作用

如图3-11所示，如果在地面有几个集中力作用时，则可运用式（3-18）求出每个集中力Fi对M点所引起的附加应力σz，利用叠加原理求出所有集中力在M点的总附加应力。即

图3-11　多个集中力作用下的附加应力

在实际工程应用中，当基础底面局部分布荷载的平面形状或分布规律不规则时，可将基底划分为若干个小面积单元（如图3-12），将每个单元上的分布荷载视为集中力，这样就可以利用式（3-19）计算地基中某点M的附加应力。这种方法称为等代荷载法，该方法的计算精度取决于划分的单元面积的大小。如果计算的矩形单元面积的最大长边小于计算面积形心到应力点距离的1/2、1/3或1/4时，所算得的附加应力与正确应力值相比，误差一般不大于6%、3%或2%。

图3-12　等代荷载法计算σz

1）均布矩形面积荷载作用

如图3-13所示，假设地基为半无限弹性体，面上作用一分布荷载p（x，y），则作用在微元面积dA=dξdη上的分布荷载可作为集中力dF=p（x，y）dξdη来看待，在荷载面积A范围内积分可得σz的表达式为

图3-13　分布荷载作用下土中应力计算

公式（3-20）积分后结果比较繁杂，但都是l/b、z/b（z/r0）等的函数。可以简化为

σz=αp0　　（3-21）

式中：p0——作用于地基上的竖向荷载；

α——附加应力系数，根据l/b、z/b（z/r0）查表即可得到。

如图3-14所示，设基础长度为l、宽度为b，当l/b<10时，其地基附加应力计算问题属于空间问题。作用于地基上的竖向荷载为p0，若取所计算的角点为坐标原点，则M点的坐标为（0，0，z），分布荷载p（x，y）=p0，以此代入式（3-20）积分可得矩形面积角点O下的附加应力σz为

图3-14　均布矩形荷载角点下的附加应力σz

σz=αcp0　　（3-22）

其中

αc为矩形均布荷载基底角点下的竖向附加应力分布系数，简称角点应力系数，可查表3-4得到。

如果M点既不在矩形面积的中心点以下，也不在矩形角点的下方，而是在地基中的任意点，如图3-15所示（M′点表示M点在荷载作用面上的水平投影，并表示任意深度z处）。此时若要求解点M的竖向应力σz，可以用式（3-22）按照叠加原理进行计算，这种方法通常称为“角点法”。

图3-15　以角点法计算均布荷载下的地基附加应力

（1）M′点位于矩形面积范围之内的下方

① 如图3-15（a）所示，将矩形abcd分解成以M′点为公共角点的4个新矩形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则M′点处的竖向应力可由4个新矩形荷载产生的应力分量叠加得到。

σz=（αcⅠ+αcⅡ+αcⅢ+αcⅣ）p0

② 如图3-15（b）所示，M′点在荷载面边缘时

αz=（αcⅠ+αcⅡ）p0

（2）M′点位于矩形面积范围之内的下方

① 如图3-15（c）所示，将荷载面扩大至bcef，荷载密度不变，在矩形abcd荷载作用下M点竖向应力分量为

σz=（αcⅠ-αcⅡ+αcⅢ-αcⅣ）p0

其中，荷载面（abcd）=面积Ⅰ（M′fbg）-面积Ⅱ（M′fah）+面积Ⅲ（M′ecg）-面积Ⅳ（M′edh）。

② 如图3-15（d）所示，M′荷载在角点外侧，有

σz=（αcⅠ-αcⅡ-αcⅢ+αcⅣ）p0

其中，荷载面（abcd）-面积Ⅰ（M′hce）-面积Ⅱ（M′fbh）-面积Ⅲ（M′edg）+面积Ⅳ（M′fag）。

应用角点法时需要注意的是，每个角点M′位于所划分的每一个矩形的公共角点，各分块的长边为l，短边为b。

表3-4　均布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数

【例3-3】　有均布荷载p=100kPa，荷载面积为2m×1m，如图3-16所示，求在面积上角点A、边点E、中心点O以及荷载面积外F点等各点下深度z＝1m处的附加应力σz。

图3-16　例3-3图

【解】　① A点下的附加应力

A点是矩形ABCD的角点，且m=l/b=2/1=2；n=z/b。查表3-4得α=0.199，故

σzA=αp＝0.199×100kPa=20kPa

② E点下的附加应力

通过E点将矩形荷载面积划分为两个相等的矩形EADI和EBCI。求EADI的角点应力系数α，。查表得α=0.175，故

σzE=2σp=2×0.175×100kPa=35kPa

③ P点下的附加应力

通过O点将原矩形面积分为4个相等的矩形OEAJ、OJDI、OEBK和OICK。求OEAJ角点的附加应力系数α，。查表得α=0.120，故

σzO=4αp=4×0.120×100kPa=48kPa

④ F点下的附加应力

通过F点作矩形FGAJ、FJDH、FGBK和FKCH。假设α1为矩形FGAJ和FJDH的角点应力系数；α2为矩形FGBK和FKCH的角点应力系数。

故

σzF=2（α1-α2）p=2（0.136-0.084）×100kPa=10.5kPa

2）矩形面积上三角形分布荷载作用

如图3-17所示，作用在矩形面积上的竖向荷载沿b边呈三角形分布，沿另一边l的荷载分布不变，荷载的最大值为p0，将荷载强度为零的角点1下深度z处的M点坐标为（0，0，z）则任一微面积上作用的微集中力为p（x，y）=xp0/b，根据基本公式（3-20），求得角点1下深度z处M点的竖向应力σz为

图3-17　三角形分布的矩形荷载

式中：应力系数αt1是l/b和z/b的函数，可从表3-5中查得。

同理，可求得荷载最大值边角点2下任意深度z处的竖向附加应力σz为

σz=（αc-αt1）p0=αt2p0　　（3-24）

式中：应力系数αt2可查表3-5得到。

表3-5　三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数αt1和αt2

【例3-4】　某条形地基如图3-18所示。基础上作用荷载F=400kN/m，M=20kN·m，试求基础中点下的附加应力，并绘制附加应力分布图。

图3-18　例3-4图

【解】　（1）基底压力计算

（2）基底附加压力计算

（3）基底中点下附加压力计算

将梯形的基底附加压力分解成一个矩形和一个三角形荷载：

分别查表3-4和表3-5，然后叠加，得到附加应力分布曲线（图3-19）：

图3-19　附加应力分布曲线

从中可以看出地基中附加应力的分布规律：

① 附加应力自基底起，随深度增加而减少。

② 附加应力不仅仅分布在基底范围内，而且分布在基底荷载面积以外相当大的范围之下，即附加应力具有扩散性。

③ 基底下任意水平面上，附加应力在基底中轴线上最大，距中轴线越远附加应力越小。

④ 方形基础引起的附加应力影响深度要比条形基础小得多，即方形基础附加应力的扩散现象要比条形基础的显著。

3）圆形面积上均布荷载作用

设圆形基础半径为r0，其上作用有均布荷载p0，如图3-20所示。在微小面积rdrdθ上的微集中应力为dFv=p0rdrdθ。若以圆心为坐标原点，得出圆心O点下深度z处的附加应力计算公式：

式中：α0——圆心下的附加应力系数，按z/r0查表3-6。

同理可得均布圆形荷载周边下的附加应力为

σz=αrp0　　（3-26）

式中：αr——均布圆形荷载周边下的附加应力系数，按z/r0查表3-6。

图3-20　均布圆形荷载中心下的σz

表3-6　均布圆形荷载中心及周边下的附加应力系数α0、αr

在半无限弹性体表面上作用无限长的条形荷载（基础长度比宽度大得多），且荷载沿长度方向的分布不发生变化的问题可视为平面问题。实际上将长宽比l/b≥10的矩形基础作为平面问题考虑，所产生的计算误差很小，能达到工程要求的精度。例如工程中墙基、路基、坝基、挡土墙基础等。

1）均布竖向线荷载作用

如图3-21所示，在半无限弹性体表面上无限长直线上作用竖向均布线荷载。竖向线荷载（kN/m）沿y轴均匀分布，则在微段dy上作用的集中力为dy=，从而可以利用式（3-9）求得地基中任意点M处的附加应力dσz：

图3-21　均布竖向线荷载作用

对上式进行积分得

从图3-21可知.cosβ=z/R1，sinβ=x/R1，R1=（x2+z2）1/2，则

同理可得

由于线荷载沿y轴均匀分布且无限延伸，因此与y轴垂直的任何平面上的应力状态完全相同。这种情况属于弹性力学中平面应变问题，此时

虽然线荷载只在理论上存在，但可以把它看作是条形面积的宽度趋于零时的特殊情况，以线荷载为基础，通过积分可求解各类地基中平面问题的附加应力。

2）均布条形荷载作用

如图3-22所示，设一条形荷载沿宽度方向均匀分布，则均布的条形荷载p0沿x轴上某微分段dx上的荷载，可以用线荷载代替，同时设该点与M点连线和竖线的夹角β，得

图3-22　均布条形荷载

将上式代入公式（3-27）中，则微分段dx的荷载在M点引起的附加应力为

那么在（β1，β2）范围内积分，地基中任意点M处的附加应力用极坐标表示如下：

上述各式中当M点位于荷载分布宽度两端点竖直线之间时，β1取负值，反之取正值。

将式（3-33）、式（3-34）和式（3-35）代入材料力学主应力公式，可得M点的大主应力σ1和小主应力σ3的表达式为

将β0作为M点与条形荷载两端连线的夹角时，有β0=β2-β1（当M点在荷载宽度范围内时β0=β2+β1），于是上式变为

可以看出，角β0的平分线即为最大主应力σ1的方向，与平分线垂直的方向就是最小主应力σ3的方向。

为了计算方便，还可以将上述σ2、σx和τxz三个公式，改用直角坐标表示。设条形荷载的中点为坐标原点，M（x，z）点的三个附加应力分量如下：

式中：m——计算点深度z与荷载宽度b的比值，即m=z/b。

n——计算点到荷载分布图形中轴线的距离x与荷载宽度b的比值，即n=x/b。

αsz、αsx和αsxz分别为均布条形荷载下相应的三个附加应力系数，可由表3-7查得。

表3-7　均布条形荷载下的附加应力系数

利用以上有关算式可绘出σz、σx和τxz的等值线图，如图3-23所示。

图3-23　地基附加应力等值线图

地基中附加应力的分布规律还可以用“等值线”表示，等值线图是同一应力的相同数值点的连线（类似地形等高线）。通过对条形基础和方形基础地基中附加应力等值线图进行分析，可得出均布矩形荷载下地基附加应力的分布规律如下：

（1）由图3-23（a）、（b）可见，在条形荷载和方形荷载宽度相同的前提下，方形荷载所引起的σz的影响深度要比条形荷载小得多。例如方形荷载中心下z=2b处σz=0.1p0，而在条形荷载下相同σz等值线则约在中心下z=6b处。

（2）由图3-23（c）、（d）可见，水平附加应力σx的影响范围较浅，所以，在基础下地基土的侧向变形主要发生于浅层；而τxz的最大值出现于荷载面积的边缘，因此位于基础边缘下的土容易发生剪切破坏。

（3）在荷载分布范围内任意点沿垂线的σz值，随深度呈曲线衰减。

（4）σz具有一定的扩散性。它不仅分布在基底范围内，而且分布在基底荷载面积以外相当大的范围之下。

（5）基底下任意深度水平面上的σz，以基底中轴线处的σz最大，距中轴线距离越远σz越小。

（6）方形基础引起的附加应力影响深度比条形基础小得多，也就是说方形基础附加应力扩散要比用条形基础的显著。

上面介绍的地基中附加应力的计算，都是按弹性理论把地基土当作均质、等向的线弹性体，而实际工程中，地基土并非上述假设的那样。因此，理论计算得出的附加应力与实际土中的附加应力相比有一定误差。大量试验研究结果表明，当土颗粒较细，土质较均匀，且压力不是很大的时候，采用上述方法计算的竖向附加应力σz与实测值相比，误差比较小；如果不符合这些条件会有较大的误差，此时应该考虑地基不均匀和各向异性对附加应力计算的影响。

成层地基可能会出现上层软下层硬或上层硬下层软的情况，上硬下软使得上层硬土较下层软土层的模量大，上软下硬使得上层软土较下层硬土层的模量小。现在简单介绍这两种地基土的情况。

1）上软下硬土层

研究表明，荷载中轴线附近，对于上软下硬情况［图3-24（a）］，上层软土中的附加应力σz将比均质半无限体时要大一些；离开中轴线，附加应力逐渐减小，当远至某一距离后，附加应力又略小于均匀土体情况的应力，即荷载中轴线附近下面的硬土层出现了“应力集中”现象。应力集中的程度与荷载面的宽度b、压缩土层厚度h以及界面上的摩擦力有关，随着h/b增大，应力集中现象减弱。

叶戈洛夫给出了竖向均布条形荷载下上软下硬土层沿荷载面中轴线上各点的附加应力计算公式，即

σz=αDp0　　（3-41）

式中：αD——附加应力系数，查表3-8。

图3-24　非均质地基对附加应力的影响

2）上硬下软土层

当成层土地基出现上硬下软情况时［如图3-24（b）］，因上层硬土较下层软土层的模量大，在荷载中轴线附近，上层硬土中的附加应力σz将比均质半无限体时要小一些；远离中轴线，附加应力逐渐增大，当远至一定距离后，附加应力又略大于均匀土体情况的应力，即荷载中轴线附近下面的软土层出现了“应力扩散”现象。如图3-25所示，σz随深度的增加迅速减小，曲线1表示均质地基情况；曲线2为上软下硬，σz产生应力集中现象；曲线3为上硬下软，σz产生应力扩散现象。

图3-25　双层地基竖向应力分布的比较

在坚硬的上层与软层下卧层中引起的应力扩散现象，随上层土厚度的增大而更加显著，它还与双层地基的变形模量E、泊松比μ有关，即随参数f的增加而显著。

为了计算简便，叶戈洛夫引出了不计上下界面摩擦力时，竖向均布条形荷载下，界面上M点的附加应力计算公式：

σz=αEp0　（3-43）

式中：αE——附加应力系数，查表3-9。

表3-8　附加应力系数αD

表3-9　附加应力系数αE

注：h为上层土的厚度；f的计算式见式（3-42）。