竖向集中力作用下的附加应力

1885年法国学者布辛奈斯克(J·Boussinesq)用弹性理论推出在半空间弹性体表面上作用有竖向集中力P时,在弹性体内任意点M所引起的应力的解析解。若以P作用点为原点,以P的作用线为Z轴,建立三轴坐标系,则M点的坐标为(x,y,z),M′点为M点在半空间表面的投影,如图3-8所示。

布辛奈斯克得出M点的σ与τ的六个应力分量表达式,其中,对沉降计算意义最大的是竖向应力分量σz,下面将主要介绍σz的公式及其含义。

σz的表达式为:

图3-8　集中力作用下的应力

式中F——作用于坐标原点O的竖向集中力(kN);

　　R——M点至坐标原点O的距离;

　　r——M′点与集中力作用点的水平距离。

利用几何关系R2＝r2＋z2,式(3-11)可改写为:

式中 K——集中力作用下的竖向附加应力系数,它是的函数;可由表3-1查得。

表3-1　集中力作用下的竖向附加应力系数K

由公式(3-12)可以求出,集中力作用下地基中任意点的附加应力,由此可以绘制出集中力作用下地基中附加应力沿竖直线的分布曲线以及在不同深度处水平面上的分布曲线,如图3-9所示,由图3-9可以总结出集中力作用下地基中附加应力的分布规律如下:

(1)在集中力P作用线上。在P作用线上,r＝0。当z＝0时,σz→∞;当z→∞时, σz→0;σz随着深度z的增加而逐渐减少,如图3-9所示。

(2)在r＞0的竖直线上。在r＞0的竖直线上,当z＝0时,σz＝0;σz随着深度z的增加从零逐渐增大,至一定深度后又随着深度z的增加逐渐变小,如图3-9所示。

(3)在z为常数的水平面上。在z为常数的水平面上,σz在集中力作用线上最大,并随着r的增大而逐渐减小。随着深度z的增加,集中力作用线上的σz逐渐减小,但随着r增加而降低的速率变缓,如图3-9所示。

如果在剖面图上将σz相同的点连接起来就可以得到如图3-10所示的应力等直线,其空间曲面的形状如泡状,所以也称为应力泡。

由上述分析可知,集中力P在地基中引起的附加应力向深部、向四周无限扩散,并在扩散过程中,应力不断降低,这种现象称为应力扩散。

当有多个集中力作用在地基表面时,可以利用式(3-12)分别算出每个集中力在地基中引起的附加应力,然后根据应力叠加原理求出地基中任意点的附加应力的总和,如图3-11所示。

图3-9　集中力作用下土中附加应力σz的分布

图3-10　应力泡

图3-11　应力的叠加

在工程实际中,建筑物荷载都是通过一定尺寸的基础传递给地基的,当基础底面形状不规则或荷载分布较复杂时,可将基础底面划分为若干个小面积单元,每个小面积单元上的荷载视为集中力,然后利用上述集中力引起的附加应力的计算方法和应力叠加原理,计算地基中任意点的附加应力。