弯曲液面的附加压力

7.2.1　弯曲液面的附加压力

1.弯曲液面的附加压力

通常我们遇到的大面积的水面总是平坦的，这时表面张力也是水平的，且相互平衡，合力为零，这时液体表面内外压力是相等的，且等于表面上的外压力。但是一些小面积液面是曲面形式，如毛细管中的液面，沙子或粘土之间的毛细缝液面，气泡、水珠的液面等。由于存在表面张力，曲面下的液体或气体承受的压力与平面下的压力不同。对于凸液面，如图7-4(a)所示，由于表面张力的方向是切于表面并垂直于作用线上，σ倾向着缩小表面积的方向，使得液体表面产生向着液体内部的附加压力P_附，这时曲面好像紧压在液体上似的。达到平衡时，凸液面内部的压力P_凸等于外部压力P与P_附之和，即内部压力大于外部压力，P_附为正值。但凹形液面下的压力与凸形液面正好相反，如图7-4(b)所示，表面张力的合力指向液体的外部，则曲面好像被拉出液面一样。当曲面保持平衡时，曲面内部的压力将小于外部的压力，此时P_附为负值。

图7-4　弯曲液面下的附加压力示意图

液体不同，附加压力不同，即使是同一液体，液面的曲率半径不同，附加压力也不同，如图7-5。实验时先分别吹出两个大小不等的肥皂泡B₁和B₂，再转动活塞使二者相通，可立即观察到半径较大的气泡B₁越来越大，而半径小的B₂则越来越小。这就是说气流由小气泡B₂流向了大气泡B₁，亦即曲率半径小的气泡内气体所受的压力大，附加压力大，而曲率半径大的气泡内气体所受的压力小，附加压力小。它们之间的关系——Laplace式推导如下：

图7-5　液面曲率对附加压力的影响

图7-6　附加压力与曲率半径的关系

设想用一根毛细管向液体中吹入气体，在毛细管的下端形成一个半径为R的气泡，如图7-6所示，同时设想用一个活塞维持气泡的平衡压力P'，在忽略液体对气泡静压力的情况下，气泡处于平衡时，泡内气体的压力P'应等于泡外大气压力P与附加压力P_附的和，即

P'=P+P_附

P_附=P'－P

即气泡内外压力差等于附加压力。

在恒温和可逆的情况下，推动活塞向下移动，使气泡的体积增大dV，其表面积相应地增加dA，此过程中如将气泡内的气体及包围气泡的界面层作为物系，则环境(活塞)对物系做的功为：

dW₁=P'dV=(P+P_附)dV

气泡膨胀时，物系对环境所做的体积功为：

dW₂=PdV

物系所得到的净功为：

－dW=dW₁－dW₂=P'dV－PdV=P_附dV

该式表明：在整个过程中，物系得到的净功在数值上等于反抗附加压力所消耗的功。此功用于克服表面张力的作用，使气泡的表面积增大dA，即用于增加物系的表面能，故存在下列关系：

P_附dV=σdA

P_附·4πR²dR=σ·8πRdR

将上式整理可得：

该式只适用于曲率半径R为定值的弯曲液面附加压力的计算。可以看出在一定温度下，弯曲液面的附加压力与其表面张力成正比，与液面的曲率半径成反比。对于液体中的气泡(凹液面)，曲率半径为负值，则附加压力P_附为负值，其方向指向气泡的中心；对于气相中的液滴(凸液面)，曲率半径为正，则附加压力为正值，其方向指向液滴中心；对于平液面，因为曲率半径无穷大，故P_附=0，即平液面不具有附加压力；如是气相中的气泡，如肥皂泡，这时由于气泡有两个气-液界面，其中外面的液面为凸液面，内面的液面为凹液面，这两个球型界面的半径基本相等，所以气泡内外的压力差：

这表明：一个肥皂泡，它的泡内压力比外压力大，因此吹出肥皂泡后，若不堵住吹管口，泡就很快缩小，直至缩成液滴。

如果液滴不是圆球，则附加压力关系式为：

R₁，R₂为液面上某点的主曲率半径，也就是最大、最小的曲率半径。

2.表面张力的测定

测定表面张力的方法较多，这里仅介绍毛细管上升法及最大气泡法。

(1)毛细管上升法

毛细管上升法是测定表面张力的一种绝对方法，所得的结果相当精确，且所用仪器简单，因此虽然后来出现了其它方法，但目前还是一直用此法所得的结果作为标准。

把半径为r的毛细管插入液体中，液体若能润湿管壁即接触角θ＜90°，管中的液面将呈凹形，如图7-7所示，此时凹液面上方压力将大于凹液面下的压力，其压力差ΔP=2σ/R。所以液体将被压入管内使液柱上升，直到上升液柱所产生的静压力Δρgh与△P相等时才可达到平衡，即：

式中Δρ为界面两边的两相物质的密度差(kg·m^－3)，h为液柱上升的高度(m)，由图7-7可以看出：毛细管的半径r与液面曲率半径R的关系为：

则：h=即σ=Δρghr

这就是毛细管上升法测定液体表面张力的基本公式。

当精确测定时不能忽略弯月面部分的体积，故须对液柱高度予以校正，设弯月面部分的液体相当于h'高度，弯月面下液柱高为h₀，则总液柱高度h为：

h=h₀+h'

若毛细管很细(对于水，当r＜0.2mm时)，h'=；若毛细管不太细，但仍＜1mm时，

由于测定h的值首先要确定管外液面的参考位置，而这一工作是较困难的，但可用两根半径分别为r₁和r₂(r₁＜r₂)的毛细管插入密度为ρ的同一液体中，若设在此二管中液柱上升高度分别为h₁和h₂，显然应有：

图7-7　毛细管上升法测定表面张力示意图

式中△h为在二毛细管中液柱升高的高度差。这样只需测定在二毛细管中液柱高差即可求得表面张力，这种方法可称为毛细高差法。

若将上述两根毛细管先插入已知表面张力为σ₀的液体中，测出其液柱上升高度差为Δh，设该液体的表面张力为σ，则：

应用此法测定液体表面张力，最主要的是固-液接触角最好为0°，否则因接触角的滞后作用难以得到准确的结果。此外毛细管要干净、均匀，半径不均匀的毛细管虽并非不能使用，但其实际操作比较麻烦。

若液体对毛细管不润湿(θ＞90°)，管内液面是凸形，因为凸液面下方液相压力比液面上方气相压力大，所以管内液柱反而下降，下降的深度同样可用该公式求出。

(2)最大气泡压力法

实验室中常用的测定表面张力的方法为最大压力气泡法，因为该方法操作简单，样品用量少，但准确性较差。最大气泡法的装置简图如图7-8所示。令毛细管管口与被测液体的表面刚好接触，然后从A瓶放水抽气，随着毛细管内外压差逐渐增大，毛细管口的气泡慢慢长大，泡的曲率半径开始时从大变小，经过一个最小值后又逐渐变大。如图7-9所示，假设在这一过程中，气泡的表面都是球面的一部分，那么它的半径等于毛细管的内径时，如图7-9(b)所示，气泡表面恰好是半球面，这时半径达到最小值，而气泡内压力达到最大值，并可由U形压力计的压差h测得，所以根据泡内最大的附加压力P_附和毛细管的内径，就可计算出表面张力。

图7-8　最大压力气泡法装置图

图7-9　气泡的形成过程

式中ρ为U形压力计中的液体密度，由于r、ρ、g都是常数，故

K称为毛细管系数，可通过一已知σ的液体求出。所以在实测中，不必测定毛细管的半径及压力计中液体的密度，因此这种方法简单可靠，为人们广泛采用。当然，测定表面张力的方法还有滴体积法、挂环法、挂片法等，在此不作介绍。

通过上述讨论可知：表面张力的存在，是弯曲液面产生附加压力的根本原因，而毛细现象则是弯曲液面产生附加压力的必然结果。掌握这些知识，可以解释许多现象，例如农业上锄地，不但可以铲除杂草，而且可以破坏土壤中存在的毛细管，防止土壤中的水分沿毛细管上升到表面而被蒸发掉。另外在印刷中，纸张毛细管的附加压力也起很大的作用，如刚印刷后，毛细管对油墨的吸收主要靠此附加压力。尤其对新闻印刷、凹版印刷、苯胺印刷更为明显。