换面法中的几个基本问题

3.3　换面法中的几个基本问题

3.3.1　直线的投影变换

1.直线的一次变换

1）一般位置直线变换为投影面平行线

如图3-5所示，AB为一般位置直线，为了把直线AB变成投影面平行线，取V1面代替V面，使V1平行于直线AB垂直于H面，则AB在新体系V1/H中就成为投影面平行线（AB∥V1）。求出在V1面上的投影a₁′b₁′，即可反映线段AB的实长，并且a₁′b₁′和X1轴的夹角即为直线AB与H面的夹角α。

图3-5（b）所示为把一般位置直线AB变为投影面平行线的作图过程，首先确定新投影轴X1。X1必须平行于ab，与ab间的距离可任取，当X1轴的位置确定以后，按前面点的投影变换方法求出直线AB两端点的新投影a₁′和b₁′，连接a₁′b₁′，即为直线的新投影。如果不变换V面，而变换H面，同样可以把直线AB变成投影面平行线，并可得出直线对V面的夹角β，如图3-6所示。

图3-5　一般位置直线变换为投影面平行线

图3-6　直线平行于H面

2）投影面平行线变为投影面垂直线

图3-7所示为一正平行线AB，为了把直线AB变为投影面垂直线，可用H1面代替H面，使H1面垂直于直线AB，也垂直于V面，AB在新体系V/H1中就成为投影面垂直线，在H1面上得到AB的投影a₁b₁，积聚为一点。

图3-7　投影面平行线变为投影面垂直线

图3-8　P面与V面、H面都不垂直

图3-7（b）所示为将正平线AB变为投影面垂直线的作图过程，先确定新投影轴X₁，X1轴必须垂直于a′b′，再在H1面上求出a₁b₁。

2.直线的两次变换

要把一般位置直线变换成投影面垂直线，只变换一次投影面是不行的，如图3-8所示，直接取一平面P垂直于一般直线AB，那么，这个平面也是一个一般位置平面，它与原投影面体系的V面、H面都不垂直，因此，不能与原投影面中的任何一个构成新的投影面体系。所以要把一般位置直线变为投影面垂直线，必须经过两次变换。

如图3-9所示，第一次将一般位置直线变换成投影面平行线，第二次再将投影面平行线变换成投影面垂直线。图3-9（b）所示为两次变换投影面的作图过程，首先把一般位置直线变换成投影面平行线，即作X1∥ab，求得V1面上的a₁′b₁′，然后再作轴X2⊥a₁′b₁′，求出直线AB在H2面上的投影a₂b₂，则a₂b₂积聚为一点，AB即垂直于H2面。

图3-9　把一般位置直线变换成投影面垂直线

3.3.2　平面的投影变换

1.一般位置平面经一次换面变为投影面垂直面

如图3-10所示，平面△ABC为一般位置平面，现要将它变换为投影面垂直面。由初等几何学可知，当一个平面垂直于另一个平面上的任意直线时，则这两个平面互相垂直。据此，我们可以在△ABC上任取一直线垂直于新投影面，但是把一般位置直线变换成投影面垂直线必须变换两次投影面，而把投影面平行线变成投影面垂直线只需要变换一次投影面，所以为了简化作图，通常在平面上任取一条投影面平行线作为辅助线，使它垂直于新的投影面，则该平面也就和新投影面垂直。

图3-10（b）所示为将△ABC变换成投影面垂直面的作图过程：首先在△ABC上取一条正平线AD（a′d′、ad），然后使新投影轴X1⊥a′d′，则△ABC在V/H1体系中就成为投影面垂直面。求出△ABC三顶点的新投影a₁b₁c₁，则新投影必在同一直线上，并且a₁b₁c₁和轴X1的夹角即为△ABC和V面的夹角β的真实大小。

图3-10　一般位置平面变换成投影面垂直面

当然，如果选取△ABC内的水平线作辅助线也是可以的，此时应用V1面代替V面，使△ABC在V1/H体系中成为投影面垂直面。其作图方法，此处不再赘述。

2.一般位置平面经两次换面变为投影面平行面

如果将一般位置变换成投影面平行面，直接取新投影面平行于一般位置平面，则这个新投影面也一定是一般位置平面，它和原投影体系的哪一个投影面都不垂直，不符合新投影面的基本条件。所以，必须先将一般位置平面变换成投影面垂直面，然后再将投影面垂直面变换成投影面平行面。

图3-11所示为△ABC变换成投影面平行面的作图过程：首先将△ABC变为投影面垂直面，作一水平线AD（a′d′、ad），作X1轴⊥ad，在V1面上得a₁′b₁′c₁′，使其成为投影面垂直面；然后第二次将其变为投影面平行面，根据投影面平行面的性质，取X2轴∥a₁′b₁′c₁′，作△ABC的三个顶点在H2面的新投影，得a₂b₂c₂，则△a₂b₂c₂反映了△ABC的实形。

图3-11　一般位置平面两次换面变为投影面平行面