椭圆周长计算公式

第三章　钢结构实用放样与展开技术

第一节　实用几何作图法

放样是一项对尺寸要求十分精确的作图过程，必须具备较强的基本作图技能。理解画图的原理是十分必要的。下面介绍一些较实用的作图方法。

一、平行线、垂直线、等分线的作法

1.直　线

在样板纸上画直线，常用1m或2m不锈钢平尺和铅笔画出。在样板铁（常用0.5mm铁板或镀锌板)上,用平尺和画针画直线。在钢板地板或木制地板上，常用粉线打出，需要长期保留的线条用铅油线打出。

2.直角线判断法

（1）勾三股四弦五法。由勾股定理知：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。当量得两直角边分别为300mm、400mm时,斜边应为500mm，或三边分别为他们的倍数时，是直角三角形。

（2）等边直角三角形。两直角边均为1 000mm时，斜边应为1 414.2mm。当两直角边均为500mm时，斜边应为707.1mm等。

（3）对角线长相等法。当矩形四边相等时，对角线长度相等。

（4）直角尺检查法。当直角边长较短时，可以用直角弯尺直接检查。

3.平行线的画法

平行线的画法主要是解决精度问题，可以在量尺寸时加一直角尺控制方向，或用圆规、地规画出。见图3-1。

图3-1　画平行线的方法

4.直角的画法

（1）半圆上的圆周角是直角。如图3-2所示,先打出一条基准线1-4,再任打一条斜线1-2,量得任意等长1-3、3-2、3-4,角1-4-2即为直角。其中1-3、3-2、3-4可以看成是圆的三个半径。

（2）垂直平分线法。如图3-3所示，任意画一条直线1-2，以1和2为圆心，任意长度为半径画弧，交出3和4，则3-4即为1-2的垂直线。

图3-2　直角的画法

图3-3　垂直平分线的画法

（3）实用的垂直平分线法。如图3-4所示，在钢板上直接画出所需宽度的平行线，用卷尺量得中点5，再量得等长5-6和 5-7，连接6-7即为垂直线。此种方法的优点是板面上的线条较少。

（4）对角线法。如图3-5所示，先画出平行线1-2和3-4，以适当长度量得1-7和2-6等长，再量出3-7等于1-2，再平分3-6，1-5即为垂直线。平行于1-5画出2-4。此方法只适用于钢板较平的情况。

图3-4　不画辅助线直接画两平行线的垂线

图3-5　对角线法画垂线

5.线段的平分

（1）平行线等分比例线段法。用此种方法求线段的等分点精度比较高，如图3-6所示，要平分线段1-2先过1作一直线，倾斜角宜小一点，用适当长度量取所需等长份数，再过各点作2-3的平行线，得等分点。

（2）用圆规等分。在精度要求不高时，可以用圆规直接等分。超出或不足部分再分出等分试画。

6.弧线等分法

（1）用量角器等分圆弧。当圆的半径不大时，用量角器等分圆周角，即等分了圆弧。

（2）用垂直平分弦法平分圆弧。见图3-7，以1和2为顶点作其垂直平分线，即平分了圆弧。

（3）用圆规试等分。在等分精度要求不高时，可以用圆规试等分，方法同等分线段。

图3-6　平行线等分比例线段

图3-7　垂直平分弦法平分圆弧

（4）计算方法。见图3-8。已知弧长1-4所对的圆心角和圆弧半径，要三等分圆弧，即要求出弦长3-4。例如，设圆心角为37°，则角3-O-4为12.33°，角A-O-4为6.167°。由于

(A－4)/(4-O)=sin6.167°

设半径为200mm，所以，A-4长度为：A-4=200×sin6.167°= 21.49mm。即弦长3-4=2×21.49=42.98mm。

7.任意角度作法

当半径为57.3mm时，π×57.3=180.0132591，即1mm弧长对圆心角为1°。当半径为573mm时，10mm弧长对应1°。也可以用三角函数值画任意角度。例如：画23°角，因为tan23°= 0.424474816，则对边为424.47mm时，邻边为1 000mm。连接斜边即求出23°角。见图3-9。

图3-8　计算弦长法等分圆弧

图3-9　任意角度作法

二、等分圆周

1.等分圆心角法等分圆周长

由于圆的圆心角为360°，画圆的内接正多边形时，可以计算出每个边所对的圆心角，或用量角器量出。例如，画圆的内接正五边形：由360°/5=72°，则72°角所对弧长为圆周长的1/5。连接各等分点即成五边形。因此，正n边形的一个边所对的圆心角为：360°/n。

2.用三角函数计算圆内接正多边形的边长

如图3-10所示:假设要画圆内接正n边形,则角α＝360°/2n,设边长的一半为a，则a/r=sinα，a=r×sinα。

例如：已知圆的半径为500 mm，求圆的内接七边形的边长。边长2a=2r×sin360°/（2×7）=2×250× sin25.71°=216.94mm。

所以，圆内接正n边形的边长计算公式为：边长2a=2rsin（360° /2n）

图3-10　圆内接正n边形边长计算

式中　P——正n边形边长；D——圆的直径；n——正多边形边数。

3.查系数表求圆内接正多边形的边长

将上式中的sin180°/（2n）数值依次算出，列成表3-1，当边数为n时设其值为K，则上式成为：

式中　K——系数；D——圆的直径。

例如：已知圆直径为500mm，求内接正七边形边长。查表3-1得K=0.43388，则边长为：P=KD=0.43388×500=216.94mm

表3-1　圆内接正多边形边数与系数的关系

注: K=sin(180°/n)，N——边数；K——系数。

4.已知正多边形的边长求作正多边形

如图3-11所示,先根据边长求出外接圆半径。图3-11以已知正七边形边长为200mm为例计算外接圆半径。∠6O7=360°/7=51.42857°,由三角形内角和为180°，得∠176=180°-51.42857°=128.57°,可以依次画出多边形。但最好求出半径O6。由A6/O6=sin（51.43°/2），A6=100,所以半径O6=100/sin25.71° =230.476mm。画出圆后再画出多边形。

图3-11　已知正七边形边长画七边形

三、大半径圆弧画法

放样时，如果工件的圆弧半径要求很大，很难用圆规或地规画出，可以用下面的方法画出。

（1）几何作图法。见图3-12。弦长1-2，弦弧距3-4，画4-5平行于1-2，1-6平行于3-4，1-4垂直于1-5。相同数量等分1-3、4-5、1-6，对应连线，交点即为圆上点。

（2）计算法求弦弧距画大半径圆弧。如图3-13所示:已知圆弧半径R和弦长AB，求作圆弧ACB。在直角三角形ADO中，由OA=R，AD=AB/2，根据勾股定理：

图3-12　大半径圆弧画法

图3-13　计算法画大半径圆弧

则CD=R-OD，同理，可求出1-3，2-4。

例如：已知R = 3 000mm，AB=400mm，求作大圆弧AB。

四、圆弧连接

（1）两直线间的圆弧连接。如图3-14（a）所示，已知直线AB、CD，圆弧半径R，连接方法为：作1-2、1-3平行于BC、AB，距离为R，得到交点1，即可画弧接。图中（b），图（c）画法相同。

（2）直线与圆弧的连接。如图3-15所示,已知直线1-2和圆O1，连接半径为R。由图知：连接圆弧的圆心距直线为R，距圆心为r＋R。以O1为圆心，r＋R为半径画弧。距1-2为R画平行线，得交点O2，即可画出圆弧。

图3-14　两直线间圆弧连接

（3）两圆弧外连接。如图3-16所示,已知圆O1和圆O2，要求以R外连接圆弧。分别以O1，O2为圆心，以r1+R和r2+R为半径画弧交出点O3，再以R为半径画出圆弧。

图3-15　直线与圆弧连接

图3-16　两圆弧外连接

（4）两圆弧内连接。如图3-17所示，已知圆O1和圆O2，要求以R内连接圆弧，以r1+R和r2+R画弧，得圆心O。

图3-17　两圆弧内连接

（5）两圆内外混合连接。如图3-18所示,已知圆O1、O2，求连接圆弧的圆心O3。画法是：以O1为圆心,以r1+R为半径画弧，以R2为圆心r2-R为半径画弧，交出O3即可画出连接圆弧。

图3-18　两圆内外混合连接

五、斜度和锥度

（1）斜度是指一直线对另一直线，或一个平面对另一个平面的倾斜程度。其大小用两线之间夹角的正切来表示。如斜度为1∶6的画法是：作一个直角三角形，对边为一个单位长，底边为6个单位长。

（2）锥度是指正圆锥的底圆直径与其高度之比。如果是锥台，则为上、下两底圆直径之差与锥台高度之比。

六、椭圆、双曲线、抛物线、渐开线、螺旋线画法

1.椭圆的近似画法（四心法）

如果已知椭圆的长轴AB、短轴CD，椭圆画法：如图3-19 （a）所示：

（1）连接AC，以O为圆心，OB为半径画弧，交Y轴于F；

（2）以C为圆心，CF为半径画弧，交AC于E；

（3）作AE的垂直平分线，交出1和2，分别以1、2为圆心画出椭圆的一半，如图3-19（b）所示，另一半可对称画出。

图3-19　四心法近似画椭圆

2.椭圆的准确画法（同心圆法）

已知椭圆的长轴AB、短轴CD，椭圆画法如图3-20（a）所示。

（1）以长轴AB和短轴CD为直径画同心圆。

（2）适当等分圆，等分点越多曲线越圆滑。

（3）过圆上等分点作水平线和垂直线，得到交点1、2。

（4）同样方法找出其他各点。

（5）圆滑连接各点即可。

椭圆也可以用参数方程表示。在计算椭圆上点的坐标时，如图3-20（b）所示，椭圆的参数方程为：

图3-20　同心圆法画椭圆、椭圆的参数t

参数t是直线与x轴的夹角，也称偏心角或离心角。a是长半轴，b是短半轴。只要给出一个角度t就可以算出x、y坐标值。

3.计算法画椭圆

椭圆的标准方程为:

式中　a——椭圆的长半轴；b——椭圆的短半轴。

由上式可以推出公式：

如图3-21（a）所示:例如，AB=400mm，CD=200mm，设将O-B分为4段，x1=50mm，x2=100mm，x3=150mm，则可由上式算出：y1=96.8mm；y2=86.6mm；y3=66.1mm。即点1（50，96.8），点2(100，86.6)，点3(150，66.1)。其他各点可对称画出。

也可以由长轴2a=400mm,短轴2b=200mm,即a=200mm, b=100mm，用公式：

求出c=173.2mm,2c=346.4mm。即两定点的距离为346.4mm，绳长2a=400mm。固定两点后，可用绳画出椭圆。见图3-21（b）。

图3-21　计算法画椭圆

4.双曲线的画法

如图3-22（a）所示，双曲线是动点M（x，y）距两定点（焦点）的距离之差为定长2a的点的轨迹。a是实半轴，b是虚半轴，c是焦距。顶点为（a，0），（-a，0），焦点坐标为（-c， 0）和（c，0）。标准方程为：

式中　a——双曲线的实半轴；b——双曲线的虚半轴。

已知方程画图时，带入x值即可求出对应的y值。找出各点，描点画图。

如果方程未知，如图3-22（b）所示，下图的左边是一个平放的锥体，设想右边有一个相同的锥体，用平行于轴线的平面去截，得到双曲线。可以先确定曲线上的一个点（x，y）和图中所示的实半轴a。将点坐标带入方程求出b。其他各点可任意设定x而求出y。

图3-22　双曲线的画法

以平面截正圆锥体为例，如图3-23所示，用平面去截，平面A垂直于轴线截得圆，平面B过锥顶截得三角形，平面C平行于斜边截得抛物线，平面D垂直于底面截得双曲线，平面E截得椭圆。

图3-23　用平面截圆锥的几种情况

5.抛物线的画法

如图3-24所示，抛物线是动点M（x，y）到定点P（p/2，0）和到定直线（准线x=-p/2）距离相等的点的轨迹。开口向右、左、上、下的标准方程分别是：

图3-24　抛物线方程

图3-25　已知点坐标求抛物线方程

抛物线只有一个未知系数p，只要知道抛物线过一个点，带入x，y既可求出p。如图3-25所示，已知抛物线高200mm，宽200mm，即过点（100，-200），将x=100，y=-200带入x2=-2py，得10 000=-2p （-200），即p=25。则该抛物线标准方程为x2=-50y。求其他点时，只要带入一个x即可得到一个y。

抛物线的几何作图法如图3-26所示，已知抛物线的宽度BC和高度AB，相同等分OA和AB，过OA的等分点向下作平行线，O点与AB的等分点连线，交出抛物线上的点。连接圆滑曲线即可。

图3-26　抛物线的几何作图法

6.渐开线的画法

（1）用绳画。如图3-27（a）所示，把一根没有伸缩性的绳子绕在一个固定的圆周上，然后在绳子的端点A处将绳拉紧并逐渐拉开，拉开时保持绳与圆周始终相切，这时绳的端点A的轨迹叫做圆的渐开线，这个圆叫做渐开线的基圆。图3-27 （a）中A-3的弧长与线段3-4相等。画法：如图3-27（b）所示，先将基圆分成若干等份，依次作切线，量对应弧长等于切线长，得到各点后，用曲线圆滑连接。

图3-27　

（2）已知正方形abcd画渐开线。如图3-28所示，分别延长ad、ba、cb、dc、ad。以a为圆心，ac为半径画弧得点1，再以b为圆心b-1为半径画弧，再以c为圆心，c-2为半径画弧，再以d为圆心，d-3为半径画弧，再以a为圆心，a-4为半径画弧即可。

图3-28　已知正方形画渐开线

7.螺旋线的画法

(1)圆柱螺旋线。凡是曲线上有任意四个连续的点不属于同一平面,则称该曲线为空间曲线。常见的规则空间曲线为螺旋线。

设圆柱的素线上一个动点，如图3-29（a）所示，沿素线匀速向上运动的同时又绕圆柱面的轴线做匀速转动，点的这种复合运动的轨迹，称为圆柱螺旋线。当动点旋转一周时，动点沿素线方向移动的距离称为导程。

由于圆柱母线旋转方向不同，可分为右螺旋线和左螺旋线两种。右螺旋线的特点是其可见部分自左向右升高。圆拄面的直径、母线旋转方向和导程的大小是圆柱螺旋线的三要素。

圆柱螺旋线的画法见图3-29（a）：在俯视图上等分圆周，相同数量等分主视图上的导程S，分别向上投影得出交点即可。

图3-29　螺旋线画法

（2）圆锥螺旋线。圆锥螺旋线的画法如图3-29(b)所示,首先将已知导程S分成若干等份，再将俯视图的圆分成相同等份，做出圆锥的素线，主视图上素线与导程等分线的交点即为圆锥螺旋线上的点。再向下交出螺旋线的俯视图。

七、几何图形的作法

1.鸡蛋圆的画法

画圆O，以1和2为圆心以圆的直径为半径画弧，再以3为圆心，3-4为半径画弧即可。

2.人孔门的画法

一般为两环套圆法。如图3-31所示，先画一个圆，以圆与Y轴的交点1为圆心，画相同半径的圆，连接2-O并延长，以2为圆心，2-3为半径画圆弧。另一侧画法相同。

图3-30　蛋形圆的画法

图3-31　入孔门的画法

3.阿基米德螺线的画法

如图3-32所示，将已知圆分成若干等份。图中分为8等份，将半径也分成8等份，依次连成圆滑曲线即可。

图3-32　阿基米德螺线的画法

4.计算法几何作图实例

（1）圆内接正多边形计算法。

已知圆直径为500mm，求作九边形。

平分圆心角法：360°/9=40°，用量角器量出。

边长计算法：边长P=Dsin (180°/9)=500sin20°=500× 0.34202=171.01mm。

查表计算法：查表3-1得K=0.34202，边长P=KD=500× 0.34202=171.01mm。

（2）大半径圆弧弦弧距计算法。

已知圆半径为1 1000mm，弦长为600mm，求画圆弧。

如图3-33所示:

∴1-5=1 1000-1 0995.9=4.09mm。

弦长AB等份越多越好，图中分为8等份。每段等份长为75mm。

（3）椭圆上点坐标计算法。

设椭圆的长轴为600mm，短轴为600/2=300mm。常用2a/2b=2。

则2a=600，2b=300，a=300，b=150。

椭圆方程为：

x2/a2＋y2／b2＝1

将a=300，b=150带入椭圆方程，得：

x2/3002＋y2／1502＝1

图3-33　计算法画大半径圆弧实例

如图3-34所示，设四等分OB，等分点坐标为1 （75，0），2（150，0），3 （225，0）。将　x1=75， x2=150，x3=225带入方程，　用公式：

算出:

即1－4为145．24mm,2－5为129．9mm，3－6＝99．2mm。可根据对称性画出椭圆。

图3-34　计算法画椭圆实例

（4）双曲线上点坐标计算法。

如图3－35（a）所示，设图纸给出或放样时求得双曲线过点C（300，200），a＝180，带入双曲线方程：

3002／1802－2002／b2＝1

求出b＝150。则双曲线方程为：

x2／1802－y2／1502＝1

如图3－35（b）所示，为求出曲线上点，设将AB分成四份，则分点坐标为1（210，0），2（240，0），3（270，0）。带入公式：

另一侧对称画出。

（5）抛物线上点坐标计算法。

如图3-36所示，设放样时求得抛物线高300，底宽100。设坐标轴分别为　x、y。A点坐标为（－100，－300），抛物线开口向下，方程为：

图3-35　双曲线的计算

带入x＝－100，y＝－300，得（－100）2＝－2p（－300），则p＝16．6667,2p＝33．3333。方程为：

x2＝－33．33y。

其他各点可依次求出。图中CD分为三等分，坐标为1（0，-100），3（0，-200），将y1=-100，y2=-200，代入，得x1=57.73, x2=81.65。得点2（-57.7,-100），4(-81.65,-200)。另一侧对称画出。

八、椭圆周长计算公式

1.椭圆周长的近似计算公式

当椭圆的尺寸较小或对椭圆的周长精度要求不高时，可采用下式计算：

式中　L——椭圆周长；K——系数（见表3-2）；a——椭圆长半轴。

图3-36　计算法画抛物线

表3-2　椭圆周长计算系数

例如：设椭圆的长半轴a＝400mm，短半轴b＝200mm，求椭圆的周长。

查表3-2得：K=2.4221，所以，椭圆周长为：

L＝2×2．4221×400＝1 937．68mm

2.用四心法画椭圆时求椭圆得周长

根据图3-37所示的四心法画椭圆图形推导周长公式如下：

已知：长半轴为a，短半轴为b。求椭圆周长。

根据作图法：CD＝b－a，直线BO2是直线AC的垂直平分线，三角形AOD和三角形O2BD都是直角三角形，而且共用角BDO。因此，有图示的角α、β的关系。在直角三角形ADO中，

式中　α——角度；a——椭圆的长半轴；b——椭圆的短半轴。

则β＝90°－α。

在Δ AB01中有如下计算式：

式中　r1——四心法画椭圆的小半径；α——图示角度；a——椭圆的长半轴；b——椭圆的短半轴。

在ΔBDO2中：

式中　r2——四心法画椭圆的大半径；α——图示角度；a——椭圆的长半轴；b——椭圆的短半轴。

由数学公式：弧长＝角度（弧度制）×半径，即L＝αr，可以方便的求出弧长。弧度和度的互换公式是：弧度数＝度数×π／180，反之，度数＝弧度数×180°／π。

式中　Lty——椭圆的周长；r1——四心法画椭圆的小半径；

r2——四心法画椭圆的大半径；α、β——如图3－37所示的角度（弧度数）；r1、r2、α、β由式3－11、式3－12、式3－13算出。

例如，已知椭圆的长半轴a＝400，短半轴b＝200，椭圆的周长计算过程如下：

将a、b代入式3－11，得：

α＝arctan(b／a)＝arctan(200/400)＝arctan0．5＝26．565°

＝26．565×(π／180)=0.4636rad

这里rad表示弧度数。

则β＝90°－α＝90°－26．565°＝63．435°＝63．435×π／180＝1．10 rad将a、b代入式3－12、或3－13得：

图3-37　椭圆的周长计算原理图

如果要精确计算椭圆的周长，可以用以下公式：

式中　Lty——椭圆的周长；a——椭圆的长半轴；K——系数。

例如，还是计算a＝400，b＝200的椭圆周长：

由此可见，三种计算方法中第一种方法的误差较大,而第二种方法由于是近似画法，也有误差。第三种方法计算的项数越多，得数越精确。

第二节　制图与画法几何基础知识

一、点、线、面的投影

1.三投影面体系中的分角

如图3-38所示，用三个轴：x、y、z轴，和三个面：U、V、W面，可以把空间分为八个部分。W面左侧的空间命名为第一、二、三、四分角，W面右侧的空间命名为五、六、七、八分角。通常使用一分角，即由三个轴的正方向构成的空间。将物体置于空间内向三个面作投影。

图3-38　三投影面体系中的分角

例如，点在第七分角内的投影，如图3-39（a）所示：x轴的反方向为-x方向，y轴的反方向为-y方向，z轴的反方向为-z方向。因为-z方向向下，-x方向向右，-y方向向后，所以，点A置于第七分角内。如图3-39（b）所示，观察者先看到投影面，后看到点。因为H面是水平面，a是A点的水平投影。同理，a′是正面投影，a是侧面投影。在（b）图中，称V面的投影为前视图。把H面向上旋转，作为顶视图，放在前视图的上面。把左面的W面向左旋转，作为左视图，放在前视图的左面。

图3-39　第七分角内点的投影

2.点的投影

面可以看成是由线构成的，线可以看成是由点构成的，点是最基本的几何元素。点的两个投影能惟一地确定该点的空间位置，第三个投影点可由投影规律求出。

对两点而言，如图3-40（a）所示，Δx为x坐标差，Δy 为y坐标差，Δz为z坐标差。在求直线实长和计算法展开时，经常用到坐标差。图中，A点在B点的下边，左边，前边。

特殊位置点的投影，如图3-40(b)所示，A为V面上点，B 为H面上点，C为x轴上点，D为W面上点。

3.直线的投影

直线可以分为一般位置直线和特殊位置直线，特殊位置直线又分为投影面的平行线和投影面的垂直线。

图3-40　点的投影

(a)两点间的坐标差　(b)特殊位置点的投影

垂直于正投影面的直线称为正垂线；

垂直于侧投影面的直线称为侧垂线；

垂直于水平投影面的直线称为铅垂线。

平行于正投影面的直线称为正平线；其中两个特殊情况是侧垂线和铅垂线。

平行于侧投影面的直线称为侧平线，其中两个特殊情况是正垂线和铅垂线。

平行于水平面的直线称为水平线，其中两个特殊情况是正垂线和侧垂线。

如图3-41所示，直线1-6、2-5、4-7、3-8平行于V面，称为正平线；直线1-3、2-4、5-7、6-8平行于H面，称为水平线；直线1-8、4-5、2-7、3-6平行于W面，称为侧平线。

直线1-2、4-3、5-6、8-7垂直于W面，称为侧垂线；直线1-4、2-3、5-8、6-7垂直于V面，称为正垂线；直线1-5、2-6、3-7、4-8垂直于H面，称为铅垂线。

而1-7、3-5、4-6、2-8是一般位置直线。

显而易见，正垂线在水平投影面和侧投影面的投影反映实长；侧垂线在正投影面和水平投影面的投影反映实长；铅垂线在正投影面和侧投影面的投影反映实长。

图3-41　立方体上的线与面

4.平面的投影

平面可以分为一般位置平面和特殊位置平面，特殊位置平面又可以分为投影面的平行面和投影面的垂直面。

平行于投影面的平面，统称为投影面的平行面。

平行于H面的平面，称为水平面。

平行于V面的平面，称为正平面。

平行于W面的平面，称为侧平面。

垂直于投影面的平面，统称为投影面的垂直面。

垂直于H面的平面，称为铅垂面，铅垂面的两个特殊情况是正平面和侧平面。

垂直于V面的平面称为正垂面，正垂面的两个特殊情况是水平面和侧平面。

垂直于W面的平面，称为侧垂面，侧垂面的两个特殊情况是正平面和水平面。

显而易见，属于正平面的图形在正投影面的投影反映实形；属于侧平面的图形在侧投影面的投影反映实形；属于水平面的图形在水平投影面的投影反映实形。

如图3-41所示，平面1265、4378是正平面；平面1234、5678是水平面；平面1485、2376是侧平面。平面1375、2486是铅垂面，平面5238、1674是正垂面，平面3456、1278是侧垂面。平面186、386、257、457、524、724、613、813是一般位置平面。

以漏斗形状物体为例，分析一下线与面，如图3－42所示，正垂线为14、23、58、67、9－12、10－11。侧垂线为12、43、56、87、9－10、12－11。铅垂线为59、6－10、7－11、8－12。一般位置直线为15、26、37、48。正垂面为1485、2376。侧垂面为1265、4378。正平面为5－6－10－9、8－7－11－12。侧平面为5－8－12－9、6－7－11－10。水平面为1234、5678、9－10－11－12。

图3-42　物体上的线与面

二、国外制图投影基础知识

近年来，直接用国外图纸生产焊接结构件已很常见。我国使用一分角绘图法，而有些国家使用三分角绘图法、七分角绘图法等。

如图3－43所示，一分角绘图法是把工件放在观察者和投影面之间，把观察到的工件形状画在后面的投影面上。保持“人—物—面”的位置关系。

（a）投影直观图　（b）三面投影图

图3-43一分角绘图法

三分角绘图法如图3－44（a）所示，顺序是：观察者—投影面—工件。犹如隔着玻璃看构件，将所看到的工件画在玻璃上一样。保持“人—面—物”的位置关系。正面看的图叫前视图，把顶视图放在前视图的上面，右视图放在前视图的右面（左视图放在前视图左面，不常用），（底视图放在前视图的下面，不常用）。如果把顶视图放在前视图的下面，右视图放在前视图的左面，就与一分角法一样了。但是，由于三分角法不习惯画左视图，也就不能方便的得到左视图了。投影见图3-44（b）。

具体实例见图3－45，分别用一分角绘图法、三分角绘图法、七分角绘图法表达支座的三面投影图。由图可见，区别在于视图方向和摆放位置不同。

图3-44　三分角投影直观图和投影图

图3-45　一、三、七分角绘图法实例

其他分角绘图法依此类推。例如七分角绘图法，也保持“人—面—物”的位置关系。正面看的图是前视图，把顶视图放在前视图的上面，左视图放在前视图的左面。

三、画法几何基础知识

1.点的投影规律

（1）借助直线找点。如图3-46(a)所示，已知点A在平面123上，求作俯视图上的点。如图3-45(b)所示，借助于辅助线1-4即可方便地得到。

（2）借助素线找点。如图3-47(a)所示，已知点A在圆锥表面，求作俯视图上的点。如图3-47(b)所示，利用圆锥的素线OA可方便地得到。

图3-46　取属于平面的点

（3）点的投影变换。较复杂的结构放样经常用到投影变换。例如，求两个一般位置平面的夹角，求蛇形管的中心轴线实长等。

图3-47　取属于锥面上的点

如图3－48所示，在原来的投影体系中，垂直于一个原来的投影面再新设一个新投影面，这个新投影面的方向可以根据情况自由决定。设图中有一个空间点A，新设投影面V1垂直于H面，V1面和H面的交线是x1轴。显然，A点向V面投影的点a′和A点向新设的V1面投影的点a＂到H面的距离相等。即a′ax＝a″ax1把V1面沿箭头方向放平，得到图3－48（b）。由图中可以看出其规律是：旧点到旧轴的距离等于新点到新轴的距离。

图3-48　点在V1/H体系中的投影

也可以垂直于V面作投影变换，如图3－49所示，垂直于V面设新投影面H1，则A点的两个投影点a1和a到V面的距离相等，如图3－49（b）所示，新点a1到新轴x1的距离等于旧点a到旧轴x的距离。

图3-49　点在V/H1体系中的投影

根据以上分析，可以得出点的投影变换规律为：

1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；

2）点的新投影到新投影轴的距离，等于被更换的旧投影到旧投影轴的距离；

3）新投影面上的点到新轴的距离，要间隔一个投影图去量取旧点到旧轴的距离。

（4）点的两次投影变换。在实际工作中，经常用到二次投影变换、三次投影变换以至更多，其规律是一样的。见图3－50。在（a）图中，第一个新投影面垂直于H面，是V1面。第二次投影变换的新投影面垂直于V1面，与H面相对，是H1面。在（b）图中，点A一次变换后，再在适当方向设新轴x2，过a1作x2轴的垂直投影线，量取新点a2到x2轴的距离等于a到x1轴的距离。

图3-50　点的二次投影变换

2.直线的投影规律

（1）一般位置线段的实长及它与投影面的夹角。如图3－51 (a)所示，线段AB是一般位置直线。正面投影是a′b′，水平投影是ab。在直观图上作辅助线a1B和Ab1。可见，Bb1是z坐标差，Aa1是y坐标差。如图3－51（b）所示，作直角三角形，两直角边分别为投影长和坐标差，斜边既为实长。夹角α是直线AB与H面的夹角，夹角β是直线与V面的夹角。利用勾股定理和三角函数即可方便地计算。

规律如下：

1）一般位置直线实长。以投影长和坐标差分别作直角边画直角三角形，斜边即为线段实长；

2）与投影面的夹角。直角三角形中，坐标差的边所对的角是直线与投影面的夹角实角。

图3-51　求一般位置直线的实长及与投影面的夹角

（2）直线的迹点。有的构件，例如“斜马蹄”，求素线的位置时放样图要求求直线的迹点。迹点就是直线与投影面的交点。直线与H面的交点称为水平迹点，常以M标记；与V面的交点称为正面迹点；常以N标记；与W面的交点称为侧面迹点，常以S标记。直观图如图3－52（a）所示。迹点的求法如图3－52 （b）所示：延长ab交出正面迹点N；延长b′a′交出水平迹点M。M和N投影到另一个投影图，得到线上点n和m′。

（3）两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中交叉两直线又称异面两直线，两直线既不平行又不相交。

1）平行。两平行直线的投影也平行，两条直线在三个投影面的投影都无交点。两平行直线可以构成一个平面，在构件上可以用一块平板下料。在两个视图都平行的两条直线，不一定平行。如图3－53所示。

图3-52　迹点的求法

图3-53　两平行直线

2）相交。两相交直线的投影也相交，且交点在三视图中是同一个点。如图3－54中的直线12 和13，交于点1。两相交直线可以构成一个平面。但是，两条直线在两面投影都有交点，两条直线不一定平行。如图3－54所示：图中所示构件的直线12和34，在正面投影图中交于一个点5′，而在水平投影图中，12和34交于点7。点5′和点7的连线并不垂直于x轴，不是一个点。所以，直线12和34并不相交，是交叉的。

图3-54　直线的相交与交叉

3）交叉。两直线既不平行又不相交即为交叉。例如图3－54中的直线12和38，13和89，12和34等。两交叉直线不能构成一个平面。因此，1234不能用一个平面下料，可以用两个三角形解决。分成三角形123和三角形234，或三角形124和三角形134。

（4）直线的投影变换有两种：将一般位置直线变为投影面的平行线，或变为投影面的垂直线。事实上，直线的投影变换就是两个端点的点的投影变换。平行于一般位置直线的投影作一条平行线，代表新投影面，则该直线平行于新投影面，成为新投影面的平行线。在此基础上，垂直于这条线再设新投影面，直线的投影就变成了一个点。

直线AB的投影如图3－55所示，先平行于ab作直线X1，即设定了一个新投影面V1，垂直于x1轴作投影线，取新点a1、b1到新轴x1的距离等于旧点a′b′到X轴的距离。直线a1、b1就变为V1面的平行线了。为了使直线a1、b1变为投影面的垂直线，再垂直于a1b1设新轴x2，量取新点a2到x2轴的距离等于a 到x1轴的距离，得到垂线a2b2，直线AB就变成了H1投影面的垂直线了。也可以平行于a′b′设新投影面，进行一次、二次投影变换。

图3-55　直线段的二次投影变换

直线的一次投影变换常用于求一般位置直线的实长。如图3－56所示：三节弯头中节管的轴线是一般位置直线。如果三节圆管的轴线都反映实长时，相贯线的投影是直线。只要进行一次投影变换就可以达到目的。平行于直线23设新投影面V1，量取点11、21、31、41到x1轴的距离等于点1′、2′、3′、4′到x轴的距离。三节圆管的轴线都反映实长，相贯线是直线。可依此图画出三节圆管的展开图。

图3-56　一次投影变换求三节弯头实形

直线的二次投影变换常用于将直线变为投影面的垂直线。如图3－57所示：两平面的交线是一般位置直线，要求两平面的夹角。即求弯曲板料的弯曲角度卡样板。先平行于直线12设新投影轴x1，垂直于x1画投影线，量取主视图各点到x轴的距离，得到11、21、31、41，1121即变为V1面的平行线。再垂直于1121设新轴x2，作投影线，量取俯视图的点1、2、3、4到x1轴的距离得到点32、12、22、42。这里，直线12已经变为H1面的垂直线了，即求出了两平面的夹角α。

图3-57　二次投影变换求二面角

3.平面的投影规律

（1）平面表示法。

1)由初等几何知道，不属于同一直线上的三个点确定一个平面。因此，表示平面的五种常用方法如图3－58所示：不在同一平面上的三点图（a）、直线与线外一点图（b）、两相交直线图（c）、两平行直线图（d）和任意平面图形图（e）。

2）空间的平面与投影面相交，其交线称为平面的迹线。如图3－59所示，平面P与V面的交线称为正面迹线，常用PV标记；平面与H面的交线称为水平迹线，常用PH标记；平面与W面的交线称为侧面迹线，常用PW表示。如图3－59（b）所示，两条迹线就可以表示平面P。

图3-58　平面的五种表示法

图3-59　平面的迹线表示法

由已知平面可以求出迹线，求法如图3－60所示：已知平面ABC，求PV和PH。图3－60（a）图是直观图。（b）图表示迹点2的求法：延长bc到2，则直线bc与V面的交点是2。过点2向上投影交b′c′的延长线于2′，得迹点2的两面投影。如图（c）所示，同样方法画出迹点1。图（d）表示迹点1、2、3、4的求法。连接1′2′得到PV，连接34得到PH。

图3-60　由已知平面求迹线

（2）平面的投影变换。

平面可以分为一般位置平面和特殊位置平面。特殊位置平面又可分为投影面的平行面和投影面的垂直面。

投影面的平行面是：正平面、侧平面、水平面。它们分别在V面、W面、H面反映实际形状。

投影面的垂直面是：正垂面、侧垂面、铅垂面。经过一次投影变换即可以求出实际形状。

如果要求出一般位置平面的实际形状，对于三角形、四边形等规则形状，可以求出各边实长或对角线实长，依次画出。但是，用投影变换的方法可以方便地求出任何形状的一般位置平面的实际形状。

1）将一般位置平面变为投影面的垂直面。

用两次投影变换变为垂直面：如图3－61所示，已知一般位置平面123，为使其变为垂直面，先平行于平面的一个边设新投影面。图中平行于直线23设新投影轴x1，即垂直于H面设新投影面V1。垂直于x1作投影，取主视图各点到x轴的距离等于新点到x1轴的距离，找出11、21、31。既然平行于直线23设的新投影面，直线23就平行于V1面。再垂直于21、31设新轴x2。垂直于x2轴作投影，取俯视图上各点到x1轴的距离等于新点到x2轴的距离，找出点12、22、32。平面123的投影变为直线，即平面123垂直于H1面。

图3-61　二次投影变换变一般位置平面为投影面的垂直面

用一次投影变换变为垂直面：借助于辅助线可以节省一次投影变换。如图3－62所示：先过点1′作x轴的平行线得点4′，投影到俯视图，得点4。则直线14为水平线，平行于H面。垂直于直线14设新投影轴x1，过点1、2、3垂直于x1轴作投影线，取旧点1′、2′、3′到旧轴x1的距离等于新点11、21、31到新轴x1的距离，平面123的投影就变为一条直线，即平面123垂直于V1面。

2）将一般位置平面变为投影面的平行面。

一次投影变换不可能使一般位置平面变为投影面的平行面。因为平行于一般位置平面的平面还是一般位置平面。两次投影变换可以完成。第一次投影变换，变一般位置平面为投影面的垂直面，第二次投影变换，变一般位置平面为投影面的平行面。

图3-62　借助于水平线一次投影变换变为垂直面

图3-63　变一般位置平面为投影面的平行面

如图3－63所示 ：三角形123是一般位置平面，图3－62是借助于水平辅助线，借助正平辅助线也可以减少一次投影变换。先过俯视图上的点1作x轴的平行线，得点4。向上投影得点4′。可见，直线14是正平线。垂直于1′4′设新轴x1，过　1′、2′、3′、4′垂直于x1画投影线，量取1、2、3、4 到x轴的距离，得点11、21、31、41，平面的投影变为一条线。再平行于这条线设新投影轴x2，过各点垂直于x2轴画投影线，量取1′、2′、3′、4′到x1轴的距离，得点12、22、32、42，连接各点得到平面123的实形。

如图3-64所示，圆管斜交平面P，由于圆管轴线是一般位置直线，圆管的主、俯视图画不完全。先平行于轴线12设新轴x1，量取1′、2′到x轴的距离等于点11、21到x1轴的距离，得到点11、21。因为平行于俯视图的轴线12设新投影面，所以轴线1121平行于V1面。可以画出圆管的直径，直接画展开图。由于用平面斜截圆管得到椭圆，圆管又平行于V1面，则椭圆的长轴是mn，椭圆的短轴是圆管直径。图中省略了椭圆的详细画法。实际放样时，求管孔用管外皮尺寸画线。

图3-64　求圆管斜交平板的板孔形状及圆管展开图

4.点线面间的关系

（1）定点到定直线的距离（过定点作已知直线的垂线）。

1）定点到特殊位置直线的距离。特殊位置直线包括正平线、侧平线、水平线、正垂线、侧垂线、铅垂线。

这里要用到一个画法几何的定理：垂直相交的两直线，其中有一条线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。

如图3－65（a）所示，直线AB平行于H面，是水平线。直线CD垂直于AB，则在H面上的投影也垂直。因此，过点C作直线AB垂线的方法如图3－65（b）所示。因为直线AB平行于水平面，所以在水平投影图中，可以过点c作ab的垂线，得到垂足d，过点d向上作投影，得到d′点，连接c′d′，即可完成垂线的作图。

如果要求点C到直线AB的距离，即求CD直线的实长，可以画一个直角三角形，一个直角边是投影长，另一个直角边是对应的另一个投影图的坐标差。图中把水平投影长cd旋转到平行于x轴的位置，作为一个直角边，量取主视图上点c′和点d′之间的z坐标差Δz作另一个直角边，斜边c1d1的长度即为C点到直线AB的距离。

图3-65　过已知点作水平线的垂线并求垂线长

2）定点到一般位置直线的距离求法需要两次投影变换。第一次投影变换把直线变为投影面的平行线，垂直于这条线设第二次变换的投影面即可以求出其距离。

如图3－66所示，求定点A到直线BC的距离。

平行于bc设新轴x1，一次变换求出a1、b1、c1，再垂直于b1、c1设新轴x2，二次变换求出a2、b2、c2，因为直线BC的投影变成了一个点，所以线段a2b2的长就是点A到直线BC的距离。因为直线BC平行于V1面，所以在V1面的投影上可以过点a1作直线b1c1的垂线，得到垂足d1。由点d1向回作投影，得到点d和点d′，连线完成主俯视图投影。

图3-66　求定点到一般位置直线的距离

（2）定点到定平面的距离。

定点到特殊位置平面的距离可由投影图方便地得到。求定点到一般位置平面距离的问题常在型钢结构件中遇到，如图3－67所示，设立方体的棱上有点1、2、3，求过点A作直线垂直于平面123。图3－67（a）是直观图，表示过点A作一般位置平面的垂线，垂足是点B。图3－67（b）表示的是条件：已知一般位置平面123和点A，由图可见，在主、俯视图上都无法直接过点A作垂线。

图3－67（c）表示具体的画法：先过主视图点2′作水平线，借助于这条水平线，在俯视图上，垂直于它设新投影面V1，一次投影变换把平面123的投影变为直线。过点A1作直线1131的垂线，得到垂足b1，再返回到俯视图得到垂足点b和主视图上的点b′。线段A1b1就是垂线段的实长。

图3-67　求点到一般位置平面的距离

（3）直线间的距离。

1）特殊直线间的距离。两平行直线间的距离很好求,如图3－68所示，直线45和直线9－10都是正垂线，在正面图上，a就是两线间距离。直线23和78都是水平线，两直线是交叉的。求两线间距离就要找到它们的公垂线，在俯视图上延长两线得到的交点就是公垂线的投影，在主视图上，b的长度就是两线间距。

图3-68　求特殊直线间的距离

2）两个一般位置直线间的距离。如图3－69所示，两支圆管的轴线都是一般位置直线，求两支圆管轴线的公垂线，即用最短距离连接两圆管。图3－69（a）是直观图。图3－69（b）表示的是圆管轴线的作图。

只要把一根轴线的投影变为一个点，即可作出公垂线。先平行于轴线34设新投影面V1，则轴线3141平行于V1面，再垂直于3141设二次变换投影面H1，轴线34的投影就变为一个点，过该点作直线1222的垂线，得到垂足n2。过点n2向回投影，得n1点，过点n1作直线垂直于3141，得垂足m1，再向回投影得到主、俯视图的投影。

（4）直线到平面的距离。

直线与平面的关系只有平行与相交两种。判断直线是否与平面平行的方法是：能否在平面上找到一条直线与已知直线平行，只要在平面上找到一条与其平行的直线，就可以判定该直线平行于平面。如图3－70所示，已知平面123，直线45，要判断直线是否平行于平面。方法是：在一个视图上，过平面上的一点作直线平行于已知直线，投影到另一个图上，看是否也平行。图中过俯视图上点3做直线平行于直线45，向上投影的结果显示直线3a′并不平行于4′5′，可见，直线45并不平行于平面123。

图3-69　求两一般位置直线间的距离

图3-70　判断直线是否与平面平行

如果直线与平面平行，只要把直线变为投影面的垂直线，即直线的投影变成一个点，平面的投影就会变为一条直线，过该点作平面的垂线，垂线长就是直线到平面的距离。

（5）属于平面的最大斜度线。

如图3－71所示，已知平面P，求平面P与H面的最大斜度线。由直观图可见，只有当直线A3的投影垂直于P面与H面的交线时，P面上的直线才与H面有最大夹角。事实上，就是求两平面的夹角。如图3－71（b）所示，作一次投影变换，即可求出最大斜度线A3。求出二面角α。在计算展开时，角α是一个很重要的参数。

图3-71　求平面P相对于水平面的最大斜度线

（6）直线与平面的交点。

求一般位置直线与一般位置平面的交点，如图3-72所示，(a)是直观图，（b）图是已知条件：已知平面123和直线AB，求交点。如图（c）所示，设想有一个正垂面过a′b′，在俯视图上得到正垂面与直线的交点，直线与平面的交点是线与面的公共点，在俯视图得到交点m，向上投影得到m′，即求出了直线与平面的交点。这种作图法常用于求相贯点。

图3-72　求一般位置直线与一般位置平面的交点

5.点线面的旋转法

（1）点旋转时的投影变换规律。如图3－73（a）所示,已知轴线O1O2和点M，O1O2垂直于H面。图（b）中，m′mO′并不反映实长，图（c）中，点M绕O1O2轴旋转，m′mO′就反映实长。

图3-73　点绕铅垂轴旋转

（2）直线的旋转就是两个点的旋转,只是旋转要“三同”：绕同一轴旋转、旋转同一角度、旋转同一方向。如图3－74所示：已知直线12和旋转轴O，用旋转法求实长的方法是：在俯视图上以O为圆心，以O1、O2为半径画弧，同轴旋转，转角相同，转至平行位置变为1121，再向上投影，得到直线的实长。实际上，是用俯视图的投影长和主视图的z坐标差求出直线的实长。

图3-74　旋转法求一般位置直线的实长

如果未给定旋转轴，把一般位置直线旋转为投影面的平行面，就把过一个端点的投影面的垂直线作为旋转轴。如图3－75所示：图（a）表示，假设过直线的端点a作铅垂轴O，在俯视图上，直线ab绕O轴旋转，b点旋至b1点，向上投影至主视图，与b′向左交出b1′点，连接b′，a′b1′即为AB直线的实长。图（b）表示绕正垂轴旋转ab，旋平后，向下投影交出实长。

图3-75　直线绕铅垂轴、正垂轴旋转

直线的旋转常用于求直线的实长。例如求锥体表面上任意一点到锥顶的距离，如图3－76所示，过点1、2作水平线，与锥体斜边交得1′、2′，即把一般位置直线O1、O2旋转为正平线，反映出其实长。

图3-76　锥体上任意一点的旋转

（3）平面的旋转。

1）图3－77是把一般位置平面ABC旋转为正垂面。画法是：借助于水平线旋转，过点3′向左画水平线，向下投影得点4，进行无轴旋转，旋至直线43垂直于投影轴，由于直线43为水平线，且垂直于V面，在V面的投影变为一个点，即平面123成为投影面的垂直面。

图3-77　用不指明轴旋转法变一般位置平面为垂直面

2）把一般位置平面旋转为投影面的平行面，必须绕不同的轴旋转两次。先旋转成投影面的垂直面，再旋转为投影面的平行面，图3－78是在图3－77的基础上再旋转一次，把投影线2111旋至水平，向下投影，因为旋转过程中点1、2、3距V面的距离并没有改变，可由一次旋转后的点1、2、3向右画平行于投影轴的线，交出12、22、32。得到平面123的实际形状。

图3-78　一般位置平面旋转为投影面的平行面

四、投影变换法解决的一些问题

1.用投影变换法求断面实形

用平面去截规则形体，求断面实形，就是画方向视图。用投影变换法更容易理解其画法的原理。求断面实际形状常用于钢板上开孔和求相贯线。

用一次投影变换就可以求出断面实形。下面介绍一些求断面实形的实例。

图3-79　求正垂面斜截正五棱柱的断面实形

（1）求斜截正五棱柱的断面实形。如图3-79所示，正垂面斜截正五棱柱，用一次投影变换，平行于主视图的截线设新投影面H1，取新点到新轴x1的距离等于俯视图上各点到x轴的距离，画出断面实形。

（2）斜截正圆锥。求斜截正圆锥的断面实形，也是一次投影变换的作图。具体作法如图3-80和图3-81所示。图3-80 （a）假设过圆锥的轴线作一个正平面，称为中心平面，圆锥上的任意一点到中心平面的距离的求法图3-80（b）所示。设圆锥上任意一点a，过a作一条素线，向下投影，得到距离a1。在求断面实形时，有两个特殊点需要单独处理。

圆锥斜截后得到椭圆，椭圆的长轴就是主视图上的截面投影长，在图（c）中mn即为椭圆的长轴，而短轴投影必在mn的中点。因此，对于图（c）中mn的中点4，要单独求一下点4到中心平面的距离41。还有一个特殊点，截面的投影与轴线的交点5，过点5向右作底面的平行线，设想过点5作一个水平面，截得一个圆。水平面与右侧素线交点6，则线段56就是点5到中心平面的距离。（c）图中主视图的56与俯视图上的51长度相同，实际放样时不必画出俯视图的51。

图3-80　求圆锥上一般点和特殊点到圆锥中心平面的距离

根据以上规律，作出的断面实形如图3-81所示。设x轴与圆锥的底面投影线重合，平行于截面投影画x1轴，首先均分俯视图的半圆（图中俯视图只画一半），向上投影得到相应的锥体素线，把素线与截线的交点再向下投影，就得到了各点到圆锥中心平面的距离。依照新点到新轴的距离等于旧点到旧轴的距离，找出断面图上的各点。最后求两个特殊点：过点5向右画底面的平行线，与斜边交出所求距离。为求短轴，求出线段17的中点4，过锥顶和点4画一条素线，投影到俯视图，求出点4到中心平面的距离。

图3-81　求正垂面斜截正圆锥的断面实形

如果只是为了在钢板上开椭圆孔，可以用计算法求出长轴和短轴。如图3-82所示，由于Δ ACO与Δ BCG相似，对应边成比例，r/h=x2/b，x2=b×r/h。同理，x1=a×r÷h。x3=2r-x1-x2。所以，椭圆的长轴DG的长度为：

图3-82　求椭圆断面的长轴

求椭圆的短轴如图3-83所示，X1、X2、X3求出后，过中点E作直线PN平行于底面，画圆弧PM，EM即为椭圆的短半轴。在Δ ENM中，EN=(X2-X1)/2，MN=PN=r′。由三角形相似，PN/ （h-C）=r/h，PN=（h-c）×r/h。在直角三角形ENM中：

则椭圆的短轴为2EM。上式中的符号含义见图3-83 (式中c=a+（b-a）/2)。

图3-83　求椭圆形断面的短轴

（3）斜截“天圆地方”的截面形状。如图3-84所示，设异形接头的上口是圆形，下口是矩形，要求出它与正垂面相交的断面形状。先在俯视图上等分圆周，向上投影连线后得到主、俯视图。在主视图上，过截面与素线的交点向下投影得俯视图交点。平行于截面设新投影轴x1，取俯视图上旧点到旧轴（x轴）的距离等于一次变换图上新点到新轴（x1轴）的距离。

如图3-85所示，依照上述规律把各点都画出来即得到了断面实形。

图3-84　求异形过渡管的断面实形规律

图3-85　求斜截圆顶距形底连接管的断面实形

（4）求回转体与铅垂面的交线。如图3-86所示，用铅垂面去截回转体，首先，在俯视图上作圆与截平面的投影相切，得切点5，过圆的两端向上投影得截面Ⅳ，过点5向上投影与截面Ⅳ相交得点5′，在截面Ⅳ与底面之间分为若干等份，图中分为四等份，得截面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，由于截面垂直于回转体截面，截面为圆，在主视图上过两端点向下投影，以此长作为直径画圆，与俯视图截线交出2、3、4、6、7、8。过各点向上投影，与截面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ得交点2′、3′、4′、6′、7′、8′。用曲线连接各点，完成主视图。

为求出截交线形状，做一次投影变换即可。平行于俯视图的截线设新投影轴x1，过俯视图上各点垂直于新轴投影，量取主视图上各点到x轴的距离作为新点到新轴x1的距离，得到新点11、21、31、41、51、61、71、81、91。以圆滑曲线连接各点即完成截交线的实际形状。

图3-86　回转体的截交线

2.用投影变换求二面角

在弯曲钢板展开料或装配铆焊件时，常遇到求二面角、做卡样板的问题。实质上，求两平面间的夹角的做法是：过两平面的交线上一点作两条垂线，这两条垂线分别属于两个平面，这两条直线间的夹角就是二面角。画法是：首先将两平面的交线的投影变为投影面的垂直线，两平面的投影变为两条直线，自然就求出了二面角的角度了。

（1）求偏心方锥管的弯曲卡样板。如图3-87所示，两端口平行单偏心方矩锥管的四个面，需要两个卡样板。作法是：要把棱15、26变成投影面的垂直线，应先把其变为投影面的平行线。首先，平行于15、26画新轴x1和x1′，为了构成平面在底口增加了点9、10，求两个三角形所在平面的夹角。投影后取高度h，得到点41、21、11、51，和点21、91、61、101。再垂直于棱线15、26设新投影轴x2，再一次投影变换，棱线变成了点，夹角α和α1即为所求的卡样板角度。

图3-87　求偏心方矩管的弯曲卡样板角度

（2）求下口倾斜的矩形连接管的前板的弯曲角度。如图3-88所示，对于上下口平行的矩形连接管，四个边都是平面。但是，下口倾斜时，在主视图上，上下口不平行，而在俯视图上两线平行。可见，直线12和直线34是交叉两直线，连接管的前面不能用一个平面解决。要么连接14作为棱，要么连接23作为棱。图中连接23作为棱。

首先在俯视图上平行于辅助线23设新轴x1，过点1、2、3、4垂直于新轴画投影线，量取主视图上各点到x轴的距离，得点11、21、31、41。这里，直线23已经变为投影面的平行线。二次变换是：垂直于21、31设新轴x2，过各点垂直于x2做投影线，量取俯视图上各点到x1轴的距离，得点12、22、32、42。连接各点得弯曲角度卡样板。

图3-88　求下口倾斜的矩形连接管前板弯曲角度

3.用投影变换解决主、俯视图无法画出的问题

有些焊接结构件，不经过投影变换无法完整画出主、俯视图的投影，实际做法是：先进行构件轴线的投影变换，当相邻两轴线都反映实长时，可画出构件的实际形状，再将构件向回投影，完成主、俯视图的投影。

（1）用投影变换解决主视图的投影。如图3-89(a)所示，三节弯管的直观图表示用矩形管连接右上至左下,图(b)表示已知的主、俯视图，可见，主视图无法直接画出。图（c）表示经一次投影变换求出实形。在一次投影变换后，由于新投影面同时平行于三节圆管的轴线，在变换后的图上相贯线为直线，且为轴线的角分线。图中，作∠112131和∠213141的角分线，得两条相贯线。为了表达清楚怎样向回投影，另画图3-90。

图3-89　用投影变换解决三节弯管的投影

如图3-90所示，由俯视图向上投影，量取一次投影图上，上下端口到相贯线各点的距离，在主视图上找到相贯线各点，连线即得到主视图。

图3-90所示构件的展开图如图3-91所示，当钢板较薄（一般小于6mm）时，放样图的尺寸按板件的里皮。上、下、中节的展开料弯曲角度均为直角。

（2）主视图、俯视图均不能完整画出。如图3-92所示，在正垂面上立一根铅垂的圆管立柱，四面有支撑钢管。这里以一根支撑为例画投影变换图，以求得支撑的实际形状。

图3-90　向上投影得主视图

图3-91　中节展开图和上节展开图

首先，在俯视图上平行于支撑管34的轴线做一次投影变换，平行于轴线34，也就平行于主管56，设新轴x1。过俯视图上各点垂直于x1轴做投影，取主视图上各点到x轴的距离等于新点到新轴x1的距离，得到一次投影变换的投影图。由于支撑管的下半段还画不出实形，任取分点M。因为主管和支撑管的上半段的轴线同时平行于新投影面V1，可用图示的画法求出相贯线。

图3-92　主、俯视图都无法完整画出的支撑管画法

支撑管的下半段如图3-93所示，将图3-92的主、俯视图上下拉开，进行投影变换，把原来的x轴换为x′轴，x′轴平行于底面1287，即把底面放平，量取俯视图上各点y轴方向的坐标差等于一次投影变换图上的新点到x′轴的距离。即量取原俯视图上1、2、3、M、7、8到直线78的距离等于x′轴以下1、2、3、M、7、8到x′轴的距离，在这两个图中，新的主视图的底面已经变为投影面的平行面，新的俯视图中的底面反映实形。再平行于轴线3M设新投影面V1′，即平行于新俯视图的管轴线3M设新投影轴x1，量取新主视图上1′、2′、8′、7′、3′、M′到X′轴的距离，得点11、21、31、M1。这时支撑管的下半节的轴线已经反映实长，而底面的投影也变成了直线，可以按支撑管的直径画出投影，依此展开。在上述两图中，由最终的投影变换图向回投影即可完成主、俯视图的投影。在实际工作中，没有必要画出完整的主、俯视图。为防止图形太乱，上图并未向上返回画出。

图3-93　用投影变换解决下半节支撑管的投影

五、用画法几何知识解决求相贯点问题

在钣金工和铆工放样时，经常遇到构件与构件相交的情况，需要解决求相贯线的问题。相贯线是两个构件的共有线，是由无数个相贯点构成的。而相贯点与相贯线的求法经常是求直线与构件的交点或求平面与构件的交线。运用画法几何中的平面与平面相交、平面与曲面相交、直线与平面相交、直线与曲面相交等知识，可以简便地求出相贯线。

1.求直线与物体的贯穿点

（1）常见的直线与平面的贯穿实例如图3-94所示，图（a）是直线贯穿三棱柱，图（c）是直线贯穿三棱锥。图（b）的画法是：由于正三棱柱的三个面都是铅垂面，可以看成是由无数条铅垂线构成的，在图（b）的俯视图上，直线交三棱柱于m、n，可以把m、n看成是两条铅垂线的投影，向上投影得到交点即为相贯点。图（d）的画法是：假设过直线ab作一个正垂面，这个正垂面与三个棱在主视图得到交点，投影到俯视图，得到三角形。三角形与直线的交点m、n即为相贯点，向上投影交出相贯点m′、n′，连接直线，完成主视图。

图3-94　求直线与平面的贯穿点

（2）直线与曲面相贯的实例较多。直线与曲面相贯时，就是素线为直线的构件与曲面相交，找到一些素线与曲面的贯穿点，连接各贯穿点后，形成相贯线。

1）图3-95为常见的圆柱面与直线的贯穿示例。圆柱体表面的素线都是铅垂线，在俯视图上，直线ab与圆柱面交于点1、2。向上投影至主视图交出点1′、2′，1′、2′即为贯穿点。

2）图3-96表示水平线与球面相贯穿的情况，设想过水平线作一个水平面，由于用平面去切球，在任何方向截切所得的截线都是圆，所以在俯视图上截得的圆与直线ab的交点1、2即为相贯点。

图3-95　直线与圆柱体贯穿

图3-96　求水平线与球面的贯穿点

图3-97表示一般位置直线与球面贯穿，相贯点的求法需要进行一次投影变换。可以过主视图上直线的投影设一个正垂面进行投影变换，也可以在俯视图上设铅垂面进行投影变换。图示为过a′、b′作正垂面，截切面为正圆，截切圆直径为mn。平行于a′b′设新轴x1，垂直于x1作投影线，以mn为直径画圆，与直线ab的一次变换投影a1b1交得11、21，即为贯穿点。过点11和21向回投影，得点1′、2′和俯视图上的点1、2，即为所求的贯穿点。

图3-97　求一般位置直线与球面的贯穿点

图3-98　求一般位置直线与圆锥的贯穿点

3）图3-98为一般位置直线贯穿正圆锥的情况。图（a）为直观图，为求得贯穿点1、2，先作一个平面P，过锥顶和直线作一个平面。作法是：在主视图直线ab的投影a′b′上任取两个点5′、6′，三个点5′、6′、O′构成一个平面P。5′、6′在直线上，所以所作平面过锥顶也过直线。延长O5′和O6′得迹点m′和l′。过点5′和6′向下投影，与俯视图ab交得点5、6，连接O5、O6并延长与m′、l′向下投影交得点m、l。连接m、l与俯视图的圆交于点3、4，连接O3、O4与ab交出相贯点1、2，过1、2向上投影得主视图贯穿点1′、2′，完成作图。

（3）求直线与曲面贯穿点的几个实例。

1）直线与曲面的交线实例。如图3-99所示，圆管与球相贯，求相贯线。利用平面截球体得到圆的性质，在主视图上，用一系列侧平面去切球，也就在左视图上得到一系列圆，与圆管的素线相交得到相贯点。

图3-99　求圆管与球相交的相贯线

2）如图3-100所示，圆管与锥体偏心相交，因为圆管上的素线均为铅垂线，在俯视图上的圆就是相贯线。主视图上的相贯点求法是：在俯视图上均分圆管投影的圆周，连接各分点与锥顶O，得到素线，由交点向上投影得到相应的交点即为相贯点。图（a）中，点b投影方法与1、2、3、4、5、6、7各点的投影方法相同。对于相贯线上的最后点a，在图（a）中画出了主视图上点的投影求法。设想过a′作水平面，截得正圆，在俯视图上以☆的长度为半径画弧，向上投影至主视图的斜边，再向右作底边平行线得点a′的投影。

图3-100　求圆管与圆锥铅垂相交的相贯线

3）图3-101表示圆管水平交正圆锥。在主视图上，设想过投影线取水平面截切正圆锥，如图（a）所示，由于截切面垂直于锥体轴线，截面为正圆，投影到俯视图，画出各圆，与对应素线交出交点，向上投影至主视图完成作图。

图3-101　求圆管与圆锥水平相交的相贯线

4）图3-102表示圆管与圆管斜交，求相贯线的作图法。如图所示，主管的轴线是侧垂线，支管的轴线是一般位置直线。如果创建一个投影面，同时平行于两条轴线，就可以方便的求出相贯线。

具体画法如图3-102所示。首先，根据主、俯视图画出左视图。可见，只要进行一次投影变换即可求出两管相交的相贯线。平行于左视图的支管轴线设新轴z1，取主视图到z轴的距离等于新点11、21、31、41到z1轴的距离。经过一次投影变换后，两根轴线都变成V1面的平行线，在侧视图和一次投影变换图之间求相贯线。平分支管断面圆周长，分别对应交出相贯点。在一次投影变换图上，所有素线段均反映实长，可用平行线法展开两圆管。

图3-102　求不同直径圆管斜交的相贯线

2.求面与平面的交线

（1）平面与平面相交的基本作图法。

1）铅垂面与一般位置平面相交。

平面与平面相交，交得一条直线。一般位置平面与特殊位置平面相交如图3-103所示。铅垂面4567与一般位置平面123相交，在俯视图上，设想过点b有一条铅垂线，与直线13交于点b，在主视图上与直线13的投影交出b′，同理，求出点a′。连接a′b′，得到相贯线。

图3-103　一般位置平面与铅垂面的交线

2）一般位置平面间的相交。

平面与平面相交，交得一条直线。两一般位置平面相交的交线求法可以转化为一般位置直线与一般位置平面相交的问题。如图3-104所示，已知一般位置平面1234和一般位置平面567，两一般位置平面相交，求交线。如图3-104（a）所示，平面1234是一般位置平面，直线56是一般位置直线，在主视图上设想过直线5′6′有一个正垂面，与平面1234相交，过直线5′6′与1′4′、2′3′的交点向下投影，与直线14、23得到交点，连线得到点a。向上投影交出点a′。

图3-104　求两一般位置平面相交的交线

三角形567的另一个边57与平面1234的交点求法相同。如图3-104（b）所示，设想过直线5′7′作一个正垂面，过5′7′与1′4′、2′3′的交点向下投影，在俯视图上对应得到交点，连线交出点b。图（c）是两条线画在一起的图线，图（d）表示所求出的相贯线。

（2）平面与平面相交的实例。

1）三棱柱与三棱锥相贯。

如图3-105所示，三棱柱的三个侧面都是铅垂面，三棱锥的三个侧面都是一般位置平面，求相贯线的实质就是求三棱锥的三个棱线与铅垂面的交点，即一般位置直线与铅垂面的交点。如图所示，在俯视图上，2、3、4、5、6、7就是贯穿点。向上投影，对应连接各点完成作图。

图3-105　求三棱拄与三棱锥相交的相贯线

2）方管斜交四棱台。

如图3-106（a）所示，方管的轴线是一般位置直线，在主、俯视图均无法直接画出完整的投影图，经过投影变换，从垂直于方管的轴线方向看才可以得到相贯线。为此，进行两次投影变换。如图3-106（b）所示，首先平行于俯视图上的方管轴线的投影线12设新轴x1，过1～8各点垂直于x1轴投影，得到11～81各点，再垂直于方管轴线1121设新轴x2，投影后得到12～82各点。这里的方管轴线已经垂直于新投影面，可以画方管的端面了。

图3-106　求方管斜交正四棱柱的相贯线

图3-107是把支管的端面画出后，向回投影找相贯线的作图。方管的端面上下边必平行于锥台的底面，因此，画方管的端面时，取直线ab、da垂直于x2轴。画出端面图后，借助于辅助线向回投影。画法如图3-108所示。

为了更清楚的表示相贯线的求法以及为了画出支管展开图，图3-108把图3-107的一次、二次投影变换部分取出，描述相贯线的求法。过端面的a、b、c、d各点与52点连线，与各边相交得到辅助线。把辅助线向左投影与端口向左投影交出各相贯点。这里的方管素线均反映实长，向下对应取各线长，画出展开图。

图3-107　求相贯线的作图

3.求平面立体与曲面立体的相贯线

平面与曲面的交线由两部分组成，一部分是平面与立体的交线，即平面曲线，另一部分是平面立体的棱线与曲面的贯穿点，即直线与曲面的交点。因此，求平面立体和曲面立体的相贯线，可以归结为求截交线与相贯点的问题。

图3-108　相贯线及支管展开图的画法

（1）方管直交圆锥台。如图3-109所示，（a）图是直观图，（b）图是原理图，设圆锥台上有任意一点A，过锥顶和A点连素线，投影到主视图交出投影。

图3-109（c）的画法同上。在俯视图上，由于投影的积聚性，正方形就是相贯线。在正方形上任取几个点，用（b）图的画法求出主视图上的相贯线。

（2）求方管平交圆锥台。求圆锥上任意一点的方法常用上例的素线法和本例的纬圆法。见图3-110，图（a）表示锥管与方管相交的直观图。图（b）表示用纬圆法找圆锥上任意一点的方法，在主视图上任意画一条底边的平行线，表示用水平面截正圆锥，在俯视图上得到相应直径的圆，与方管的投影交出相贯点，再向上投影得到主视图上的相贯点投影。图（c）表示用纬圆法求出各相贯点。

图3-109　求方管直交圆锥台的相贯线

图3-110　求方管平交圆锥台的相贯线

（3）求方管与椭圆形封头相交的相贯线。

如图3-111所示，(a)图是直观图，椭圆形封头的特点是：平行于底面截切得到正圆，在该圆上的各点距底面高度相等。图（b）是画法原理：设俯视图上有任意一点，过这个点画一个圆，向上投影得到一个截面的投影线，对应交点为主视图上的投影。在（c）图，俯视图上方管投影的积聚性即为相贯线。在俯视图的方管投影上任意取几个点，图中为示意，仅取7个点。过2、3、4、5、6画圆，将圆向上投影，交出对应的高度，得到主视图上的各点。对于点2、6，应投影到侧视图，为简化作图，在主视图上画出右视图的一半。

图3-111　求方管与椭圆形封头的相贯线

（4）求方管与圆管斜交的相贯线。

见图3-112，方管的轴线是12，是一般位置直线，在侧视图上平行于轴线设新投影面V1，即平行于1"2"做平面V1，量取主视图上各点到z轴的距离等于新点到z1轴的距离，在新投影面上的投影，主管轴线和支管轴线都反映实长，可以在左视图和一次投影变换图上方便地求出相贯线。

图3-112　求方管与圆管斜交的相贯线

为了图形更清楚，另画一个图，如图3-113所示，方管的四个棱线均为V1面的平行线，在V1面上反映实长，平行于V1面的方管两个面就是实形。另外两个面的求法是：接口在W面上的投影就是相贯线，在相贯线上任意取一点，向右投影，对应交出展开图上的点，求出两侧的展开实形。

图3-113　求方管斜交的相贯线和支管展开图

4.求两曲面立体相贯的相贯线

一般情况下，两曲面立体的相贯线是封闭的空间曲线，求相贯线的实质就是求两立体表面的共有点，然后依次光滑地连接。求相贯点的一般方法是求三面共有点，如图3-114所示，一般方法是用一个平面去截两个立体的表面，在断面图上找到两立体的共有点。

图3-114　以平面为辅助面求相贯点

为便于作图，辅助面的选择以截两立体表面都能获得最简单的交线为原则，即尽可能使辅助面与立体表面交线至少有一个投影为直线或圆。

（1）以平面为辅助面求相贯线。

以平面为辅助面求相贯线的实例比较多，对于常见的立体，如球、锥、管、回转体等，都可以用平面截得直线或圆。如图3-115所示，（a）图表示锥体与圆管相交，如果平行于两立体的轴线截切，截面是直线和双曲线。如图所示，用垂直于两轴线的平面去截，得到两个圆，两圆的交点就是相贯点。图（b）表示两圆管相交，用平行于两轴线的截面去截，得到两组直线，对应交点就是相贯点。图（c）表示球面与锥面相交，垂直于两轴线截得两个圆，其交点就是相贯点。图（d）表示钢水包的截面，钢水包由圆锥台和包嘴组成。包嘴是由圆管的一部分和两个平面三角形组成，用平行于圆锥轴线的截面截得双曲线和直线，其交点即为相贯点。

1）求锥管与锥管的相贯线。

正圆锥管与正圆锥管相交常用于通风管道和物料输送管道，相贯线的求法常用球面法和截面法结合使用。

如图3-116所示，（a）图表示圆锥与球体的交线，由于用平面在任意方向截切球体都得到一个圆，当两个锥体同时与一个球体相交时就得到两个圆，如果这两个圆相交，交点就是相贯点。因此，当两圆锥体相交且两轴线都反映实长时，如图（b）所示，可以以两圆锥轴线的交点为圆心，以适当的长度为半径画一系列圆，截得两圆投影的交点就是相贯点。图3-116（b）画了两个圆，与两圆锥交得截面的投影线为直线12和34，交出点a，投影线56和78交出点b，点a、b即为相贯点。

图3-115　以平面为辅助面截立体求相贯线的实例

但是，在一般情况下用这种方法只能求出部分相贯点，还得用截面法求得另外一些相贯点。见图117～119。

如图3-117所示，（a）图表示两圆锥相交的直观图。（b）图表示过支管素线的平面截切两圆锥，得到两直线和椭圆的一部分，其交点就是相贯点。

图3-116　用球面法求两锥体相交的相贯线

图3-117　两圆锥相交的直观图和截面示意图

如图3-118所示，首先画出主视图和三处管口1/2断面图。过支管的素线截切两圆锥，图中只画出沿支管素线29截切的画法。为防止图形线条过多，其他截面的画法见图3-119。想像过支管的素线29做一个正垂面，向左上方作一次投影变换，与支管截切得到两条直线，与主管截切得到椭圆的一部分，在方向视图上得到交点。画法是：等分两管端口1/2断面，图示为6等分，连接端口上的等分投影点，得到两管的素线。在主视图的左上方画直线平行于直线29，量取☆6和☆3画出截面截支管的截面图。再过素线29与主管素线ae、bf、cg的交点向左上方投影，这些交点到中心平面的距离是图示的☆3、62和#2。对应量取到左上方的断面图上，交出断面图上各点。圆滑连接各点，得到两管的共有点，即相贯点。向回投影到主视图，得到相贯点的投影。

图3-118　截切法求锥管与锥管的相贯线

其他截面相贯点的求法如图3-119所示，量取支管的素线长和端口上各分点的投影画出截面，得到如图的四个矩形。再把主视图上各支管素线与主管素线的交点照录到四条轴线上，量取各交点到中心平面的距离，如图所示的各线长21、31、41、51以及22、32、42、52和☆1、☆2、☆3、☆4、☆5、☆6。得到截面与主管的交线，即椭圆的一部分，交出两管的共有点。按图示箭头方向，向回投影到主视图，得到各相贯点。为了防止图形太乱，在主视图上并未连接各相贯点完成相贯线。

求相贯线时，也可以过主管上的素线用正垂面截切。截主管得到两条素线，截支管得到椭圆。对应求出交点。

图3-119　其他截面上相贯点的求法

2）求圆锥与半圆球的相贯线。

焊接结构的容器类常用球形和椭圆形封头，其特点是垂直于轴线截切得到正圆。而垂直于轴线截切正圆锥也得到正圆。因此，如图3-120所示，用一系列水平面作为辅助面，可方便地求出相贯线。采用过锥顶的正平面和侧平面求出相贯线的四个顶点。过主视图锥体的轴线用侧平面截切，截得的圆与侧视图上锥体的投影交出相贯线的最前点和最后点，因为锥体和半球的轴线在前后方向一致，在主视图上的投影直接交出相贯线的最左点和最右点。其他各点的做法是：在主视图上任意做几条底面的平行线，分别交出球体的截面直径和锥体的截面直径，向下投影到俯视图，画出断面圆，交出交点，即为相贯点。投影至主视图，完成主视图的相贯线投影。

图3-120　求圆锥与半圆球的相贯线

3）球罐与支撑圆管间的相贯线求法。

如图3-121所示，在俯视图上，由于圆管投影的积聚性，圆管的投影即为相贯线的投影。在主视图上以水平面为辅助面，作直线12平行于底面，与圆交得截面半径，向下投影，在俯视图上得到交点，即为对应的相贯点，向上投影，得相贯点a。其他各点同理画出。为图形清楚，图中只画出两个点。

4）求圆管与锥管间的相贯线。

如图3-122所示，圆管与圆锥管垂直相交，其交线为封闭的空间曲线。在左视图上，由于相贯线的投影积聚性，圆管投影的一部分就是相贯线。适当等分锥管的断面圆弧，在左视图和主视图上作出锥体素线，利用过左视图上各素线的正垂面作为辅助面，截切锥体，锥体截切后的断面实形就是主视图上的各素线投影。过左视图上各相贯点向左投影，对应交出主视图上的相贯点，圆滑连接曲线完成相贯线的投影。

图3-121　求球罐与支撑管间的相贯线

图3-122　求圆管垂直相交圆锥管的相贯线

（2）以曲面为辅助面求相贯线。

若两回转体的轴线相交，且同时平行于一投影面，常用球面为辅助面求相贯线。要求轴线相交的原因是：要以两轴线的交点作为辅助球面的球心。要求两回转体的轴线都反映实长的原因是：辅助球面与两回转体交出两个圆，当两回转体的轴线平行于投影面时，两截面圆的投影是直线，两线的交点即为相贯点。

常见回转体如图3-123所示。

图3-123　常见的回转体

1）求回转体与圆柱体的相贯线。

如图3-124所示，两回转体相交，两件的轴线交于一点，且都反映实长。以两轴线的交点为圆心，以适当半径画圆，图中画了三个圆。每个圆作为一个球，与两回转体交出两个圆，其投影是两条直线，两条直线的交点就是相贯点。用曲线连接各点得到相贯线。

图3-124　求圆柱与回转体的相贯线

2）求圆管与四节圆管弯头的相贯线。

如图3-125所示，（a）图是四节弯头的正面投影，中间是两整节，两端是两半节。（b）图表示圆管与中间两节相交，主管的轴线与支管的轴线相交，而且都反映实长，符合辅助球面法的条件。如图（b）所示，以两轴线的交点O1为圆心画同心圆，连接圆与两弯管的交点，交出相贯点。两节主管的交线上的相贯点可以不求，可以顺着相贯线的趋势交出。其求法是过两节主管的交线的正垂面截切两圆管，截得两椭圆的交点即为相贯点。

为了更清楚的表达以O2为圆心画的同心圆，另画图（c）。图（d）是画法的原理示意图。两圆管交球得到两个圆，其交点即为相贯点。

图3-125　辅助球面法求圆管与四节圆管弯头的相贯线

3）求复合体的相贯线。

三个或三个以上立体相交，其表面形成的交线的总和称复合相贯线。复合相贯线为若干相贯线复合组成，这些相贯线的共有点，称为结合点，只有结合点才是三个曲面的共有点。它们也是各条相贯线上的分界点。如图3-126所示，圆柱、圆锥、圆球相交形成三条相贯线，它们的共有点是结合点。求相贯线的具体作图方法如下：

如图3-126所示，圆锥与半球的交线是圆，由于锥体的轴线是正垂线，在主视图上反映实长，其交线是水平的圆，投影是主视图上的直线。圆管与圆锥的相贯线求法是采用辅助球面法。以圆管和锥管的轴线交点O为圆心画同心圆，对应交出相贯点。圆管与球体间的相贯线采用辅助平面法，如图3-126（b）所示，任意用若干个水平面截切球体与圆管，得到两个圆，在俯视图上交出相贯点。图中的俯视图只画了一半。结合点的求法是：结合点是三条相贯线的共有点，必在圆管与圆锥的交线上，在主视图上，必在其交线的投影线上。过其交线用水平面截切圆管与球体，截圆管得到两条直线，截球体得到圆，其交点就是结合点。

图3-126　用辅助球面法和辅助平面法求相贯线

六、用迹线解决素线位置问题

1.曲面的切平面

如图3-127所示，在曲面S上任意画两条曲线，作两条直线与其相切，两条切线就构成了切平面。切平面的垂线AM是曲面上A点的法线。

图3-127　曲面上点A处的切平面

（1）锥面、斜圆柱面、螺旋面上点A处的切平面。

如图3-128所示，在锥面上有点A，切平面的作法是：过点A画一条素线得点B，分别过点A、B作圆的切线，两条切线构成切平面。同理画出另外两构件的切平面。

图3-128　曲面构件上的切平面

（2）过点A作球面的切平面。

如图3-129所示，圆球上有点A，在主视图上过点A画水平线a′1′，即用水平面截切圆球，在俯视图上得到相应的圆，再在俯视图上过点A画切线A1。在俯视图上过点A画V面的平行线，即正平线，用正平面截得圆，向上投影，再主视图上画出截面圆，在过点A画出切线a′2′，这两条切线构成了切平面。

图3-129　作球面上点A处的切平面

（3）过斜圆锥上点A画切平面。

如图3-130所示，已知斜圆锥上点A，过点A作水平面，截得水平的正圆。在俯视图上过点a、b作切线，则两条切线1a、2b构成切平面。

图3-130　作斜圆锥上点A处的切平面

2.用迹线平面解决素线位置问题

（1）用切平面确定素线位置的分析。有些结构件不属于回转体，如果简单地平分上下口圆弧所构成的素线，其素线位置并不合理。如图3-131所示构件，（a）图是直观图，如果平均等分上下口的圆弧，连接成素线，如图（b）所示，相邻两素线是交叉的，并不能构成一个平面，只能用扭曲面连接两素线。而如图3-129（c）所示，首先，任意作一条上口圆的切线，与投影面交于迹点，过迹点作下口圆的切线，即切平面的迹线，连接两切点就确定了一条素线。再作几个切平面求出几条素线，就相当于曲面在一些平面上滚动而留下的一系列直线。

图3-131　斜圆顶圆底连接管的素线确定

为了进一步说明相邻两素线间的关系，另画一个素线分析图。如图3-132所示，用均分上下口圆弧的方法作出素线后，图示素线12、34在主视图交于点a′，而在俯视图上，两线交于点O，显然，两条线是交叉的。而交叉两直线是不能用平面连接的。

（2）用迹线平面法确定素线。

如图3-133所示，首先求迹点，在主视图上延长上口投影，与底面的延长线交于点P，点P就是迹点。过点P向下投影，在直线MN上任意取点，a、b、c、d、e、f，过以上各点同时作上下口的切线，对应的切点连线，即为所求的素线。为了防止图形过乱，图中的主视图上仅画出了两条素线的投影。

图3-132　相邻两素线成交叉关系

图3-133　用迹线法求上口倾斜的圆管连接管的素线

如图3-134所示，构件的左端连接一个圆管，下端连接一个圆管。构件的素线确定方法如下：左端面是侧平面，底面是水平面，两平面的交线是正垂线。在侧视图上任取一迹点a"，作上端面圆的切线，得切点1"、3"。向下向左投影到俯视图，得到点a、1、3。在俯视图上过点a作下端面圆的切线得点2、4。连接12、34得到素线。也就是作了两个切平面a12和a34。再将1、2、3、4投影到主视图，得到素线投影。用同样方法求出其他各素线，利用主、俯视图画展开图。

图3-134　求垂直连接两圆管的连接管的素线

七、用投影变换法画蛇形扭曲圆管的展开图

1.三节扭曲弯头展开图的画法

如图3-135所示，在直观图上，表示三节圆管连接右上后和左下前方向的待接圆管。第一节圆管的轴线是正垂线，第三节圆管的轴线是侧垂线，它们在俯视图上都反映实长。在俯视图上等分圆弧画出三节圆管的轴线。向上投影，在主视图上连接2′3′为第二节圆管的轴线。

平行于主视图上中节投影2′3′进行一次投影变换。量取俯视图上点1、2、3、4到x轴的距离，找到11、21、31、41。取中节管轴线2131的中点m作为分界点。在一次投影变换图上，1121、21m两轴线都是新投影面的平行线，轴线反映实长，把两节圆管的投影图画出，两轴线的角分线作为相贯线。

为了求出第二节和第三节的展开图，再垂直于轴线2131进行二次投影变换。量取主视图上各点到x1轴的距离，找到点12、22、32、42。可见，第一节轴线和Ⅱ上相对于Ⅱ下和第三节左旋α°对应的弧长S称为“错心差”。再平行于二次投影变换图上的3242作第三次投影变换，求出第二节上半部分和第三节的投影图。以轴线的角分线作为相贯线。依此图画展开图。

图3-135　三节扭曲弯头的展开图画法

另画圆管展开图，如图3-136所示：用平行线法画出图3-135上的三节圆管展开图，第二节圆管的上下两部分圆管分别画出展开图，然后以错心差S错开两部分，再将第二节移出部分移至左边。依正曲和反曲的不同，错开的方向也不同。

图3-136　三节圆管的展开图

2.四节扭曲圆管弯头展开图的画法

如图3-137所示，直观图表示四节弯管连接右后上和左下前的圆管。

圆管的分节方法是：在俯视图上六等分90°圆弧，连接各分点1、2、3、4、5。由于待连接管的轴线方向必须与弯管两端节的轴线方向一致，第一节和第四节的轴线必须是如图圆弧的切线，即第一节圆管的轴线是正垂线，第四节圆管的轴线是侧垂线。在主视图上，第二节和第三节的轴线确定方法是：均分1′4′间的x坐标差和z坐标差。即1′4′间左右方向均分，上下方向也均分。得点3′。由于圆管间扭曲，要把第二节和第三节圆管都分成两部分，在第二节、第三节圆管的轴线上任取点m、n。

当两节圆管的轴线都平行于投影面时，相贯线才是两轴线的角分线，两轴线都反映实长。为此，要进行投影变换，当圆管轴线投影是一个点时，可求出两管的错心差，当平行于两个圆管的轴线设新投影面时，可求出相贯线和两管实形。

具体画法是：先平行于中间两节圆管的一个进行一次投影变换。图中平行于第三节圆管的轴线3′4′进行一次投影变换。即平行于3′4′设新轴x1，过点1′、2′、n、3′、m、4′、5′作x1轴的垂线，即投影线，量取俯视图上各点到X轴的距离☆1～☆4，得到一次投影变换的轴线上的点11～51。在这个图上，轴线3141成为新投影面的平行线。垂直于3141进行二次投影变换，以使其投影变为一个点。垂直于3141设新轴X2，过点11～51向x2轴投影。量取主视图上轴线各点到X1轴的距离，得点12～52。由二次投影变换图上可以看出，轴线2232相对于4252左旋。为了求出错心差和防止图形过乱，把这个图复制到图3-137的右下角。画上圆管直径，得到m点处的错心差S1，即第三节下半段相对于第三节上半段左旋了S弧长。

在二次投影变换图上，轴线3141成为V1面的垂线，在任何方向进行下一次投影变换都可以得到实长。

平行于轴线2232作第三次投影变换，即平行于第二节和第三节的轴线设新投影面H2。作法是：平行于2232设新轴x3，过12、22、n2、32作投影线，量取11～m1到x2轴的距离，得点13、m3，其中轴线23m3反映实长，可画上圆管的直径，求出两管轴线的角分线，得到相贯线。

平行于3252设新轴x3′，得第四节和第三节的投影图和相贯线。

为了求出第一节和第二节下半部分的实形，要先把轴线n323的投影变为点，再投影变换求出实形。由于图面限制复制n3、23、13到图的上端，经一次投影变换求出错心差S2，再一次投影变换求出第一节和第二节下半部分的实形。

图3-137　四节扭曲圆管弯头的展开图画法

四节圆管的展开图画法如图3-138所示，各管用平行线法展开。各管的展开图均采用正曲。两管间的错心见两个直观图。两管的最短素线间的错心差为S1和S2。在展开图上找到最短素线并错开对应的弧长，完成展开图。

图3-138　四节扭曲弯头分节展开图

八、投影变换法解决斜向型钢问题

型钢在钢结构生产中应用很广，在许多情况下要用到投影变换求出实形后才能画出投影图。如圆管、角钢、槽钢等型钢与球、柱、锥相交，需要求出相贯线并解决板厚问题。一般来说，型钢在外时型钢按里皮放样，型钢在里时型钢按外皮放样。下面举几个求型钢展开的实例。

1.钢管楼梯扶手的展开

如图3-139所示，扶手的转弯处由三根钢管组成，钢管12、34的轴线是侧平线，中节的轴线是侧垂线。在两个方向作投影变换，可以求出两部分的实形。具体作法如下。

图3-139　圆管楼梯转弯扶手的下料样板求法

在侧视图上可以看出，管12相对于管34右旋90°，其错心差S是1/4圆周长。为求出中节的展开图，把中节以点M分为两部分。在侧视图上平行于轴线12、2M设新轴，量取主视图上的各点到z轴的距离，得点13、23、m3，由于两管轴线的投影是实长，而且直径相等，作两管轴线的角分线为相贯线，同理求出另一半的投影。画展开图时，把中节的下半部分画出后，上节的展开图向右位移S，即位移1/4圆周长。

2.一般位置圆管放样图

如图3-140所示，支座的上表面和下面的地脚板都是水平面，圆管的轴线是一般位置直线。在俯视图上，平行于圆管轴线12设新投影面V1，即平行于12画新轴x1，量取主视图上1121到x轴的距离得点1121。用平行线法求出钢管的下料样板。由于下料样板要围在钢管的外面，样板与钢管间有间隙，样板的展开长是圆管外径乘π再加2mm。

图3-140　一般位置圆管的放样图

3.一般位置角钢的展开图

如图3-141所示，角钢的棱线是一般位置直线，平行于主视图上的三条棱线作一次投影变换，量取俯视图上各点到x轴的距离，得到一次投影变换的投影，用平行线法展开。由于图示要求，端面的投影是直角，角钢要劈八字。垂直于反映实长的棱线再作投影变换，即可求出劈八字的角度α。

图3-141　一般位置角钢的展开图

4.斜接角钢

如图3-142所示，斜截角钢中节处于一般位置，在俯视图上可以画出中节的三个棱，而在主视图上不能完整画出。在俯视图上进行一次投影变换后才能画出主视图的各条棱的投影。具体画法是：在俯视图上，平行于角钢的棱线作一次投影变换，在一次变换图上，各条棱线的投影均反映实长，作棱线的角分线得到相贯线，用平行线法展开。由图可见，再经过一次投影变换，角钢的断面仍为直角。

图3-142　斜接角钢的展开图

5.圆锥体内的连接角钢

如图3-143所示，在圆锥体内，角钢水平内接。角钢的上表面是水平面，截圆锥得到圆。角钢的两端是圆弧。角钢的立面与圆锥相截得到双曲线，立面的两端是双曲线的一部分。具体画法是：在主视图上延长角钢的水平面投影到锥体的两边，得到截面圆的直径，再向下投影，画出圆，与俯视图的角钢交出的相贯点，再投回主视图，得到点1、2。再在主视图上延长角钢下缘的投影，投影到俯视图得到交点后，投影回到主视图，得到点5、8。为了求出35、68之间的曲线，再多设几个截面，图中仅增加了一个截面，得到点4、7。由于角钢的棱线是侧垂线，在主视图上均反映实长，量取主视图上的投影长，画出角钢的展开图。

6.槽钢内接圆球

如图3-144所示，圆球内的槽钢由三个平面组成，上下表面是水平面，与球截得圆。对于槽钢的立面，可以用正平面截球体，得到圆，也可以用水平面截球。为了简化线条，图中只沿12截切圆球，在俯视图上得到相应交点后，投影回到主视图得点3、4。在主视图上，槽钢的立面是实形。在俯视图上，槽钢的上下面是实形。

图3-143　求圆锥体内连接角钢的展开图

图3-144　槽钢内接圆球的展开

本章小结

在白铁工、铆工、汽车维修钣金工、维修钳工等实际工作中，经常遇到画展开图的问题。对于一些简单的展开图，用机械制图知识就可以较完美的画出。对于一些主视图、俯视图不能直接画出，必须经投影变换后才能完成主、俯视图的情况，就需要画法几何方面的知识了。钣金工人应该加强画法几何知识的学习，加上一些数学知识，例如三角函数、三角形相似、解析几何等，再加上必备的计算器、计算机知识以及多年的实践经验，就会成为一名高级放样人才。

本章的内容就是把画法几何、机械制图、解析几何、展开图画法几个方面的知识结合起来，详细地介绍了画展开图必备的基础知识。其实，画展开图就是在画点、线、面。本章结合大量的实例阐述了点、线、面间的关系，不厌其烦地研究点、线、面和柱、锥、球，使读者通过学习，可以在画展开图时达到运用自如的境地。

本章的主要内容是：

（1）实用几何作图法、曲线上点的坐标运算、椭圆周长计算等；

（2）国内外制图投影图画法，点、线、面的投影规律及其相互关系；

（3）详细介绍投影变换方法、迹线应用；

（4）介绍用投影变换法解决求相贯线、断面实形、平面间夹角、扭曲件展开、斜向型钢实形等问题的画图原理及具体画法。

对这一章内容多下点工夫研究是大有益处的。