对称要素及对称操作

1.4.1　对称要素及对称操作

晶体上对称地分布着相等同的晶面、晶棱和角顶，使相等同的部分重复所进行的动作称为对称操作。在进行对称操作时，需借助一些想象存在于晶体中的几何要素如点、直线和平面。这样的点、直线和平面称为对称要素。

以食盐晶体所具有的立方体形态为例，来进一步说明对称要素及对称操作。

1．对称面

对称面以符号“P”表示，对称面P是一假想存在于晶体中的平面，该平面把晶体平分为两个相等且成镜像反映的部分。其对称操作是晶体两个相等同的部分在平面P上的反映。

在图1.12中，为突出对称面，用虚线绘出了9个立方体，在每个立方体中以实线绘出的部分表示一个对称面。这是9个方位不同的对称面，实际上在每个立方体中都有这样9个方位不同的对称面存在。每个立方体中的9个对称面以“9P”简示。

图1.12　立方体的9个对称面

2．对称轴

对称轴以符号“Lⁿ”或“”等表示，对称轴是通过晶体Lⁿ中心的假想直线，晶体绕此直线旋转时，晶体上相等同的晶面、晶棱和角顶会重复出现，其对称操作就是晶体绕Lⁿ旋转。

当晶体绕对称轴旋转一周时，晶体上相等同的部分在同一位置重复出现的次数，称为该对称轴的轴次，Lⁿ中的“n”就表示轴次。晶体绕对称轴旋转时使相等部分重复出现的最小旋转角，称为基转角，基转角以“α”表示。轴次和基转角的关系是n= 360°/α。

图1.13中绘出了立方体的对称轴(以实线表示)，在3L⁴图中，立方体对面中心的连线是一对称轴，其基转角为90°，所以立方体对面中心连线为四次对称轴，以L⁴表示。立方体共有六个同形等大的晶面，所以有三个四次对称轴，以3L⁴简示;在6L²图中，立方体对棱中点的连线为一对称轴，其基转角为180°，所以立方体对棱中点连线为二次对称轴，以L²表示。立方体共有12条相等的棱，所以共有六个二次对称轴，以6L²简示。在4图中，是立方体对角顶的连线，以其为对称轴，基转角为120°，所以立方体对角顶连线首先为三次对称轴，理应以L³表示。但如果我们从原始位置开始，只旋转α/2即60°，则旋转后的立方体方位刚好与原始位置的立方体处于交叉对称状态，此时令旋转60°以后的立方体对垂直于L³并通过晶体中心的平面反映，则旋转60°以后的立方体与原始位置立方体完全重合。这样旋转360°，使立方体旋转反映重复六次，故立方体对角顶连线为六次旋转反映对称轴，此轴中包含了一个三次对称轴L³。

六次旋转反映轴，我们以来表示，“3”表示它所包含对称轴的轴次，“6”表示旋转反映轴的轴次。立方体共有八个角顶，所以立方体有四个，以4简示。

图1.13　立方体的对称轴

旋转反映对称轴的对称操作，是绕一直线()的旋转并对通过晶体中心垂直于此直线的平面反映的复合操作。

旋转反映轴除外，还有，如图1.14所示。晶面ABD绕L—L旋转180°，可与同形等大晶面ACD原来所处的位置重合。但若使晶面ABD从原始位置只旋转90°，则晶面ABD旋到了A'B'D'位置，令A'B'D'对垂直于L—L的平面Q反映，则A'B'D'就和同形等大晶面BCD原来所处的位置完全重合。因此，L—L轴为四次旋转反映对称轴，以表示。同样，轴中也包含着一个二次对称轴L²。显然，L的右上角和右下角的数字所表示的意义与是相同的。旋转反映轴的代表符号为。旋转反映轴往往由反映晶体外形对称的另一对称要素“旋转反伸对称轴”(亦称像转反伸轴)L_n i所代替。旋转反伸轴的对称操作是晶体绕该轴旋转一定角度后再对位于此轴上的一点反伸。如图1.15所示，晶面ABCD绕L—L旋转120°，可与同形等大晶面BFEC所处的位置重合，旋转240°可与同形等大晶面FADE所处的位置重合，旋转360°则复原重合。如令晶面ABCD绕L—L只从原始位置旋转60°，到达图示A'B'C'D'位置，再对中心O点反伸，则可与同形等大晶面EDAF重合。这样旋转360°，ABCD晶面通过绕L—L轴旋转和对O点的反伸的对称操作，共造成该晶体同形等大晶面的六次重合，此时L—L轴可命名为6次旋转反伸轴，以示之。依此类推，旋转反伸轴还有。它们与其他对称要素的关系是= L³ P，== L³ C，= P，=C。

图1.14　具有的晶形

1.15　具有的晶形

3．对称中心

对称中心以符号“C”表示，对称中心C是位于晶体中心的一点，通过此点的直线向两个相反方向延伸，此直线和一对晶面或一对晶棱或一对角顶相交时，二交点与对称中心间的距离相等。

存在对称中心的晶体，如立方体只有一个对称中心。凡是晶体或者无对称中心存在，或者有对称中心存在，但只有一个。以立方体晶形为晶体外形对称要素及对称操作。所有晶体外形的全部对称要素有:对称中心C;对称面P;对称轴L²，L³，L⁴，L⁶;旋转反映轴以及可以与上述对称要素互代的旋转反伸轴。与其相对应的对称操作，则是对一点的反伸，对一平面的反映，绕一直线的旋转，绕一直线旋转和对垂直该直线平面的反映，以及绕一直线旋转和对该直线上一点的反伸。

晶体中不存在五次及高于六次的对称轴。这一结论，可从图1.16中垂直于对称轴的晶体内部断面构造单位可能存在和不可能存在的排列情况加以说明。

(a)格子构造中构造单位可能存在的排列;(b)晶体中构造单位不可能的排列

图1.16　晶体对称的有限性

图1.16(a)说明，晶体内部的构造单位排列服从于格子构造规律。而图1.16(b)说明，假若有“L⁵”或“L⁷”存在的话，那么垂直于“L⁵”或“L⁷”的构造单位排列应是正五边形或正七边形。但正五边形和正七边形排列的最终结果，不能占据整个构造空间，剩余了如图示绘平行线的部分。这种情况不符合晶体的格子构造中相当的构造单位周期性重复排列的规律性，以及晶胞有规则无间隙地在晶体内紧密堆砌的情况。

因此，晶体不存在五次及高于六次的对称轴。晶体的这一性质，说明了晶体对称是有限的，即晶体对称的有限性，显然决定于晶体的内在本质。