数学形态学（mathematical morphology）是数字图像处理领域中的一门新兴学科，是用于数字图像处理和识别的新方法，是研究数字影像形态结构特征与快速并行处理方法的新理论。该学科最早起源于对岩相学的定量描述工作，是由法国地质统计学家马瑟荣和塞拉于1964年创立的［88］。当时，法国巴黎矿业学院的马瑟荣（Matheron）正在从事多孔介质的透气性与其几何形状或纹理之间关系的研究工作。赛拉（Serra）在马瑟荣的指导下进行铁矿石的定量岩相学分析，预测其可分选性的博士论文研究工作。在研究过程中，塞拉摒弃了传统分析方法，并与Klein建立了一个数字图像分析设备，并将它称作“纹理分析器”。随着研究与分析工作的不断深入，赛拉逐渐形成了击中击不中变换的概念，其研究专著《随机集合和积分几何》及《图像分析与数学形态学》为数学形态学奠定了理论基础［89］。美国科学家Sterberg发表《灰度形态学》后［90］，促使科学家们在图像处理领域内进行了大量卓有成效的研究。
数学形态学是一门建立在集合论基础之上的学科，并溶入了几何概率理论和整形几何理论。它用集合论来描述二值图像目标、图像各部分之间的关系，说明目标结构特点，是几何形状分析和描述的有力工具。其基本内容是借助不同形状的结构元素与图像间的一系列结构变化来处理和分析图像，通过应用特定领域的形态变换来完成图像几何特征分析。数学形态学中的各种变换可以对图像进行观察和处理，从而达到改善图像质量的目的，其运算、概念和算法在于描述和定义图像的基本特征或基本结构，例如图像的面积、周长、连通度、颗粒度、骨架方向性等等。
数学形态学又是一门密切结合实际的学科，处理方法简单、易于实现。近年来，数学形态学已形成一种新的图像处理分析方法和理论，并在数字图像处理、计算机视觉与模式识别、遥感、地质学、生物医学、机器人视觉、工业自动控制、军事、公安、邮电、体育及考古等等众多领域中得到越来越广泛的应用［91］。Skolnick等采用形态滤波和分割模型分析生物细胞图像中的电泳凝胶［92］。叶常青采用形态滤波法处理显微细胞涂片图像［93］。唐慧明采用形态分割法分割锰结核成像中的结核颗粒，以推测矿藏量［94］。Meer等运用形态学的几何和拓扑度量模型分析沉积岩电镜图像中微粒的大小、圆度、均匀性等特征［95］。Matsopoulous等运用形态滤波法提取颅损伤超声波图像中的颅腔并测量其直径［96］。Dwi Anoranainnrum、陆建峰、孙忠林等利用数学形态学腐蚀模型，根据细胞的形态特征进行分割处理，将粘连的细胞群分离成单个细胞，实现细胞分离，便于分析和识别细胞［97～99］。刘秉瀚等利用数学形态学中的距离变换和膨胀技术，找出重叠细胞堆中各细胞的连接点，建立了一个基于数学形态学的重叠细胞自动分离方法［100］。杜光伟等通过数学形态学滤波、各向异性滤波等模型对MRA图像进行自动分割和分割结果的可视化，提出了一种新的基于MRA图像的自动分割算法，该算法能有效地用于图像导引神经外科［101］。到目前，数学形态学的应用领域正在不断拓宽。
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