任务描述
某挡土墙高h=5m，墙背竖直，填土表面水平，填土为砂土，其重度γ=18 k N/m3，内摩擦角 =30ϕ °。试确定挡土墙的主动土压力及其作用点，并绘出主动土压力强度分布图。
任务分析
在土木工程中，为防止土体坍塌，通常采用各种构筑物支挡土体，这些构筑物称为挡土墙。而被支持的土体作用于挡土墙上的侧向压力，称为土压力。土压力是挡土墙所受的主要外荷载，其计算十分复杂，它与填土的性质、挡土墙的形状和位移方向以及地基土质等因素有关。目前，大多采用古典的朗肯和库仑土压力理论来计算。
相关知识
一、土压力的类型
根据挡土墙的位移情况和墙后土体所处的应力状态，可将土压力分为以下三种。
1．主动土压力
当挡土墙向离开土体方向偏移至墙后土体达到极限平衡状态时，作用在墙背上的土压力称为主动土压力，用Ea表示，如图3-1（a）所示。
2．被动土压力
当挡土墙在外力作用下向土体方向偏移至墙后土体达到极限平衡状态时，作用在墙背上的土压力称为被动土压力，用Ep表示，如图3-1（b）所示。拱桥桥台在桥上荷载作用下挤压土体并产生一定量的位移，则作用在台背上的侧压力属于被动土压力。
3．静止土压力
当挡土墙静止不动，墙后土体处于弹性平衡状态时，作用在墙背上的土压力称为静止土压力，用E0表示，如图3-1（c）所示。地下室外墙、地下水池侧壁、涵洞的侧壁以及其他不产生位移的挡土构筑物均可按静止土压力计算。
图3-1 三种土压力
（a）主动土压力；（b）被动土压力；（c）静止土压力
静止土压力犹如半空间弹性变形体在土的自重作用下无侧向变形时的水平侧压力，如图3-1（c）所示。故填土表面下任意深度h处的静止土压力可按下式计算：
式中 K0——土的侧压力系数或静止土压力系数；
γ——墙后填土的重度（k N/m3）。
E0的作用点在距离墙底h/3处，即静止土压力强度分布图形的形心处。
上述三种土压力与挡土墙位移的关系如图3-2所示。实验研究表明，产生被动土压力所需的位移量 pΔ 比产生主动土压力所需的位移量 aΔ 要大得多。在相同的条件下，主动土压力小于静止土压力，而静止土压力小于被动土压力，即Ea＜E0＜Ep。
图3-2 土压力与墙体位移的关系
二、朗肯土压力理论
1．基本假定
朗肯（Ran Kine，1857）土压力理论是根据弹性半空间的应力状态和土的极限平衡条件而得出的土压力计算方法，其基本假设如下：
（1）墙背竖直光滑，与填土间无摩擦力；
（2）墙后填土表面水平。
2．主动土压力计算
如图3-3所示，主动土压力强度和主动土压力可按下式计算：
黏性土
Ea
作用方向水平，作用点距墙基（h-z0 ）/3。
图3-3 主动土压力分布强度图
（a）主动土压力的计算；（b）无黏性土压力的分布；（c）黏性土压力的分布
无黏性土σa=γztan2（45°-ϕ/2）或σa= γz Ka（3-4）
式中 σa——主动土压力强度；
Ka——主动土压力系数，Ka=tan（245D-ϕ/2）；
c——填土的黏聚力（k Pa）。
Ea作用方向水平，作用点距墙基h/3。
3．被动土压力计算
如图3-4所示，被动土压力强度和被动土压力可按下式计算：
图3-4 被动土压力强度分布图
（a）被动土压力的计算；（b）无黏性土土压力的分布；（c）黏性土土压力的分布
黏性土
无黏性土
σ p=γ z Kp（3-8）
式中 σ p——被动土压力强度；
Kp——被动土压力系数，Kp=tan2（245°+ϕ/2）。
被动土压力 pE通过三角形或梯形压力分布图的形心，形心位置可通过一次求矩得到。
三、库仑土压力理论
1．基本假定
（1）墙后填土是理想的散粒体（黏聚力c=0）；
（2）滑动破裂面为通过墙踵的平面。
库仑土压力理论适用于砂土或碎石填料的挡土墙，可考虑墙背倾斜、填土面倾斜以及墙背与填土的摩擦等多种因素的影响。分析时按平面问题考虑，一般沿长度方向取1 m考虑。
2．主动土压力计算
如图3-5所示，由力的平衡条件可得
式中 aK——库仑主动土压力系数，按下式计算：
式中 ε——墙背与垂直线的夹角（°），俯视时取正号，仰视时取负号；
β——填土表面与水平面的夹角（°）；
δ——填土与墙背的外摩擦角（°）；
ϕ——填土的内摩擦角（°）。
图3-5 库仑主动土压力计算图
（a）土楔体ABC上的作用力；（b）力矢三角形；（c）主动土压力分布
当墙背垂直 =0ε（ ）、光滑 =0δ（ ）、填土面水平 =0β（ ）时，式（3-11）变为Ka=tan2（245°-ϕ/2）。由此可见，在上述条件下，库仑主动土压力公式与朗肯主动土压力公式相同，说明朗肯理论是库仑理论的一个特例。
3．被动土压力计算
如图3-6所示，由平衡条件可得：
式中 K p——库仑被动土压力系数，按下式计算：
图3-6 库仑被动土压力计算
（a）土楔ABC上的作用力；（b）力矢三角形；（c）被动土压力分布
当墙背垂直 0ε（ =）、光滑 0δ（ =）、填土面水平 0β（ =）时，式（3-13）变为Kp=tan2 （45°+ϕ/2）。由此可见，在上述条件下，库仑被动土压力公式与朗肯被动土压力公式也相同，再次说明朗肯理论是库仑理论的一个特例。
任务实施
（1）根据已知条件可知，主动土压力的计算可采用朗肯土压力理论计算。
（2）墙底处（z=h=5m）的主动土压力强度。
（3）主动土压力强度呈三角形分布，如图3-7所示。
图3-7 主动土压力强度分布图
（4）主动土压力。
（5）主动土压力作用点距墙底。
拓展提高
一、工程中常见土压力计算
1．填土表面有均布荷载
如图3-8所示，当墙后土体表面有连续均布荷载q作用时，填土表面下深度为z处的竖向应力σz=q+γz。则主动土压力和被动土压力强度为
图3-8 填土表面有均布荷载
无黏性土
σ a= γ（ z+q）Ka （3-14）
σ p= γ（+z q）Kp （3-15）
黏性土
2．成层填土
当挡土墙后填土由不同性质的水平土层组成时，计算挡土墙上的土压力需分层计算。其主动土压力强度和被动土压力强度的计算公式如下：
无黏性土
σ ai=（γ1h1+γ2h2+…+γihi）Kai（3-18）
σ pi=（γ1 h1+γ2 h2+ …+γi hi ）Kpi （3-19）
黏性土
3．墙后填土中有地下水
当墙后填土中有地下水时，作用在墙背上的侧压力由土压力和水压力两部分组成。计算土压力时，假设水上、水下土的内摩擦角、黏聚力及墙与土之间的摩擦角相同，地下水位以下取有效重度进行计算，总侧压力为土压力和水压力之和。如图3-9所示，abdec部分为土压力分布图，cef部分为水压力分布图。
图3-9 填土中有地下水
二、挡土墙设计
（一）挡土墙类型
常用的挡土墙有重力式、悬臂式、扶壁式、锚杆及锚定板式和加筋式等。
1．重力式挡土墙
如图3-10所示，重力式挡土墙一般由砖、石或混凝土材料砌筑而成，截面尺寸较大。依靠墙身自重产生的抗倾覆力矩来抵抗土压力引起的倾覆力矩，墙体抗拉强度较低。适用于高度小于6m，地层稳定，开挖土石方时不会危及相邻建筑物安全的地段。
重力式挡土墙结构简单，施工方便，可就地取材，因此在建筑工程中应用较广。根据墙背的倾斜方向可将其分为俯斜、垂直和仰斜三种形式。
图3-10 重力式挡土墙
（a）俯斜；（b）垂直；（c）仰斜
2．悬臂式挡土墙
如图 3-11（a）所示，悬臂式挡土墙一般用钢筋混凝土建造，墙体的稳定主要依靠墙踵底板上的土重来维持，墙体内的拉应力则由钢筋来承担。因此，墙身截面较小，适用于墙高大于5 m，地基土质较差，缺少石料等情况。多用于市政工程及贮料仓库。
图3-11 挡土墙类型
（a）悬臂式挡土墙；（b）扶壁式挡土墙；（c）锚杆式与锚定板式挡土墙
3．扶壁式挡土墙
如图3-11（b）所示，当墙高大于10m时，为了增强悬臂式挡土墙中立臂的抗弯性能，沿墙的纵向每隔一定距离设置一通扶壁，故称为扶壁式挡土墙。一般用于重要的大型土建工程。
4．锚杆式与锚定板式挡土墙
如图3-11（c）所示，锚杆式挡土墙由预制的钢筋混凝土立柱、墙面、钢拉杆组成，拉杆嵌入坚实岩层中并灌入高强度砂浆锚固。锚定板式挡土墙则是在钢拉杆的端部增加钢筋混凝土预制锚定板，并将其埋置在填土中，依靠填土与结构的相互作用力维持其自身稳定。与重力式挡土墙相比，其结构轻便、柔性大、工程量小、造价低、施工方便，适用于地基承载力不大的地区。
5．加筋式挡土墙
如图3-12所示，加筋式挡土墙由墙面板、加筋材料及填土共同组成，依靠拉筋与填土之间的摩擦力来平衡作用在墙背上的土压力以保持稳定。
图3-12 加筋式挡土墙
（二）重力式挡土墙设计
1．挡土墙截面尺寸设计
挡土墙的截面一般按试算法确定。即先根据挡土墙的工程地质、填土性质以及墙体材料和施工条件等，凭经验初步拟定截面尺寸，然后进行挡土墙的验算。如不满足要求，则修改截面尺寸或采取其他措施。
（1）挡土墙高度
挡土墙的高度一般由任务要求确定。
（2）挡土墙的顶宽和底宽
挡土墙墙顶宽度，一般块石挡土墙不应小于 400mm，混凝土挡土墙不应小于 200mm。底宽由整体稳定性确定，一般为0.5～0.7倍的墙高。
2．挡土墙的计算
重力式挡土墙的计算通常包括以下内容：
（1）稳定性验算
①抗倾覆稳定性验算
图3-13 挡土墙抗倾覆稳定验算示意图
如图3-13所示，在墙体自重G、土压力Ea的作用下，挡土墙有绕墙趾 O点倾覆的可能。《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）规定抗倾覆稳定性安全系数Kt（抗倾覆力矩与倾覆力矩的比值）应满足下式：
其中Eax=Easin(α−δ)Eaz=Eacos(α−δ)
x f=b−zcosαz f=z−btanα0
式中 z——土压力作用点离墙踵的高度（m）；
b——基底的水平投影宽度（m）；
E ax ，Eaz——主动土压力的水平和垂直分量（k N/m）；
xf， zf——分别为Eaz、Eax对O点的水平距离和垂直距离（m）；
x0——挡土墙重心离墙趾的水平距离（m）；
G——挡土墙每延米的自重（k N/m）；
α——挡土墙墙背与水平面的倾角（°）；
δ——土对挡土墙墙背的摩擦角（°）；
图3-14 挡土墙抗滑移稳定验算示意图
α0——挡土墙的基底面与水平面的倾角（°）。
若验算结果不满足式（3-22）的要求时，可采取增大挡土墙截面尺寸、伸长墙趾、将墙背做成仰斜式、在挡土墙后做卸荷台等措施。
②抗滑移稳定性验算
如图3-14所示，在土压力作用下，挡土墙有沿基底发生滑移的可能。《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）规定抗滑移稳定性安全系数 s K（抗滑力与滑动力的比值）应满足下式：
其中Gn=Gcosα0，Gt=Gsinα0
E at=Ea sin(α−α0−δ)
E an=Ea cos(α−α0−δ)
式中 nG， tG——分别为挡土墙自重在垂直和平行于基底平面方向的分力；
E at，Ean——分别为主动土压力E a在平行和垂直于基底平面方向的分力；
μ——土对挡土墙基底的摩擦系数。
若验算结果不满足式（3-23）的要求时，可采取增大挡土墙截面尺寸、在挡土墙底面做砂石垫层、将墙底做成逆坡等措施。
③整体滑动稳定性验算
当地基软弱时，基底滑动可能发生在地基持力层之中，可采用圆弧滑动面法验算地基的稳定性。
（2）地基承载力验算
挡土墙的地基承载力验算，应同时满足下列公式：
σ max≤1.2fa （3-25）
另外，基底合力的偏心距不应大于0.2倍基础的宽度。
（3）墙身强度验算
墙身强度验算，与一般砌体构件相同。
3．构造
（1）墙背的倾斜形式
墙背的倾斜形式应根据使用要求、地形和施工条件等综合确定。从受力情况看，主动土压力以仰斜最小，垂直居中，俯斜最大。一般挖坡筑墙，宜采用仰斜式，此时土压力最小且墙背与边坡贴合紧密；若填方筑墙，则墙背宜采用垂直或俯斜式，此时便于填土夯实；而在坡上建墙，则宜用垂直式，因为此时仰斜墙身较高，俯斜则土压力太大。墙背仰斜时其坡度一般不宜大于1∶0.25（高宽比），墙面坡应尽量与墙背坡平行。
（2）基底逆坡
为了增强墙身的抗滑稳定性，可在基底设置逆坡。对于土质地基，基底逆坡坡度不宜大于1∶10；对于岩质地基，基底逆坡坡度不宜大于1∶5。
（3）墙趾台阶
为了降低基底压力，增大抗倾覆力矩，可加设墙趾台阶，其高宽比可取h∶a=2∶1， a不得小于20cm。
（4）基础埋置深度
重力式挡土墙的基础埋置深度，应根据地基承载力、水流冲刷、岩石裂隙发育及风化程度等因素进行确定。在特强冻胀、强冻胀地区应考虑冻胀的影响。在土质地基中，基础埋置深度不宜小于0.5m；在软质岩地基中，基础埋置深度不宜小于0.3m。
（5）伸缩缝
重力式挡土墙应每间隔10～20m设置一道伸缩缝。当地基有变化时宜加设沉降缝。在挡土结构的拐角处，应采取加强的构造措施。
（6）排水措施
挡土墙常因排水不良而使填土中大量积水，导致土的抗剪强度降低、重度增加、土压力增大、地基软化，有时还会受到水的渗流或静水压力的影响，结果造成挡土墙的破坏。因此，对于可以向坡外排水的挡土墙，应在挡土墙上设置排水孔。排水孔应沿着横竖两个方向设置，其间距宜取2～3m，排水孔外斜坡度宜为5%，孔眼尺寸不宜小于100mm。挡土墙后面应做好滤水层，必要时应做排水暗沟。当挡土墙后面有山坡时，应在坡脚处设置截水沟。
（7）填土质量要求
挡土墙后的填土，应选择透水性强的填料，如砂土、砾石、碎石等。
凡软黏土、成块的硬黏土、膨胀土、耕植土等，因性质不稳定，干缩湿胀，将使挡土墙产生额外的土压力，影响挡土墙的稳定性，故不能作为填料。
当采用黏性土做填料时，宜掺入适量的碎石。在季节性冻土地区，应选择炉渣、碎石、粗砂等非冻胀性填料。
三、土坡稳定分析
工程中的土坡包括天然土坡和人工土坡。天然土坡是指天然形成的山坡和江河湖海的岸坡。人工土坡则是指由于开挖基坑、路堑或填筑路堤、堤坝等形成的边坡。
土坡稳定分析的目的是设计出土坡在给定的条件下合理的断面尺寸或验算土坡已拟定的断面尺寸是否稳定和合理。
（一）影响土坡稳定的因素
1．外界力的作用破坏了土体内原有的应力平衡状态
（1）土坡作用力发生变化
例如，在坡顶堆放材料或建造建筑物使坡顶受荷，或因打桩、车辆行驶、爆破、地震等引起振动改变了原来的平衡状态。
（2）静水力的作用
例如，雨水或地表水流入土坡中的竖向裂缝，对土坡产生侧向压力，从而促进土坡的滑动。
（3）渗流力的作用
地下水在土坝或基坑等边坡中渗流引起渗流力。
2．土的抗剪强度降低
气候等自然条件的变化使土中含水量发生变化，出现收缩、膨胀、冻融现象，从而使土变松，抗剪强度降低；雨水或地表水浸入土坡，使土中含水量增大或孔隙水压力增大，导致抗剪强度降低；因打桩、爆破或地震力的作用引起土的液化，强度降低。
另外，边坡岩石的性质及地质构造，边坡的坡形与坡度也是影响土坡稳定的重要原因。
图3-15 无黏性土坡的稳定性
（二）无黏性土坡稳定性分析
由于无黏性土颗粒之间无黏聚力，只有摩擦力，因此，只要坡面不滑动，土坡就能保持稳定。如图 3-15所示，无黏性土坡坡角为β，某土颗粒M所受重力为W，它的切向分力为T，法向分力为N，砂土内摩擦角为ϕ。在稳定状态时，阻止土块滑动的抗滑力必须大于土块的滑动力，故用抗滑力与滑动力之比作为评价土坡稳定的安全度，这个比值称为土坡稳安全系数k，即
当 1k≥ ，即tan tanβ≤ ϕ或β ϕ≤ 时，土坡稳定，而且与坡高无关。当 =1.0k 时，土坡处于极限平衡状态， =βϕ，此坡角称为自然休止角。为保证土坡有足够的安全储备，可取k=1.1～1.5。
（三）黏性土坡稳定性分析
黏性土坡的稳定分析，一般采用调分法。由于篇幅限制，这里不再详述。
拓展实训
一、填空题
1．根据墙的位移情况与墙后土体的应力状态，土压力分为______________ 、______________ 、______________ 。
2．主动土压力是墙______________ 填土移动，被动土压力是墙______________ 填土移动，并且墙后填土处于______________ 状态。
3．三种土压力中，土压力值最小的是______________ ，位移量最大的是______________ 。
4．工程中的土坡包括 ______________和______________ 。
5．常用的挡土墙有______________ 、______________ 、______________ 、______________ 和加筋式等。
6．重力式挡土墙的计算包括______________ 、______________ 和______________ 。
二、简答题
1．什么是土压力？
2．什么是主动土压力？什么是被动土压力？
3．朗肯土压力理论的基本假定是什么？适用范围如何？
4．库仑土压力理论的基本假定是什么？适用范围如何？
5．挡土墙的结构类型有哪些？
6．挡土墙填土的质量要求是什么？
7．影响土坡稳定性的因素有哪些？
三、工程案例题
1．某挡土墙，高度为4m，墙背垂直光滑，填土面水平。填土为黏性土，其物理力学性质指标如下： =20ϕ °， 10c= k Pa， =20γ k N/m3。试计算该挡土墙主动土压力及其作用点，并绘出主动土压力强度分布图。
2．某挡土墙，高度为5m，墙背垂直光滑，填土面水平。填土为黏性土，其物理力学性质指标如下： =20ϕ °， 10c= k Pa， =20γ k N/m3。试计算该挡土墙被动土压力及其作用点，并绘出被动土压力强度分布图。
课外学习指要
深入了解土压力计算理论及相关知识，可查阅下列资料：
（1）中华人民共和国国家标准．GB50007—2011建筑地基基础设计规范[S]．北京：中国建筑工业出版社，2011.
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