圆周率的计算

1　圆周率的计算

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圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，它定义为圆形之周长与直径之比，它也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。

祖冲之（429─500）是我国南北朝时期杰出的数学家、科学家，生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任南朝宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时进入华林学省，从事学术活动。一生先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

祖冲之小时候祖父经常给他讲一些科学家的故事，其中张衡发明地动仪的故事深深地打动了祖冲之幼小的心灵。

祖冲之经常随祖父去建筑工地，晚上，在那里他经常同农村小孩儿们一起乘凉、玩耍。

祖冲之不喜欢读古书。5岁时，父亲教他学《论语》，两个月他也只能背诵十几句，气得父亲又打又骂。他更喜欢数学和天文学。

一天晚上，祖冲之躺在床上想起白天老师说的“圆周是直径的3倍”，觉得这话似乎不对。

第二天早，他就拿了一段妈妈绱鞋子的绳子，跑到村头的路旁，等待过往的车辆。

一会儿，来了一辆马车，祖冲之叫住马车，对驾车的老人说：“让我用绳子量量您的车轮，行吗？”老人点点头。

祖冲之用绳子把车轮量了一下，又把绳子折成同样大小的3段，再去量车轮的直径。量来量去，他总觉得车轮的直径没有1/3的圆周长。

祖冲之站在路旁，一连量了好几辆马车车轮的直径和周长，得出的结论是一样的。

祖冲之

这究竟是为什么？这个问题一直在他的脑海里萦绕。他决心要解开这个谜。

古代马车的车轮

经过多年的努力学习，祖冲之研究了刘徽的“割圆术”。所谓“割圆术”就是在圆内画个正6边形，其边长正好等于半径，再分12边形，用勾股定理求出每边的长，然后再分24、48边形，一直分下去，所得多边形各边长之和就是圆的周长。

祖冲之非常佩服刘徽这个科学方法，但刘徽的圆周率只得到96边，得出3.14的结果后就没有再算下去，祖冲之决心按刘徽开创的路子继续走下去，一步一步地计算出192边形、384边形以求得更精确的结果。

割圆术示意图

当时，数字运算还没利用纸、笔和数码进行演算，而是通过纵横相间地罗列小竹棍，然后按类似珠算的方法进行计算。

知识拓展

刘　徽

刘徽（约225—295）是魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学 理论的奠基者之一，是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思想敏捷，研究方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

祖冲之在房间地板上画了个直径为3.3米的大圆，又在里边做了个正6边形，然后摆开他自己做的许多小木棍开始计算起来。

此时，祖冲之的儿子祖暅已经13岁了，他也帮着父亲一起工作，两人废寝忘食地计算了十几天才算到96边，结果比刘徽的少6.6666666666667×10^-6米。

祖冲之对父亲说：“我们计算得很仔细，一定没错，可能是刘徽错了。”祖冲之却摇摇头说：“要推翻他一定要有科学根据。”于是，父子俩又花了十几天的时间重新计算了一遍，证明刘徽是对的。

祖冲之为避免再出误差，以后每一步都至少重复计算两遍，直到结果完全相同才罢休。

祖冲之从12 288边形，算到24 567边形，两者相差仅0.000 000 1。祖冲之知道从理论上讲，还可以继续算下去，但实际上无法计算了，只好就此停止，从而得出圆周率必然大于3.141 592 6，而小于3.141 592 7。

刘徽

很多朋友知道了祖冲之计算的成绩，纷纷登门向他求教。之后，祖冲之又进一步得出圆周率的密率是355／113，约率是22／7。直到1 000多年后，德国数学家鄂图才得出相同的结果。

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卡瓦列利原理

在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名，这个方法的基本思想是：线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的，点、线、面分别就是线、面、体的不可分量，在《几何学》第7卷定理1，卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。