中学数学创新教育初探

中学数学创新教育初探

胡德喜

根据新的课改精神和教育理念，我们的教育必须在培养学生的创新意识和创新能力上有所突破。教师的角色不再只是知识的传授者，学生也不再是知识的被动接受者，教师与学生是知识的共同再造者。本文试图通过对若干数学例题的分析，阐明在数学教学中如何培养学生的创新意识和创新能力。

人们通常指的“创新”，是指通过某种智力活动发现未知的东西。其实这只是创新含义的一个侧面，“创新”的另一个侧面是开发人的潜能，创造出一种人们前所未有的认知能力。事实上，每个人都会有其潜在的、尚未开发的能力，因而人人都具有创新的可能。认识到这一点，人们就不会对“创新”感到那样的高不可攀。然而，创新毕竟是一项开拓性的工作，因而它需要具备一定的超越原有知识结构的兴趣和冲动。与数学教学相伴的“创新教育”应融于数学教学的过程之中，激发学生学习数学知识的兴趣，激发学生追求数学规律的欲望，让学生在不断的探索中获得满足。

一、在知识的扩展中培养学生的创新意识

例1．1设x＞0，求证:

学生熟悉“算术—几何”不等式，因而容易发现:

尽管，但(2)，(3)两式并不能直接相加，如何才能相加?进一步观察能够发现:

而要证(1)，只要证(4)。但由(2)，(3)有

于是，，于是(4)成立，因而(1)得证

进一步观察不等式(1)的特点:

引导学生猜测，会不会有如下的不等式?

一般情形，设x＞0，记f₀(x)=x，f₁(x)=f₀(x)+，

此时，是否会有f_n(x)≥f_n(1)?且等号成立→x=1?这一猜想的正确性与否，给学生一种悬念，一种“好奇”，唤起了他们的创新潜能。

所以，针对式子容易想到的一个问题是:

对于是否无限增大，也就是说

，那么A₄(x)≥?一般情况A_n(x)≥?

这样对于问题的逐步扩展就可能导致真正的创造性成果。

二、观察与想象是创新的基本途径

例2．1在平面上，1条直线把平面分成两部分，2条直线把平面分成3或4部分，3条直线把平面分成4或6或7部分，那么在空间中，1个平面，2个平面，3个平面能把空间分成几部分?

同学们自学了课本内容之后，知道空间的平面是无限延展的，那么，n个平面最多能把空间分成几部分，首先观察n=1，2，3的简单情形:

通过观察与想象，学生可得出结论:1个平面最多把空间分成2部分，2个平面最多把空间分成4部分，3个平面最多把空间分成8部分。教师此时还可以进一步设疑:假定n个平面最多能把平面划分为f(n)个部分，能否找到f(n)的显示表达式呢?

三、恰当地提出问题是创新的一个重要环节

若要培养学生的创新精神，教师要处处注意创设有创意的问题。

例3．1利用数学归纳法容易证明基本等式1+3+5+…+(2n－1)=n²，它可以理解为自然数n的平方可以写成n个奇数的和，教师可以提出问题:

问题1:自然数的立方能否写成n个奇数的和?具体讲，即1³，2³，3³，4³，…是否可以写成n个奇数的和?学生经过仔细观察、验算，可以列出等式:

1³=2，2³=3+5，3³=7+9+11，4³=13+15+17+19

从以上4个等式能否猜想:任意自然数n的立方可以写成连续的奇数的和吗?如何证明?证明的关键是找到第一个数和最后一个数。

设第一个数为x，从该数开始n个奇数的和应该有n(x+n－1)=n³即x=n²－n+1，所以最后一个数是n²－n+1

即n³=(n²－n+1)+(n²－n+3)+…+(n²+n－1)=

问题2:n²，n³都能写成n个连续奇数之和，那么n⁴，n⁵，…，又能怎样表示呢?一般地n^m(m∈N)是否可以写成n个连续奇数的和呢?答案是肯定的，学生可以按照上述思考方法得出结论，并加以证明。

问题1、2的提出，特别是命题的发现过程，体现了由特殊到一般、由简单到复杂、由感性到理性的认识发展过程，运用了联想、类比、一般化的方法，有利于培养学生的创新能力。

四、善于归纳总结，巩固和提高创新思维效果

数学学习本身应是一个充满创新思维活动的过程，在每一个阶段我们都应该及时地进行归纳、总结、纵横对比、深入挖掘，进行多角度、全方位的探求，努力培养学生的多元化思维和创新意识。

例4．1已知棱长为a的正方体ABCD－A₁ B₁ C₁ D₁，求异面直线BD与B₁ C间的距离。

再者，我们还应善于结合一些来自生活、生产的实际问题，引导学生努力探究、认真分析、进行积极训练。如:车轮为什么要求是圆的，防洪堤坝加宽、加高的土方数，一个破损的零件如何构出其完整的复原图，等等。这些实际问题既巩固了学生的基本知识，锻炼了学生综合运用知识的能力;亦拓展了学生的聪明才智，激发了学生的学习热情与学习积极性;更进一步鼓励学生大胆探求和勇于创新，为全面培养和发展学生的创新精神和创造能力提供了一种有效的方法和途径。