一维方势垒与隧道效应

1．隧道效应

在两块相同的金属间夹一薄层绝缘介质，金属中的自由电子穿越介质层的现象就是隧道效应的一个实例。方势垒就是从这种实际问题中抽象出来的一种物理模型。介质层相对于自由电子来说，就相当于是一个势垒，而粒子能够穿过比其能量更高的势垒的现象就称为隧道效应。这就好比在山下开挖一条隧道，汽车无须翻越山顶，直接由隧道就可以到达山的另一侧。

下面讨论粒子在一维方势垒中运动的规律。

如图18－3－3所示，能量为E的粒子沿x轴正向入射到一维方势垒，一维方势垒的势能函数为

图18－3－3 一维方势垒

下面主要讨论粒子在能量E＜U0的情况下通过方势垒的透射问题。

根据给定的势能函数列出定态薛定谔方程，得

在Ⅰ区（x≤0）：

在Ⅱ区（0＜x＜a）：

在Ⅲ区（x≥a）：

令k＝k＝ ，k＝，则在不同区域中，定态薛定谔方程分别为132

解上述方程，得

按照经典力学的观点，若E＜U0，则粒子不能穿透势垒，将全部被反弹（散射）回去。

按照量子力学的观点，应用定态薛定谔方程解出的波函数ψ1（x）、ψ2（x）、ψ3（x）均不为零。这说明粒子除了可能被反弹回去之外，还有可能穿透势垒，也就是说，粒子能够穿过比其能量更高的势垒，这种现象就是前面介绍的隧道效应。

入射的粒子数与入射波的概率密度成正比，透射的粒子数与透射波的概率密度成正比，即

图18－3－4 一维方势垒的量子隧道效应

利用波函数及其导数在x＝0和x＝a处连续的条件，可求得波函数的待定系数A和C，将它们代入上式就可计算透射系数，得

若粒子能量E很小，以致k2a≫1，则式（18－3－17）可写为

其中

由式（18－3－18）可见，对于质量和能量E一定的粒子，透射系数D随着势垒高度U0和势垒宽度a的增加而呈指数衰减。而在一般情况下，透射系数D≠0，扫描隧道显微镜（STM）就是根据这个原理制成的。

隧道效应是一种量子效应，类似于光波在非均匀介质中的传播情况。光波入射到不同介质界面时，既有反射的可能，也有折射透过第二种介质的可能，所以隧道效应被认为是微观粒子波动性的表现。

2．扫描隧道显微镜

扫描隧道显微镜主要是当“眼”来用的，用于观察材料表面的细微结构，能够提供材料表面结构的清晰照片，其分辨本领可以达到单个原子的尺寸。

其工作原理如图18－3－5所示，一根非常尖细的导体探针置于材料表面上方，在针尖与材料之间加上一微小电压，当两者非常接近时（间距通常小于1nm），由于量子隧道效应，样品表面内的一部分电子能够穿过表面势垒，到达表面外形成一层“电子云”，在电压的作用下，电子会定向到达针尖，从而形成隧道电流。此隧道电流的大小对针尖与样品表面间的间隙距离的变化十分敏感，因此当探针在具有高低起伏的材料表面水平扫描时，隧道电流将敏感地发生变化，最后经过计算机处理，就可以显示出样品表面的“地形”构造。和实际尺寸相比，这一图像可放大到1亿倍。图18－3－6是一张经过计算机处理后的高序石墨表面的三维STM图片。

图18－3－5 STM的工作原理

图18－3－6 高序石墨表面上碳原子规则排列的STM图