玻尔的氢原子理论的推导

对于原子的结构，人们曾提出了各种不同的模型。1911年，英国物理学家卢瑟福在分析α粒子散射实验结果的基础上，提出了一个有价值的模型，即原子的核式模型：原子中的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子中央一个很小的体积内，称为原子核，原子中的电子在核的周围绕核作圆周运动。

按照原子的核式模型，根据经典电磁场理论，绕核运动的电子将辐射与其运动频率相同的电磁波，即辐射能量，随着能量的减少，电子运动轨道半径将不断减小；与此同时，电子运动的频率将连续变化。因此原子光谱应是连续的带状光谱，并且最终电子将落到原子核上，因此不可能存在稳定的原子。这些结论显然与实验事实相矛盾，从而说明依据经典理论无法说明原子光谱的实验规律。

为了克服经典理论所遇到的困难，丹麦物理学家玻尔把卢瑟福关于原子的核式模型、里德伯－里兹并合原理、普朗克的能量子假设和爱因斯坦的光量子理论等结合起来，于1913年创立了氢原子结构的半经典的量子理论，使人们对于原子结构的认识向前推进了一大步。

玻尔的氢原子理论基于以下三条基本假设。

（1）定态假设 原子中的电子只能在一些特定的圆轨道上运动，且向外不辐射电磁波。此时，原子处于稳定的状态（简称为定态），并具有一定的能量，这一系列稳定的能量分别为一些不连续的值E1、E2、E3等，即这些定态能量是量子化的。

（2）轨道角动量量子化假设 电子以速率v在半径为r的圆轨道上绕核运动时，只有电子的轨道角动量满足下列条件的轨道才是稳定的，即

式中，m是电子的质量；v是电子运动的速率；r是轨道半径；n称为主量子数。式（17－4－5）称为轨道角动量量子化条件。

（3）频率假设。

当电子从第n个轨道跃迁到第m个轨道时，也就是原子从定态En跃迁到定态Em时，要发射（或吸收）频率为ν的光子，且光子的频率满足：

若En＞Em，则发射光子；反之，则吸收光子。

按照玻尔的三条基本假设，可以推导出电子绕核运动可能的定态轨道半径rn及其相应的速率vn和定态能量En。

由于电子在库仑场中作圆周运动，根据牛顿运动定律，有

电子在第n个轨道上运动时，原子的总能量等于电子的动能与势能之和，即

代入vn和rn的值，可得

处于激发态的原子会自动地跃迁到能量较低的激发态或基态，同时释放出一个能量等于两个状态能量差的光子，这就是原子发光的机理。

下面用玻尔理论来研究氢原子光谱的规律。按照玻尔假设，当原子从较高能级En向较低能级Em（n＞m）跃迁时，要发射一个光子，且能级跃迁决定了向外辐射的光子的频率，其频率和波数分别为

将式（17－4－10）代入式（17－4－12）即可得

显然由玻尔理论推导的氢原子光谱的波数公式与里德伯从实验中总结的经验公式（17－4－3）是一致的。同时可得里德伯常数的理论值为

这也与实验值符合得很好。

由式（17－4－13）可得氢原子光谱的各谱线系。与m＝1，n＝2，3，4，…对应的是赖曼系；与m＝2，n＝3，4，5，…对应的是巴尔末系；与m＝3，n＝4，5，6，…对应的是帕邢系；其余类推。这些由玻尔理论推出的谱线系与实验得出的谱线系符合得很好。图17－4－2反映了氢原子能级间的跃迁与谱线系之间的关系。

玻尔理论在解释氢原子光谱的规律性方面是十分成功的，同时在一定程度上反映了原子内部的运动规律。

图17－4－2 氢原子的能级跃迁示意图

【例17－4】 试计算氢原子光谱中巴尔末系的最短波长和最长波长各是多少。

解法一

根据巴尔末系的波长公式。

与最长波长对应的是n＝3→m＝2跃迁的光子，即

与最短波长对应的是n＝∞→m＝2跃迁的光子，即

解法二

其中

则

对于氢原子中的巴尔末系，与最长波长对应的是n＝3→m＝2跃迁的光子，即

与最短波长对应的是n＝∞→m＝2跃迁的光子，即

【例17－5】 （1）将一个氢原子从基态激发到n＝4的激发态需要多少能量？

（2）处于n＝4的激发态的氢原子可发出多少条谱线？其中有多少条可见光谱线？其光波波长各是多少？

解 （1）将一个氢原子从基态（n＝1）激发到n＝4的激发态需要的能量为

（2）在某一瞬时，一个氢原子只能发射与某一谱线相应的一定频率的一个光子，在一段时间内可以发出的谱线跃迁如图17－4－3所示，共有6条谱线。由图可知，可见光的谱线为从n＝4和n＝3跃迁到n＝2的两条。

图例图17－4－3 17－5