单一元件的交流电路

观察与思考

当某一电阻两端接上正弦交流电后，你知道加在电阻两端的电与通过电阻的电流大小之间是否仍符合欧姆定律？做如图7－2－1所示的实验，电阻R阻值为100Ω，A、B两端分别加入3V、6V、9V、12V的正弦交流电，用交流电压表和电流表分别测出加在电阻两端的电压和通过电阻的电流的大小，并将结果填入表7－2－1中。

图7－2－1　纯电阻电路

图7－2－1纯电阻电路分析表7－2－1中的数据可以看出，在纯电阻交流电路中，加在电阻两端的电压的有效值与通过电阻的电流的有效值仍符合欧姆定律，即。那么电压与电流之间的相位关系又怎样呢？电路中的功率又该如何计算？如果电路中的元件是电感或者电容，情况又如何？本节将学习电路中电压与电流之间的关系以及电路中大的功率。

表7－2－1　纯电阻电路中电压、电流的测量值

一、纯电阻电路

纯电阻电路是只有电阻性负载的交流电路，如图7－2－2所示。常见的白炽灯、电炉、电烙铁等与交流电源组成的电路都是纯电阻电路。

1．电流与电压的关系

如图7－2－2所示的纯电阻电路中，设加在电阻两端的交流电压为

uR＝URmSinωt

（1）电流与电压的数量关系

实验证明，纯电阻交流电路的电压与电流的数量关系为

图7－2－2　纯电阻电路

即纯电阻交流电路的电流与电压的有效值（或最大值）符合欧姆定律。

（2）电流与电压的相位关系

实验证明，纯电阻交流电路中，电流与电压同相。

由于电压的初相φu＝0，则电流的初相φi＝0，因此电流的瞬时值表达式为

i＝IRmSinωt

纯电阻交流电路中，电流与电压的矢量图如图7－2－3（a）所示，波形图如图7－2－3（b）所示。

图7－2－3　纯电阻电路电流与电压的矢量图和波形图

所以，纯电阻交流电路中电流与电压的瞬时值关系为

即纯电阻交流电路的电流与电压的瞬时值也符合欧姆定律。

2．电路的功率

在纯电阻交流电路中，电流和电压都是随时间不断变化的。我们把电压的瞬时值u与电流的瞬时值i的乘积称为瞬时功率，用p表示。即

画出p、u、i三者的波形，如图7－2－4所示。从函数表达式和波形图均可看出：由于电压与电流同相，瞬时功率总是正值。这表明，在任一瞬间电阻总是消耗功率，把电能转换成热能。

图7－2－4　纯电阻交流电路的功率

由于瞬时功率时刻变化，不便于表示电路的功率，在实际应用中通常采用有功功率来表示。有功功率也称为平均功率，是瞬时功率在一个周期内的平均值，用P表示，单位是W（瓦［特］）。

理论和实验证明，纯电阻交流电路的有功功率为

根据欧姆定律，有功功率还可表示为

职业相关知识：

通常所说的用电器消耗的功率，如60W的白炽灯、75W的电烙铁等都是指有功功率。

【例7－2－1】将一个阻值为484Ω的白炽灯，接到u＝220sin（314t－60°）V的交流电源上。试求：（1）通过白炽灯的电流为多少？写出电流的解析式；（2）白炽灯消耗的功率是多少？

解：（1）电压的有效值

电流的有效值

电流的解析式

（2）白炽灯消耗的功率为

P＝UI＝220×0．45W＝99W

二、纯电感电路

纯电感电路是只有空心线圈的负载而且线圈的电阻和分布电容均忽略不计的交流电路，如图7－2－5所示。纯电感电路是理想电路，实际的电感线圈都有一定的电阻，当电阻很小可以忽略不计时，电感线圈可看作是纯电感交流电路。

图7－2－5　纯电感电路

1．电流电压的关系

如图7－2－5所示的纯电感电路中，设加在电感两端的交流电压为

uL＝ULmsinωt

（1）电流电压的数量关系

实验证明，纯电感交流电路的电流与电压的数量关系为

即纯电感交流电路的电流与电压的有效值（或最大值）符合欧姆定律。值得注意的是，公式中XL为感抗，不是电感L，且XL＝ωL＝2πfL。

（2）电流与电压的相位关系

实验证明。纯电感交流电路中，由于电压的初相，则电流的初相，因此电流的瞬时值表达式为

纯电感交流电路中，电流与电压的矢量图如图7－2－6（a）所示，波形图如图7－2－6（b）所示。

2．电路的功率

纯电感交流电路的瞬时功率为

画出p、u、i三者的波形，如图7－2－7所示。从函数表达式和波形图均可看出，纯电感交流电路的瞬时功率的大小随时间作周期性变化，瞬时功率的曲线一半为正，一半为负。因此，瞬时功率的平均值为零，即P＝0，表示元件不消耗功率。

图7－2－6　纯电感电路电流与电压的矢量图和波形图

图7－2－7　纯电感电路的功率

电感元件虽然不消耗功率，但与电源之间不断进行能量转换，瞬时功率为正时，电感线圈从电源吸收能量，并储存在电感线圈内部；瞬时功率为负时，电感线圈把储存的能量返还给电源，即电感线圈与电源之间进行着可逆的能量转换。

瞬时功率的最大值ULI，表示电感与电源之间能量转换的最大值，称为无功功率，用符号Q表示，单位是乏，符号为QL＝ULI，即

职业相关知识：

必须说明，无功功率不是无用功率。“无功”的含义是“交换”而不是“消耗”，是相对于有功而言的。无功功率表示交流电路中能量转换的最大值。在工程上，具有电感性质的电动机、变压器等设备都是根据电磁能量转换进行工作的。

【例7－2－2】　一个10mH的电感器，接在V的交流电源上。试求：（1）通过线圈的电流为多少？写出电流的解析式；（2）电路的无功功率为多少？

【解】　由V可知：

（1）线圈的感抗XL＝ωL＝104×10×10－3Ω＝100Ω

电流的有效值为

电流的初相为

电流的瞬时值表达式为

（2）电路的无功功率为

QL＝ULI＝220×2．2var＝484var

二、纯电容电路

纯电容电路是只有电容器的负载而且电容器的漏电电阻均忽略不计的交流电路。如图7－2－8所示。

图7－2－8　纯电容电路

1．电流与电压的关系

如图7－2－8所示纯电容电路中，设加在电感两端的交流电压为

uC＝UCmsinωt

（1）电流电压的数量关系

实验证明，纯电容交流电路的电流与电压的数量关系为

即纯电容交流电路的电流与电压的有效值（或最大值）符合欧姆定律。值得注意的是，公式中XC为感抗，不是电容量C，且

（2）电流与电压的相位关系

实验证明。纯电容交流电路中，由于电压的初相φu＝0，则电流的初相，因此电流的瞬时值表达式为

纯电容交流电路中，电流与电压的矢量图如图7－2－9（a）所示，波形图如图7－2－9（b）所示。

图7－2－9　纯电容电路电流与电压的矢量图和波形图

2．电路的功率

纯电容交流电路的瞬时功率为

画出p、u、i三者的波形，如图7－2－10所示。从函数表达式和波形图均可看出，纯电容交流电路的瞬时功率的大小随时间作周期性变化，瞬时功率的曲线一半为正，一半为负。因此，瞬时功率的平均值为零，即P＝0，表示元件不消耗功率。

电容元件虽然不消耗功率，但与电源之间不断进行能量转换，即电容器的充电和放电。纯电容交流电路的无功功率为

QC＝UCI

图7－2－10　纯电容电路的功率

【解】　由V可知

电源电压的有效值U＝1V，角频率ω＝104rad／s，初相

（1）电容的容抗

通过电容的电流的有效值

电流的初相

电流的瞬时值表达式

（2）电路的无功功率为

QC＝UCI＝1×0．1var＝0．1var

思考与练习

1．把阻值为100Ω的电阻接到的u＝10（10πt＋30°）V交流电源上，则通过电阻的电流大小为______，电流的解析式为_______。

2．把L为100mH的电感线圈接到u＝141sin（10πt－60°）V的电源上，则通过电感线圈电流的大小为______，电流的解析式为______。

3．把10μF电容器接到u＝100（10πt＋60°）V的交流电源上，则通过电容的电流的大为______，电流的解析式为______。

4．分别作出1、2、3小题中电流与电压的矢量图。