定常总流的动量方程

前面几节已介绍关于总流的连续性方程和能量方程，这两个方程原则上可以分析解决许多流体流动的工程实际问题。但还有一些流体流动问题，并不必考虑流体内部的详细流动过程，只需要了解运动的流体与固体壁面之间的相互作用力，这时需要利用动量方程进行分析计算。本节将根据理论力学中的动量定律，建立总流中运动流体的动量方程，并讨论动量方程的应用问题。

5．4．1　定常总流的动量方程

根据理论力学相关理论，动量定律可以表达为:单位时间内物体的动量变化率等于作用于该物体上所有外力的总和，即

式中，m为质量，u为速度，K=mu为动量，∑F为作用于该物体上所有外力的合力。其中速度、动量和外力为矢量，方程(5-41)为矢量方程。下面应用动量定律于总流流动中，建立定常总流的动量方程。

如图5-11所示，在一定常总流中，任取1—1截面至2—2截面之间的流段来分析。当经过dt时段后，处于1—1至2—2流段的流体，将流动到1—1和2—2之间的位置。现以K表示各流段的动量，其下标表示流段号。则t时刻，1—1至2—2流段的动量K1—2为

t+dt时刻后，1—1至2—2流段的动量K1—2为

这样，dt时段内动量的变化量为

这时，注意1—1至2—2流段中的流体，在dt时段前后，虽然有流体质点的替换，但由于流动为定常流，该段流体的形状、体积及位置保持不变，其质量和流速也保持不变，这段流体的动量保持不变。这样，式(5-42)和式(5-43)中代表不同时刻的动量K1—2是相等的，即

由式(5-44)可见，dt时段内动量的变化量就是1—1至1—1流段与2—2至2—2流段的动量差。

图5-11　推导定常总流动量方程示意图

现在所考虑的总流中任取一元流，如图5-11所示。对于元流截面1—1处，设流速为u1，面积为dA1，又因dt时段微小，则在该时段内流速u1保持不变，那么元流1—1至1—1流段的长度为u1dt，质量dm=ρu1dtdA1，该元流段的动量为dK=dmu1=ρu1dtdA1u1。总流1—1至1—1流段的动量可以由积分得到

如同在推导总流能量方程时一样，由于有效截面上的流速分布不易求得，则采用平均流速v代替点流速u，所产生的误差用动量修正系数α'来弥补，即

对于总流2—2至2—2流段的动量，同理可得

式(5-45)和式(5-46)中的动量修正系数α'为

式(5-45)、式(5-46)中，有Q=v1A1=v2A2。现将式(5-45)、式(5-46)代入式(5-44)，得

将(5-48)代入动量定律表达式(5-41)，并消去dt，得

上式就是定常总流的动量方程，这是一个矢量方程，其在直角坐标系中的投影式为

方程中的作用力∑F，一般是指流体所受的表面力、质量力等外力。

关于方程中的动量修正系数α'，如果所取的有效截面在渐变流上，点流速u几乎平行并且和平均流速v的方向基本一致，动量修正系数α'还可以写成

由于，在一般渐变流中α'=1．02～1．05，为简单起见，可以取α'≈1．0。

5．4．2　总流动量方程的应用

1．在需计算和研究的总流流段中选取控制体。

在计算和研究的总流流段中，取出两端由渐变流有效截面和由固体壁面等所包围的流体所占的空间区域作为控制体进行分析研究。如图5-12所示，1—1和2—2为控制体两端的有效截面。

控制体两端的有效截面1—1和2—2应取在渐变流上，是因为两端有效截面上所受的总压力可以按流体静压力的计算方法得到。动量修正系数可以取α'≈1．0。

图5-12　控制体选取示意图

2．在所取的控制体上，分析、标出控制体所受的所有外力。一般情况有下列作用力:

(1)控制体两端有效截面上1—1和2—2的总压力;

(2)控制体内流体的重量，即为属于质量力中的重力;

(3)固体壁面作用于控制体内流体的作用力，这个力与控制体内流体作用于固体壁面的作用力大小相等、方向相反。

控制体流体与固体壁面接触处产生的摩擦力，因控制体内流体流程较短，可以忽略不计。

3．任意选定坐标系，按所选的坐标系列出动量方程的投影式。

在列动量方程的投影式时，注意方程中的力、动量等矢量投影值的正、负，凡投影后的方向与坐标轴的方向相同者其投影值为正，否则其投影值为负。

例5-4有一水平放置在地面上的变直径弯管，弯管两端与直管连接，如图5-13所示。已知弯管1—1截面上压强p1=18．4kN/m2，通过弯管的流量Q=110l/s，管径d1=300mm，d2=200mm，弯管两端连接的直管段夹角θ=60°。试求水流对弯管的作用力F。可以忽略弯管的水头损失。

图5-13　例5-4图

解如图5-13所示，取弯管1—1和2—2两渐变流截面之间的水流为控制体，建立如图5-13(b)所示的平面坐标系。在该控制体上受下列外力作用:

(1)1—1、2—2两截面上的总压力，P1=p1A1，P2=p2A2。其中p1、p2和A1、A2分别为两有效截面上的压强和面积;

(2)控制体所受的重力G，也就是控制体内水流所受的重力，因弯管水平放置，则在图5-13(b)所示坐标方向投影为零;

(3)控制体边界对控制体的作用力R，也就是管壁对水流的作用力，可以按坐标投影方向分解为两分力Rx、Ry，作用力R与水流对弯管的作用力F为作用力与反作用力关系。水流与管壁之间的摩擦力忽略不计。

按照图5-13(b)所示的坐标系，分别列出x、y两坐标方向的动量方程

式中，1—1、2—2两截面上流速v1、v2，可以由连续性方程求得

2—2截面上的压强p2，可以由能量方程求得。对1—1至2—2截面中心点列能量方程

式中，两截面中心点为同一高度z1=z2，忽略水头损失hw=0，令α1≈α2≈1．0，则得

由此得

将已求得的v1、v2和p2代入动量方程，并令，可得管壁对水流的作用力Rx、Ry为

Rx=ρQ(v2－v1cosθ)－P1cosθ+P2

　=1000×0．110×(3．501－1．556cos60°)－1300．64×cos60°+423．55=72．6N

Ry=ρQv1sinθ+P1sinθ

　=1000×0．110×1．556×sin60°+1300．64×sin60°=1274．62N

管壁对水流的作用力分力Rx、Ry，计算结果均为正，即原假设方向正确，两分力分别指向x、y坐标方向。其合力和方向角分别为

水流对弯管的作用力F与管壁对水流的作用力R大小相等，方向相反。