实际流体总流的能量方程

§5．2中介绍了由理想流体运动方程积分得到的元流伯努利方程，该方程的特点是沿元流中各点的总能量不变。然而实际的流体是具有粘滞性的，因此在流动过程中存在由摩擦阻力所引起的机械能损失。为给出能反映实际流体流动特点的伯努利方程，本节将对理想流体元流伯努利方程进行修正、扩展，给出实际流体元流、总流伯努利方程及其实际应用。

5．3．1实际流体元流的伯努利方程

在实际流体定常流动的流场中取一元流，如图5-6所示。对于元流上的任意两点1、2，可以写出理想流体元流的伯努利方程，即

由于实际流体的粘滞性，使得流体在流动过程中因内摩擦力做功而消耗一部分机械能。也就是说实际流体的机械能沿程减小，即

图5-6　推导实际流体元流伯努利方程示意图

式(5-30)即为实际流体元流的伯努利方程。由式(5-30)的构成和元流水头损失的定义可见，应具有长度量纲。

5．3．2　实际流体总流的能量方程

对于如图5-7所示的某段总流，设两端有效截面1—1和2—2的面积分别为A1和A2，总流的流量为Q。在总流中任取一元流，通过该元流的流量为dQ，在该元流上应用实际流体元流的伯努利方程(5-30)。

按照总流的定义，总流是无数元流的总和，那么总流的能量就是各元流能量之和。由于式(5-30)的物理意义是单位重量意义下的机械能，则需乘以通过元流的流体重量ρgdQdt，使元流的伯努利方程还原成能量的含义。这时可以将所有元流能量加起来，也就是下列积分式

图5-7　推导实际流体总流能量方程示意图

整理

从上式可见，有三种类型的积分:

第一种类型积分，为总流重量流量下的总势能。若积分所取的有效截面为渐变流，则在该有效截面上的压强分布满足流体静力学分布，也就是在该有效截面上z+=C成立，这时

第二种类型积分，为总流重量流量下的动能。一般情况下，有效截面上的流速分布不易求得，该积分也难以计算。在总流分析中，常采用平均流速v表示某有效截面上流速的大小。在此，用平均流速v代替各点的点流速u，则积分可以求得。但由于各点的点流速u与平均流速v存在偏差，使得用平均流速v代替后的积分也存在偏差，为弥补这个偏差，用动能修正系数α来修正，即

其中动能修正系数α为

进一步推导可以证明，动能修正系数α是大于1．0的数。α的具体大小取决于有效截面上点流速u的分布，流速分布越均匀，α则越接近于1;流速分布不均匀，α数值则偏离1。在一般的渐变流中，α≈1．05～1．10。因此除流速分布很不均匀的情况外，一般可以取α≈1．0。

第三种类型积分，为总流中各元流重量流量下机械能损失的总和。一般来说，各元流的水头损失h'w并不相等，使得这一种类型积分也不易求得。在此设总流有效截面1—1至2—2流段之间，所有元流的水头损失h'w等于一个平均值hw，那么积分式可以写为

式中:hw——总流1—1至2—2流段之间单位重量流体的机械能损失，或称总流1—2流段之间的水头损失。

将上述三种类型的积分结果分别代入积分方程(5-31)，并同除以总流重量流量ρgQ，即

式(5-36)就是实际流体定常总流能量方程，简称为总流能量方程，也称为实际流体定常总流伯努利方程。总流能量方程是流体力学中最重要的基本方程之一。

5．3．3　总流能量方程的意义

总流能量方程(5-36)中各项的物理意义和几何意义，与元流能量方程基本相同。其中第一项z表示单位重量总流所具有的位置势能，或称为单位位能，又称为位置水头;第二项表示单位重量总流所具有的压强势能，或称为单位压能，又称为压强水头;第三项表示单位重量总流所具有的动能，或称为单位动能，又称为流速水头;表示单位重量总流所具有的总势能，又称为测压管水头;表示单位重量总流所具有的总机械能，又称为总水头;hw表示单位重量流体在总流有效截面1—1至2—2之间流动所产生的机械能损失，或称为单位能量损失，又称为水头损失。

设总水头H=z+，则总流能量方程(5-36)可以写为

式(5-37)说明实际流体作总流流动时要产生机械能损失，流体是从机械能大的地方流向机械能小的地方。能量方程(5-36)也说明实际流体在流动过程中，各断面的位能、压能和动能将相互转化。可以说，总流能量方程(5-36)是自然界中物质运动的能量守恒及转化定律在流体流动中的具体表达式。

不论是元流或总流的能量方程，其中的各项都是单位重量流体所具有的能量，都具有长度量纲。因此，都可以用几何线段或高度来直观地表示沿流程各项能量的大小和转换的情况。

如图5-8所示，总流各截面中心点a至基准面0—0的距离为该点的位置水头z;各截面;由b处至c处的距离为流速水头

图5-8　能量方程各项的物理意义示意图

由基准面0—0

至b处的距离为该截面的测压管水头z+;由基准面0—0至c处的距离为该截面的总水头H。

由图5-8可见，将各截面的c处连接起来，即图5-8中虚线线段，称为总水头线，总水头线反映了总流中流体总能量沿程的变化情况。将各截面的b处连接起来，如图5-8中实线线段，称为测压管水头线，测压管水头线反映了总流中流体总势能沿程的变化情况。由于实际流体中能量损失的存在，总水头线总是沿程下降的。测压管水头线与总水头线的间距，表示总流流体的流速水头(即动能)沿程的变化情况。测压管水头线沿流程可升可降，反映总流流体的平均流速在沿流程减小或增大时，压强也随之增大或减小的情况。测压管水头线沿流程可以高于总流截面中心点，即该截面的压强为正;也可以低于总流截面中心点，即该截面的压强为负。

由于一般情况下总水头线总是沿程下降的，因此总水头线存在一个下降的坡度，这个坡度一般称为水力坡度，以J表示。J的含义是沿流程单位距离上的水头损失。如果总水头线为倾斜的直线，则水力坡度J为

式中:l——沿流程长度;

H1、H2——截面1—1、2—2的总水头线。

如果总水头线为曲线，则水力坡度J为

式中因总水头H总是沿流程减少的，dH则为负值，为使J为正值，则公式中应加负号。

5．3．4　总流能量方程的应用问题

1．由方程的推导过程可知，总流能量方程(5-36)有下列适用条件:

(1)流体的流动为定常流;

(2)流体为不可压缩的，即ρ=const;

(3)流体的流动仅受重力一种质量力作用;

(4)所取的两个有效截面一般应为渐变流截面，但在所取的两个有效截面之间，可以是急变流;

(5)在所取的两个有效截面之间，除了能量损失以外，一般没有能量的输入、输出。对于水泵、水轮机一类有能量输入、输出的水力机械，应使用修改的总流能量方程;

(6)在所取的两个有效截面之间，流量应沿程不变，不存在汇流和分流。对于在有汇流和分流的总流上应用总流能量方程，注意需沿流向建立方程。

2．用总流能量方程解题时应注意以下几点:

(1)可以选定任意的水平面为基准面，不同的基准面有不同的位置水头。同一个方程只能选定同一个基准面。所选的基准面的不同，不会影响最后的计算结果。

(2)所取的两个有效截面一般为渐变流截面。在渐变流或均匀流截面上，有为常数，这样可以任选一点为代表点。一般情况下，管流以中心点为代表点;明渠、水库和水池以水面点为代表点。

(3)对于压强水头的计量，相对压强和绝对压强均可以使用，对于液体流动一般使用相对压强。但应注意，在同一方程中只能使用一种压强计量方式。

(4)严格地说，不同截面上的动能修正系数α不相等，也一般大于1．0，在实际工程中可以令动能修正系数α=1．0，在可能引起误差的场合，应按实际情况给出动能修正系数α。

例5-2如图5-9所示为一文丘里管。该管由收缩段、喉部和扩散段所组成。在收缩段前截面1—1和喉部截面2—2安装有测压管，两测压管连接成压差计。由于喉部截面缩小，流速、动能增加，势能减少，则在两测压管上形成压强差，反映在比压计上则为液面差。若已知压差计上两液面差为h，试计算通过文丘里管的流量。

解选0—0为基准面，取1—1和2—2截面管轴线上的点为代表点，列能量方程

其中α1≈α2≈1．0。整理为

根据第2章流体静力学压强基本方程分析可知

又由连续性方程(5-11)可得

图5-9　例5-2图

则能量方程(5-40)又可以写成

整理得喉部速度和流量表达式

或

其中μ=为水头损失hw对流量影响的系数，称为文丘里流量系数，一般由实验给出，取值范围μ=0．97～0．99;k=为与文丘里管形状、截面面积有关的系数。

例5-3离心式水泵的吸水装置如图5-10所示。已知吸水管直径d=200mm，水泵抽水量Q=160m3/h，水泵入口前真空表读数为44kPa，若吸水管总的水头损失hw=0．25m(水柱)，试求水泵的安装高度Hs。又若水的汽化压强为40097．2N/m2，当地大气压强为100050N/m2，试求在水泵入口处水不发生汽化的最大允许安装高度。

解以蓄水池的自由液面0—0为基准面，对蓄水池自由液面0—0和水泵进口截面1—1列能量方程。由于蓄水池很大，可以认为蓄水池液面降落速度为零。则

图5-10　例5-3图示

式中

由于水的汽化压强为40097．2N/m2，要使水在水泵入口处不发生汽化，则水泵入口压强必须有p2＜40097．2N/m2，这时最大允许安装高度为