基于事件概率建立制度的益处

在这里，让我们回忆一下已经论述过的期望。我们已经看到，为了求出几个简单事件所产生的收益，在这些事件中，一些事件导致获益，而另一些事件则造成亏损，就必须求出每一有利事件的概率与它所产生的收益之积的和，减去每一不利事件的概率与之相应的损失之积的和。但是，不管这些和之差所表述的收益是什么，由这些简单事件所复合而成的一个孤立的事件并不保证消除遭遇损失的担忧。不妨想象一下，这种担忧会随着这个复合事件的多次重复发生而有所减轻。概率的分析给出了如下的一般原理：

通过让有利事件重复发生，不论它是简单事件还是复合事件，实际的收益就变得越来越有可能，并且它会持续不断地增加。在无限次重复的假设下，收益就变成确定的，用这个数去除它，这个商或者说每个事件的平均收益就是数学期望本身，或者说关于这个事件的预期收益。同样的原理对于在一长串的试验中变得确定的损失也成立，不论这个事件的不利因素多么的小。

这个关于获益和损失的定理类似于那些我们已经讨论过的关于由无数次重复的简单事件或复合事件所显示的比的定理，像这些定理一样，它证明了规则性的存在，规则性甚至深藏于那些我们所称的最具偶然性的事物之中。

如果有许多的事件，分析学又一次给出收益值位于给定的极限之间的概率的非常简单的表达式，这个表达式包含在上述已经谈到的一般的概率原理中，这些原理与无限重复发生的事件概率有关。

建立在概率基础上的制度的稳定性依赖于前面所论述定理的真实性。但是，为了使其可应用于它们，那么以下做法就是必需的：这些制度应该通过对于大量事物的处理而增加有利事件的数量。

如此巨大的增长已引发了这样一种思想的产生：为了偿还公共债务应当充分利用它。为此，成立了一种专门用于偿还公众账务的年度基金的偿债基金，依照赎回金的利息这种基金的数额会不断地增加。显然长期来看，这种基金将减轻大部分的国家债务。该贷款的一部分是专门用于增加年度偿债基金，公共债务的变化就会减小，放贷人的信心以及他们退休时毫无损失地收回贷出的资金的概率将会增加，这就使得将来贷款的条件更加简单。令人满意的实践充分证实了这些预期。但是，忠诚于合约的程度和稳定性对于这样一些制度的成功是非常必要的，这些只有由政府来保证，政府中的立法权被分割成几种独立的权力，这些权力的必要合作所激发的信任又使国家的力量成倍加强了。统治者本人从法制中所获益的要大于在专制下所失去的。

从这里可以得出，当前的价值相当于只有在若干年数后才被支付的一个和，它等于这个和乘以到那时它将可以被支付的概率，再被1加利率的次幂所除，这个幂的次数等于年数^[32]。

对于一个人或者多个人来说，很容易将这个法则应用于终身年金、银行存款，以及任何性质的保险中。假设要根据一个给定的死亡表构造一个终身年金表，例如，每五年的末尾可以支付的一种年金，根据这个原理，可化简为一个实际的数额（当前的价值），它等于以下两个量的乘积，即，年费被1加利率的五次幂所除与支付它的概率相乘。这个概率是记录在支付年金的人的年龄旁边的人数与记录在该年龄加五岁的年龄旁边的人数之比的倒数^[33]。那么，就形成了一系列的分数，其分母是死亡表中记录的活到支付年金之人的年龄的人数与1与利率之和的逐次的幂的乘积，其分子是年金与活到同一岁数相继加一岁，两岁，三岁等年龄的人数的乘积，这些分数之和就是关于那一年龄的终身年金所需要的数额。

假设某人想利用年金的形式在其死后这一年的年底保证将其可赔付的一笔资金传于他的继承人。为了计算这笔年金的价值，可以想象一下这个人生前从一银行中借了这笔钱，然后他将这笔钱以固定利息存入同一个银行。显然这笔数额将由银行在其死后这一年的年底付给其继承人，但是，他也必须每年返还年金利息超过固定利息的多余的数额。年金表将会显示出，为了保证该投保人死后的这笔资金，他每年应该支付给银行的数额是多少。

航海保险、火灾保险和风暴保险，以及通常的所有这类险种的设置，都以同样的原理来计算。一位拥有海上船只的商人希望确保它们的价值以及船上装载的货物的价值以防备可能遇到的风险，为了做到这一点，他会付给一个公司一笔钱，这个公司就会负责评估其船只与货物的价值。这个价值与保险费的比值取决于这些船只所经受的风险，可以通过对已经从港口出发到相同目的地的船只的命运的大量观察来估计出这个比值。

如果投保人只付给保险公司依概率计算出来的数额，这个保险公司就不能提供这个险种的费用，于是，他们应该付出比这个保险的花费大得多的费用就是必要的。那么，他们的优势是什么呢？正是在这里，就必须考虑与不确定性紧密相连的道德优势了。我们可以想象，正如我们已经看到的，因为参与者用一个确定的赌注去换取一个不确定的利益，所以，即使是最公平的游戏也会有其不利的一面，而在保险中，一个人用不确定性换取确定性，所以保险是有益的。的确，这一结论正是来自前面已经得出的关于求道德期望的法则，借此，还可以进一步看到为保险公司所做出的奉献是如何之大，如果一直维持着这种道德优势的话。在努力获取这个优势的过程中，保险公司就会得到不菲的收益，如果被保险人的数量巨大，这是公司继续生存的必要条件。因此，其收益就成为确定的，其数学的与道德的期望就一致了。分析学导出了这个一般的原理，即，如果很多的期望，两种期望就会不断地靠近，直到在无限多的情形下它们相同为止。

说起数学期望和道德期望^[34]，我们已经说过将期望的收益分成为几个部分收益。因此，为了将一笔钱运输到遥远的港口，那么，将它放在几条船上比将之全部放在一条船上要好，这就是互助保险所做的事情。有两个人，每人将相同的金额放在两艘从同一港口驶往同一目的地的不同的船上，如果他们达成协议平均分配能够运到的所有的钱，显而易见的是，根据这个协议他们每人将公平地分到他所期望的同在两艘船上的数额。实际上，这种类型的保险通常会给人们留下害怕损失的忧虑。但是，这种忧虑会随着投保人的数量的增加而减少，道德优势增加得越来越多，最终以与其数学优势的一致而结束，数学优势是其自然的极限。对于被保险人来说，当互助保险协会的人数众多时，这一点使得互助保险协会比保险公司具有更大的优势，保险公司根据他们所获利的推理，总是给出一个比数学优势更小的道德优势。但是，他们的监督管理抵消了互助保险协会的优势。正如我们所见，所有的这些结果是独立于表示道德优势的法律的。

你可以将一个自由的民族看作一个大的协会，其中的成员相互保护他们的财产，并按比例支付这个保障的费用。几个民族的联盟将会给予它们类似于每一个个体从协会中所得到的优势，他们的代表大会要讨论公共利益的问题。毋庸置疑，由法国科学家们提出的重量、度量以及货币的系统，在这样的大会上，会作为最有用于商业关系的事情而被采纳。

在建立在人的寿命概率基础上的制度中，比较好的制度是那些通过付出其收入的一小部分，就可以在他担心不能够满足其需求时的一段时间里确保其生存以及其全家的生存。就赌博是非道德的这个方面而言，到目前为止的这些制度对于形成良好的习俗是有利的，它们使人们的天然倾向中的最好的一面凸显出来。那么，政府就应该在公共财富的兴衰变迁中鼓励和尊重它们，因为它们呈现出的希望在于遥远的将来，只有规避了其生存期间的所有焦虑之时，它们才能够兴盛繁荣起来。这就是一个代议制政府（representative government）的制度确保人们（幸福）的一个有利之处。

现在谈一谈关于贷款的问题。为了能够终身地借贷，每年必须支付所借资金与利率的乘积。但是，你可能希望在一定的年数之内分成相同的几期付款来还清这笔本金，这些付款被称为年金，它的值可以通过以下方法获得：为了将每一笔年金化为一个实际的数额，每一笔年金必须被1加利率的n次幂所除，其中n等于在一定年数之后支付这笔年金的年数。以这种方式构造一个几何级数，其首项是年金被1加利率所除，其最后一项是年金被相同项的n次幂所除，其中n等于在其之间应支付这笔年金的年数。这个级数的和就等于所借资金，它将决定年金的值。归根结底，偿债基金只是将一个终生的租借转化为年金的一种手段，唯一的不同是，在用年金贷款的情形下，利率是固定不变的，而由偿债基金所得资金的利率却是变化的。如果在两种情形下利率是相同的，与所得收入对应的年金就由这些收入与每年政府付给基金的那笔收入所组成。

如果你想做一个终身贷款，可以看到，年金表将会给出在任何年龄需要支付年金所需要的资本，一个简单的比例将会给出你应该付给从其处借钱之人的利率。从这些原理中所有可能种类的贷款都可以计算出来。

我们刚刚讨论过的关于制度设计的收益与损失的一些原理有助于确定任何次数的观察的平均结果，当你希望考虑对应于多次观察结果的偏差时。用x表示最小结果的修正，让x依次加上q，q′，q″，等，表示以下的结果。令e，e′，e″等表示观察的误差，假设这些误差的概率原理我们将会知晓。因为每次观察是结果的一个函数，显而易见，如果假设这个结果的修正值x非常小，那么第一次观察的误差e′将等于x与一个已经求出的系数的乘积，相似地，第二次观察的误差等于q加x的和与一个已经求出的系数相乘，以此类推。因为误差e的概率是由一个已知函数给出的，它可以由前述乘积的第一个的相同函数表示出来。e′的概率由这些乘积中的第二个的相同函数表述出来，其他的以此类推。那么，误差e，e′，e″同时存在的概率将与这些不同函数的乘积成比例，这个乘积将是x的函数。你可以想象一条横坐标为x、其对应的纵坐标是该乘积的曲线。那么这条曲线将表示x的不同的值的概率，其极限由误差e，e′，e″的极限所确定。现在，令X表示必须选择的一个横坐标，如果横坐标x是真正的修正值，那么X减去x就是所犯的误差。这个误差，乘以x的概率或者曲线的相应的纵坐标，就是损失与其概率的乘积，如果你将这个误差当作与选择X相关的损失。用x的微分乘以这个积，从这条曲线的左端点到X的积分就是由小于X的x的值所导致的X的弱势。对于大于X的x值，如果x是真正的修正值，那么x减X就是X的误差，x与相应曲线的纵坐标，以及x的微分的乘积的积分就将是由大于X的x值所导致的X的弱势，这个积分（的区间）是从x＝X起到这条曲线的右端点。将这个弱势与前一个相加，这个和就是与选择X相关的弱势。这个选择应该由这个弱势是最小化的条件给出，一个非常简单的计算显示，为了达到这一点，应当取X为横坐标，其纵坐标将曲线分为相等的两部分，因此，正是以这样的一种方式，x的真值落入X的一边与落入另一边的可能性是相等的。

一些著名的几何学家们已经选择X作为x的最可能的值，作为一个相应的结果，已选择对应于曲线的最大纵坐标的值，但是，在我看来，前面的值确凿无疑地就是由概率论所表示出来的那一个。