小学五年级典型优秀教学案例分析_小学数学案例教学

小学五年级典型优秀教学案例分析_小学数学案例教学

专题五：小学五年级典型优秀教学案例分析

选题一　愉快教学——小学数学第十册《数的概念复习》“倍数和约数”[1]

教学实录

师：在我们的数学学习当中，接触到很多数的概念。今天这节课我们通过活动的形式来复习有关数的概念。现在请“看数说话”。看到45和9，你能够说出数的什么概念？

生：45是9的倍数。(www.guayunfan.com)

生：9是45的约数。

师：刚才两个同学说出倍数和约数两个概念，（板书：倍数和约数）那么倍数和约数是在什么情况下产生的？

生：45能够整除9。

师：谁能被谁整除？

生：9能被45整除。

生：在整除的前提下产生的。

师：（板书：整除）为了加深印象，我们把这个词读一遍。（全班齐读：整除）

师：看数还能说什么？

生：4＋5＝9

师：哦，想法和别人不一样，不错。

生：已知一个数是45，其中一个数是9，求另一个因数。

师：能不能说已知两个因数的积是45，其中一个因数是9，求另一个因数？这么说是不是更好一点？

生：是的。

师：45能被9整除。这句话对不对？

生：对。

师：45除以9等于5，所以能说整除。45能被9除尽。这句话对不对？

生：不对。哦，应该是对的。

师：这句话是对的。整除和除尽，谁的范围更大一些？

生：我认为是除尽的范围大。

师：是的，能整除的一定能除尽，但能除尽的不一定能整除。所以对数的概念要加强思考和练习。我们来写几个数。（多媒体出示）

1.最小的自然数是（　　）

2.最小的质数是（　　）

3.最小的合数是（　　）

4.最大的一位数是（　　）

5.最小的两位数是（　　）

6.5的最小倍数是（　　）

7.4的最大约数是（　　）

8.3与4的最大公约数是（　　）

师：全部完成的请举手，谁愿意把自己的答案告诉大家？

生：最小的自然数是0，最小的质数是2，最小的合数是4，最大的一位数是9，最小的两位数是10，5的最小倍数是5，4的最大约数是4，3和4的最大公约数是12。

生：3和4的最大公约数是12。是错的，应该是1才对。

师：补充得好。刚才完全正确的同学请举手。

师：约数的概念当中还存在着最大公约数这个概念。18的最大约数是几？

生：18。

师：一个数的约数的个数是有限的还是无限的？

生：有限的。

师：一个数的最大约数和最小约数分别是什么？

生：一个数的最大约数是它自己，最小约数是1。

师：一个数的倍数的个数是有限的还是无限的？

生：无限的。

师：约数中有最大约数，在倍数中还存在什么概念？

生：最小倍数。

师：什么样的数是最小倍数。

生：应该也是它本身吧。

师：能说完整吗。

生：一个数的最小倍数是它本身。

师：最大倍数呢？

生：找不到。

师：也就是说最大的约数是没有的。我们还学过哪些数的整除的特征？比如说被几整除的特征。

生：能被2整除的特征是个位上是0，2，4，6，8的数。

生：能被3整除的是各个数位上的数加起来的和能被3整除的数。

生：能被5整除的是个位上是0或5的数。

师：好的，能被2，3，5整除的特征我们比较了解了。现在请同桌用0，1，2，3，4，5这6个数字卡片摆两个三位数，要求都能被5整除。

生：我摆了345和210。

生：435和120。

师：我们怎么摆肯定是对的？

生：只要个位上是0或5就行了。

师：对的，这就是能被5整除的数的特征。摆三个两位数能被2整除的数。

生：12，34，50。

生：14，32，50。

师：怎么摆一定是对的？

生：只要个位上是0，2，4的肯定行。

生：只要是偶数就行。

师：你能说什么样是偶数吗？

生：能被2整除的数是偶数。

师：和偶数相对的还有一个概念是什么？

生：奇数。

师：有人说自然数不是偶数就是奇数，这句话对不对？

生：对。

师：到底对不对？同桌两人讨论讨论再说。

生：对的。

师：能被2整除的是偶数，不能被2整除的我们叫？

生：奇数。

师：对的。自然数中不是偶数就是奇数。现在我们摆最大的能被3整除的六位数。

生：我摆了543210。

生：我摆了102345。

师：刚才我们要求摆的是最大的六位数，哪一个符合要求？

生：543210。

师：我们摆数的时候要考虑清楚，对数的概念我们要相当的清楚。我们在一年级的时候已经学习过1，今天我走进音乐童话进一步了解1的有关知识。

音乐童话：

我是1，我是奇数，不是偶数。有人总喜欢把我拉入质数的队伍让我哭笑不得，其实我既不是质数，也不是合数。因为质数至少有两个约数，合数至少有三个约数，而我的约数只有一个。我的作用可大了。不信你看五分之六乘六分之五的积是1。九分之一乘九是1，两个互为倒数的数相乘的积是1。两个相同的数相除的商是1。当然，我还相信科学，说一是一从不含糊。1的平方是1，1的立方还是1。一个数的最小约数是1，相邻的两个自然数的最大公约数是1，所有自然数的最大公约数是1。

多媒体展示：

（1）1是奇数，不是偶数。

（2）1不是质数，也不是合数。

（3）两个质数的最大公约数是1。

（4）1的平方是1，1的立方是1。

（5）相邻的两个自然数的最大公约数是1。

（6）所有自然数的最大公约数是1。

师：刚才的音乐童话把我们关于1的知识整理了。91是质数吗？

生：因为91的约数中除了91和1，还有另外的两个约数是13和7，所以不是。

师：举例说说相邻的两个自然数的最大公约数是1。

生：25和26的最大公约数是1。

师：一般我们说数的整除时把谁除外的？

生：0。

师：是的。现在如果把这10个数分类，你打算怎么分？（展示1，2，4，5，11，9，15，30，51，81）

生：分为质数和合数两类。

生：不对，因为还有1不是质数也不是合数。

师：刚才这位同学是根据数的什么来分的？

生：根据一个数的约数的个数来分的。

师：他分成了几类？

生：他分成了三类，1是一类，质数是一类，合数是一类。

师：那怎么分成两类呢？

生：可分成奇数和偶数两类。

生：还可以分为一位数和两位数两类。

师：不错，也可以这么分。在这听课的一年级老师可高兴了，因为这是一年级的分法。

师：现在我们来做思维急转弯，你们打手势表示第几个正确。

师：第几个数不是整数？（展示：0，1，7. 5，20，58）

生：第三个。

师：第几个数不是自然数？（1. 8，4，45，62，78）

生：第一个。

师：第几个数不是偶数？（2，46，15，24，30）

生：第三个。

师：第几个数不是合数？（11，21，51，81，111）

生：第一个。

师：第几个数不是3的倍数？（21，48，345，721，724）

生：第四个和第五个。

师：同学们思维不错。我们电视台有一个节目叫“快乐大转盘”，我们现在也有一个快乐大转盘，中间是5，周围是我们学过的数的概念，先和你的同桌说说5和周围这些概念有什么关系。

师：讨论好了吗？谁说对了我们鼓掌一下。说不对的请同学补充。5和自然数怎么样？

生：5是自然数。

师：5和倍数。

生：5是1的倍数。

师：5和约数。

生：5是25的约数。

师：5和奇数。

生：5是奇数。

师：5和质数。

生：5是质数。

师：5和互质数。

生：5和6是互质数。

师：5和最大约数。

生：5的最大约数是1。

师：可以吗？

生：应该说5和1的最大约数是1。

师：5和除尽。

生：5能除尽10。

师：5和整除。

生：5能整除5。

师：同学们学得真好。这节课很快就要结束了，明天钱老师就要回去，你们想不想留下老师的电话号码？

生：想。

师：请同学们看你手上的练习。0580是什么意思呀？

生：电话区号。

师：是的，钱老师家的电话号码是个七位数。

师：是ABCDEFG。

生：啊？

师：听好了，A是最小质数；B是5的最小倍数；C是自然数1的8倍；D是8的最大因数；E是最大的一位偶数；F是最小的合数；G是最大的一位奇数。记好了吗？

生：记好了，是2588849。

师：好。同学们再见。

名师简介[2]

钱金铎，男，1959年8月出生，浙江省舟山市人。1981年毕业于舟山师范学校。从1982年至今一直在舟山市舟嵊小学任教。舟山市中小学学科带头人、省功勋教师，全国著名特级教师。

钱老师长期致力于小学数学教学实践的研究工作，在教材教法和青年教师的培养方面成绩显著。教学上，他创导的“愉快教学，增智促能”教学方法使学生受益匪浅。他先后参加了《数学思考的艺术》、《小学数学教材处理的艺术》等书的编写工作，应邀到各省、市上示范课200余节、作报告80多场。他更以其高尚的师德、精湛的教学艺术辅导培养了不计其数的青年教师。《福建教育》曾对他作“钱金铎数学课堂教学艺术”的专题报道。

案例评析

愉快教学法，简单地说就是在课堂上通过教师的引导，能够调动学生的内在学习动力，而取得良好的教学效果的一种教学方法。

依据产生兴趣成因的不同，愉快教学法可分为以下四种：情趣教学法，理趣教学法、情理交融之趣教学法、情理交错之趣教学法。

愉快教学法具有一定的独立性，但是它与其他教学方法相关联。一方面，志趣的形成和中心兴趣的培养可以促进学生在课堂内愉快地学习；另一方面，在课堂内愉快地掌握知识是学生形成志趣和培养中心兴趣的基础。在实际教学中，往往不限定于一种愉快教学法的运用，可以是多种愉快成因的综合运用。

选题二　情感教学——九年义务教育六年制上海市数学新教材五年级第一学期73～75页“求平均数”

课堂实录

一、创设情境，激发兴趣

师：“我们搞一次拍球比赛，在规定的时间内看哪个队拍球的总数最多，哪个队就为胜利队。这个比赛怎么搞呢？谁来出个主意？”一个学生提出每人轮流拍，然后把总数加起来。老师（面带疑惑）说：“一节课只有40分钟，要是每个同学都来拍，时间太紧张了，有没有更好的办法？”这时，同学们鸦雀无声，老师在等待。忽然，一个同学（高高地）举起小手，她说：“让全队同学推荐代表来拍。”老师征求大家的意见后，共同商量每队选出3名代表比赛。

课伊始，趣已生。从同学喜欢的拍球游戏入手，激发起他们的学习兴趣，让同学自己想出比赛的办法，把自主权留给了同学。

二、解决问题，探求新知

1.感受平均数产生的需要。

比赛开始，每队各派3名代表参加拍球比赛，每人拍5秒钟，请学生当小裁判，老师把各队拍球的数量板书在黑板上。乙队分别拍了：8个、13个、14个，甲队分别拍了：11个、14个、16个。老师要求同学以最快的速度口算或用计算器计算每队的结果。结果算出来，老师（热情洋溢地）宣布：“通过比总数，甲队拍了47个，乙队拍了35个，甲队胜了。”老师面对获胜方（深情地）表示祝贺。（一声祝贺，一个鞠躬，体现了对学生的尊重。）

这时老师请求加入乙队，现场拍球5秒钟，使乙队拍球数增加了12个。老师又一次重新宣布乙队为获胜队。乙队欢呼，甲队则没有反应。老师耐心等待问：“你们真的没有什么想法？”（有的同学皱着眉思考着）一个同学（勇敢地）举起了手，（急切地）说：“我们队3个人拍球，乙队4个人拍球，这样比赛不公平。”（老师的耐心等待终于使学生自悟了）“哎呀，看来人数不相等，用比总数的办法来决定胜负不公平。难道就没有更好的办法来比较这两队总体拍球水平的高低吗？”老师把这富有挑战性的问题抛向了学生。

在学生的认知思维冲突中，在解决问题的需要中，学生请出“平均数”。学生感受着“平均数”此时出现的价值，产生了学习的迫切需求。

2.探索求平均数的方法。

怎样计算每个队拍球的平均数呢？这个问题的提出又一次促使学生进一步的思考与探索。在老师的引导下，学生提出了计算的方法：（8＋13＋14＋12）÷4和（11＋14＋16）÷3。在掌握了计算方法的基础上，同学们有的用笔算的方法计算结果，有的使用计算器来计算结果。（同学们开始议论纷纷）老师边巡视边说：“出现问题了是吗？有的同学的结果有余数（11……3和13……2），有的同学的结果是小数（11. 75和13. 666666……）。没关系，我们一起来看，11.75更接近哪个整数？”“接近12。”学生回答。“我们就说计算结果大约是12，用约等于号表示。（老师边说边板书）谁来说一说（11＋14＋16）÷3的结果是多少？”同学用同样的方法得出：13. 66666……接近14，约等于14。

3.理解平均数的意义。

以乙队的平均数为例追问：12表示什么？

生：表示乙队拍球的平均数。

你怎么认识理解12这个数？

生1：我拍了13个，把多的一个给其他队员了。

生2：我拍了14个，把多的2个给了拍8个的同学。

生3：我很高兴，本来我拍了8个，他们又给我增加了4个。

师：你们的意思是说，把多的给少的，这样就……（生接：平均了。）

让孩子们根据自己的体会描述对平均数意义的理解。在这个基础上老师进行了总结：12这个数是8，13，14，12这一组数的平均数，它较好地表示了这一组数据的总体水平。

师：当人数不相等，比总数不公平，是谁出现在我们的课堂？

生：平均数。

此时此刻，你不想对平均数发自内心地说两句吗？老师感慨地说。（生自由发言）

生1：平均数啊平均数，你很公平。

生2：平均数，你使不公平的事变公平了。（真可谓发自内心）

师：平均数在我们需要的时候出现了，是谁把平均数带进了课堂？我们把他请上来。

那位同学走上来，老师说：感谢你。他（不好意思地）说：谢谢大家。他的内心深处感受着成功的喜悦。

4.沟通平均数与生活的联系。

在平时的生活中，你们见过平均数吗？

学生举例。有的说考试统计分数需要平均数。有的说歌手比赛打分时用到平均数……

老师根据实际提供了一些学生身边的信息：

浦东机场日均起降航班达379架次。

磁浮列车周一至周五日均客流量4000余人次。

……

根据以上信息，同学们用自己的语言谈了对平均数的感受，进一步理解了平均数的意义。同时使学生进一步感受平均数与社会生活的密切联系。

三、联系实际，拓展应用

师：学习了平均数能为我们解决一些生活中的问题吗？让我们继续研究。

（一）讨论门票统计问题。出示统计图，学生观察。

上海“五一”期间东方明珠电视塔售出门票统计图（略）

师：从这幅图中，你知道了哪些信息？

生1：5月1日参观的人数是1100人，2日参观的人数是1300人，3日参观的人数是1000人……

生2：我知道5月2日参观的人数最多，5月5日参观的人数最少。

师：面对这么多信息，你还想了解什么？

生1；五天内平均每天售出多少张？

生2：五天一共收入多少钱？

生3：为什么1日、2日参观的人数多，后几天一直在下降？

1.请你估计一下，这五天中平均每天售出门票大约多少张？“1000张”、“1100张”、“1200张”、“900张”、“2000张”……同学们迫不及待地报出自己的估计，老师不动声色。

2.大家估计得准不准呢？请你们用自己喜欢的方法验证一下。

同学们用自己的方法验证着，老师一边巡视一边鼓励学生。“同学们算得很认真。”“书写得真整齐。”

很快，结果出来了，平均每天售出门票1000张。

“说一说，你是怎样验证的？把你的方法介绍给大家。”

生：我把五天售出的票加起来再除以5。

这时，老师拿着话筒来到一个小男孩面前：这位小朋友始终没动笔，你是怎么想的？

生：我从1300中拿出300张分给5日，从1100张中拿出100张分给4日，这样每天售出门票都是1000张了。

这时，老师又让同学给自己的方法起个名字。“先加后除法。”“移多补少法。”同学们兴趣盎然。老师来到估计2000张那位女同学身边摸着她的头亲切地说：“请你去问问同学们，听听其他同学是怎样估计得这么准确的。”

被采访的是一个小男孩：“你估计的2000张比最大的数还多，这是不可能的，平均数要比最大的数少，比最少的数要多。”

老师转过身来，摸着小女孩的头说：“听了这位同学的发言，你想说什么？”

小女孩不好意思地说：“我估计的数跑到最高的数外边去了。”

一个“外边”正表现出了孩子对平均数的认识和理解，体现了孩子对自己学习的反思。老师心中的感动再次溢于言表：“我非常佩服第一次估计比较准的同学，你们思考问题有根有据。但我更佩服身边的这位小姑娘，虽然第一次她估计到‘外边’去了（有意识地用了儿童的语言），但是她学会了和同学们交流，还能接纳别人的意见，能够修正自己的意见，这是很好的学习方法，我们都应该向她学习。”老师紧紧地握住小姑娘的手，小姑娘笑得那样甜。

（在课堂上，我们不要对孩子否定。要有热情的鼓励和巧妙的疏导，与孩子们同喜同忧；要能够发自内心地欣赏每一个孩子，看到每一个孩子的闪光点；不但关注成功的孩子，更关注暂时出现问题的孩子，给他们真诚的期待和重新跃起的机会，让所有的孩子都扬起自信的风帆，抬起头来学习。）

师：刚才，同学们还提出了一个问题：为什么5月2日后，参观的人数越来越少了？如果你是馆长，看到这个信息，你会有什么想法？问题一出，同学们纷纷发言。

生1：如果我是馆长，一定要提高服务质量，热情招待每一位顾客。

生2：我要把最好的自然标本引进来，吸引大学生。

生3：可以把门票的价钱降低，说不定人就多了。

……

（在孩子们幼稚而又不无道理的发言中，我们欣喜地看到，社会的责任感正在孩子们身上油然而生。数学课也是这样，每一个环节都不是单独设置，用完即完，总能够向纵深发展，留给人们无尽的思考。）

（二）月平均用水量讨论。电脑出现一幅干枯的土地画面。

老师的语调转为沉重：“在严重缺水地区平均每人每天用水量约为3千克。”老师拿出3千克的一袋水，继续说：“洗脸、喝水、做饭、洗衣服，一共就这么一点水。在这里，我还要提供一则信息：（出示小刚家各季度用水情况统计表）小刚家每季度用水分别是：16吨、24吨、36吨、27吨。”

请你帮他算一算平均每月用水多少吨。应该选择下面哪个算式？

出示算式：

（1）（16＋24＋36＋27）÷4

（2）（16＋24＋36＋27）÷12

（3）（16＋24＋36＋27）÷365

同学们用反馈器进行了选择，形成了三种意见，老师请出三位代表。“你能通过提问，把对方问得心服口服吗？”引发同学们的争论。请听正确方的发问：“题目让我们求平均每月用水多少吨，你除以4，求出来的是什么？”“请问一年有多少个月？”在正确方的反问下，错误方心服口服：“我选择的算式求的是平均每季度用水多少吨。”“我选择的算式求的是平均每天用水多少吨。”对话在延续……

（老师能抓住时机，善于引发学生争论，让学生在争论中，激发起思维的碰撞，自己找到错因。）

老师有意识地将这两幅画面鲜明地呈现在学生面前。（图略）

师：此时此刻，你最想说什么？

同学们有感而发：“小刚家要节约用水。”“水比较多的城市用水要少一些。”老师也发自肺腑地说：“节约用水，从我们自己做起吧。”

四、总结评价，提高认识

通过这节课的学习，你有什么收获？

孩子们争先恐后地发言：

生1：我明白了什么是平均数，在生活中会遇到它。

生2：我认识了平均数，它能使生活中不公平的事变公平。

生3：我知道了可以用不同的方法求平均数。

生4：我懂得了遇到问题可以和同学交流。

……

师：老师最大的收获是认识了在座的每一位喜欢思考、乐于探索的同学。我的遗憾是还有一些同学没有回答过问题，让我说一声对不起，下次有机会再交流。（同学急忙说：老师，没关系。）

铃声响起，同学们恋恋不舍地离开课堂。

案例评析

情感是人对客观事物是否符合自己需要而产生的态度的体验。认知决定情感，而情感影响认知，在教学过程中，教师总是带着某种情感在教，而学生也总是以某种情感在学，没有任何情感的教育过程是不存在的。

情感的作用在教学过程中，教和学的主体是人，而人都是带着感情在活动的，故情感是联系教学主体的纽带，融洽、和谐的师生关系是教学系统协调、顺利和有效地运行的重要条件。能促进教学的情感是积极的情感，阻碍教学进展的则是消极情感。要用积极情感促进教学，须先了解情感的作用。

选题三　一堂独特新颖的课——人教版小学数学课本第九册“分数的意义”

教学背景

这部分教材是在学生初步认识了分数的基础上，通过学习使学生从感性认识上升到理性认识，理解单位“1”，概括出分数的意义。这样一节概念课教师在设计上突破传统教学模式，思路独特新颖，教学时，教师结合学生的实际经验和已有知识设计富有情趣和意义的活动，使他们有更多的机会，从周围熟悉的事物中学习和理解数学，感受数学与现实生活的密切联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，从而提高学生的综合素质。

教学过程

单位“1”的理解。

说学具，充分利用学具表示。

师：如果老师叫同学们用不同的事物表示，我想每个同学都有不同的表示方法，这样吧，老师请大家小组合作，用老师提供给你的圆片、毛线、4个小女孩的图片、12根小棒表示出。

学生动手操作，教师巡视指导。

反馈。

师：谁愿意说一说，你是怎样表示的。

生：把一张圆形纸片对折再对折，每份用分数表示。

师：你为什么要对折再对折？

生：平均分。

师：还有其他的表示方法吗？

生：将绳子剪成4段，每段是1/4。

生连忙补充：将绳子剪成一样长的4段，每段是1/4。

师：你们觉得他补充的对吗？他为什么要补充？

生：他前面没有平均分。

生：我把4个女同学中的其中的一个圈起来，它也表示1/4。

生：我用4根火柴棒，把它们平均分成4份，每份是1/4。

生：我用8根火柴棒，也平均分成4份，每份2根也是1/4。

生：我用12根火柴棒，平均分成4份，每份3根也是1/4。

师：请大家想想，在表示分数的过程中有什么相同的地方？或不同的地方？

生：都是平均分。

师：有什么不同的地方呢？

生：分的对象不同。

生：有的分的是一个图片、一个物体，有的是好多个物体组成的。

师：一个图片、一个物体，平均分后表示其中的几份可以写成分数，那么像4个女同学中的一个，8根火柴棒中的2根等这些都可以用自然数来表示，为什么也要用分数来表示？

（1）师：要不四人小组讨论一下怎么样？

（学生讨论，教师巡视指导。）

（2）反馈：

生：把好多个物体看成一个整体。

生：一个女同学，2根火柴棒都表示是整体的。

师：我们把这些都看成一个整体，那请你观察一下我们身边有这样的整体吗？

生：我们的班的全班同学。

生：教室里的所有老师。

生：教室里的6盏日光灯。

师：像这些整体或可以看成一个整体，我们都可以把它们看作单位“1”（教师板书：单位1）。

师：你觉得这个“1”与自然数的1有什么不同？

生：它可以表示好多的物体。

生：它可以表示一个整体。

师：这样的话要把这个“1”与自然数的1加以区别，你们觉得我们最好怎么处理？

生：给它加个引号。

师：我们把刚才的那些都看成一个整体，那请你说说他们中的一个或一盏可以表示出哪一个分数？

生：……

案例评析

作为一堂独特的创新课程，不是单纯追求新颖，而是要达到教学效果的最大化。因此，教学设计中要努力实现如下目标：

（1）突破传统教学模式，思路独特新颖。传统教学的种种封闭压抑了学生个性的发展，学生迫切需要一种展现自我、发展个性的体验式学习。以前的教学改革，大多停留在数学学科层面上，往往比较注重将教科书上的知识教给学生。在教学中，往往是教师清楚要教什么，为什么这样教和怎样教，学生却不知道自己要学什么、为什么学和怎样学。学生的学习缺少方向，缺少动力，缺少方法，他们学习的主动性、创造性很难得到发挥。因此，当前教育改革的重点应是以教师教学方式的转变来促进学生学习方式的转变，从而更好地促进学生的主体性发展。教师把整个学习过程放给学生，让学生小组合作，全员参与，共同探究，由感性认识上升到理性认识，让学生参与知识获得的全过程。

（2）让课堂具有一定的开放度。概念学习并不是枯燥的，用概念自身的魅力及教材的内在智力因素让概念学习也有一定的开放度。在上面这一环节中，教师注重教材的开放性和思考性，让学生有自主选择的权利和广阔的思维空间，如教师提供一些具有代表性的材料，让学生通过选一选、分一分，折一折等一系列的操作，在相互交流的过程中，理解分数表示的意义，再通过比较一个图片、一个物体、一个计量单位等一个整体和可以看成一个整体的一些群体，认识和理解单位“1”，教师让学生在基本理解的同时去区别单位“1”与自然数的1的不同，从而教师突破理解单位“1”这一难点，教学中教师突出了单位“1”的动态变化、分数与所对应的量之间的联系、“平均分”概念的进一步深入、分数基本性质的渗透。又如“我们身边有这样的整体吗？”“可以表示哪一个分数？”既渗透了数形结合的思想，有助于学生空间观念的建立，也让学生看到了分数与生活的联系，感悟了生活中的数学，也为理解分数的意义奠定基础，同时也培养学生的实践能力和合作精神。

（3）建立新型的师生关系。教师遵循儿童学习概念的规律的同时，创造性地处理教材。在这个教学过程中教师找准学生的认知的起点，以一个圆形图片、一根1分米长的毛线段为切入口，让学生动手折一折来表示，再过渡用整体来表示。在这些过程中，教师以学生为主体，让学生自主探索，教师尊重学生，发扬教学民主，学生在小组合作时积极主动地参与和探讨、质疑、创造，并逐步地完成对知识的理解和深化，充分发挥学生的主体作用，较好地体现了教师是学习的组织者、引导者、合作者和共同的研究者。

使学生达到对知识的深层理解，还培养了他们敢于探索、勇于创新的精神。亲历探究发现的过程，已不是一种获取知识的手段，其本身就是教学的重要目的。教师只有创造性地教，学生才能创造性地学。从上述案例中，我们不难发现，学生学习方式的转变关键在于教师。教师要不断更新教学观念，真正树立以学生为主体的教学理念，相信学生，给学生充分的探究思维的空间，以发挥学生学习的自主性、创造性。

选题四　尝试与猜测——义务教育北师大版小学数学五年级上册第80页《尝试与猜想》中的“鸡兔同笼”

教材分析

教材中向学生提供了生动、有趣的主题图，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论。教材中呈现的解决问题的方法有3种，通过假设举例与列表的方法，寻找问题的结果。其中第一张表格是常规的逐一举例法，根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条……在这样的逐一举例中，寻找到所求的答案；第二张表格是先估计鸡与兔只数的可能范围，以减少举例的次数；第三张表格是采用取中间列举的方法，由于鸡与兔共20只，所以各取10只，接着在举例中根据实际的数据确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。

设计理念：

本教材向学生提供了现实、有趣、富有挑战的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题为载体，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，运用多种方法解题，让学生根据自己的经验，逐步探索不同的方法，经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。

遵照《新课程标准》的精神，在课程设置中强调学生是学习的主人，在学习过程中尽可能多地为学生提供探索和交流的空间，鼓励学生自主探索与合作交流。通过教师创设的现实情景，让学生投入解决问题的实践活动中去，自己去研究、探索、经历数学学习的全过程，从而体会到假设数学思想的应用与解决数学实际问题的联系，感悟到“有序”对解决数学问题的作用。通过学习使学生认识到数形结合的重要性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

在教学过程中应注意鼓励每个学生参与学习过程，注重学生之间交流，关注对学生的建设性评价。使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。

学生分析

五年级学生已经初步尝试了应用逐一列表法解决问题，还有一些学生在奥数的学习中已经学过，学生的程度参差不齐。学生的思维活跃，敢想敢说，有一定的小组合作经验。为了能准确掌握学生已有的知识水平，使教学过程达到优质高效，教师对五年级两个班学生进行了前测。

教学目标

1.培养学生的合作意识，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。

2.应用假设的数学思想，在解题中数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.在解决“鸡兔同笼”的活动中，通过列表的方法解决鸡兔的数量问题，并从中发现规律，优化列表。

教学重点

经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表。

教学难点

以“鸡兔同笼”问题为载体，以列表举例为依托，培养学生多角度、有序思考数学问题的思维方式。

教学过程

课前游戏：

（出示小礼物）

师：看谁能最先猜对它的价格。

生1：那送给我们吗？

师：可以，来个现场拍卖。

生2：应该叫“猜卖”。

生3：我觉得叫“猜送”比较合适，猜对了就送给我们。

师：还是你说的有道理，开始吧。

生4：4元。

生5：20元。

生6：老师您得告诉我们是便宜了还是贵了。

师：可以，贵了。

生：15　10　8　9　8. 5

师：恭喜你答对了，送给你。

（一）感知活动情境，展现学生风采

师：喜欢数学吗？

生：喜欢。

师：数学不但可以增长你的知识，开阔你的视野，同时还可以锻炼你的思维，在我国古代就有许多非常有趣的数学名题，你们了解吗？

生1：“韩信点兵”。

生2：“鬼谷算”。

师：鬼谷算就是韩信点兵，了不起，你的知识还挺丰富。

生3：“鸡兔同笼”。

师：从哪儿了解到的？

生3：奥数中学的。

师：那你的数学一定不错吧！能给我们介绍一下吗？

生3：就是把鸡和兔子放到一个笼子里，知道头和脚，求只数。

师：噢，是这个意思吗？（出示题目，点名读）

师：谁还见过类似的问题，有这么多人没见过，只要你们相信自己就一定能找到答案。那就尝试着做做？

（学生独立思考，汇报）

师：谁愿意把你的想法和大家交流？

生1：我假设全是兔，就有28条腿，比条件多28－20＝8条腿，用8条腿除以兔比鸡多的2条腿，得4，就是鸡的只数，再用7－3＝4就是兔的只数。

师：我要表扬你，知道为什么吗？你在不经意中用到了我们数学中一个非常重要的思想——“假设”。

生2：我是画图求的。

师：可以给我们展示一下吗？

生2：我先画7个圈表示7个头，然后在每个头上画两条腿，一共14条腿，比总数少了6条腿，再给每个头上补两条腿，因为兔子有4条腿，需要画3次，就是有3只兔，4只鸡。

师：你尝试着把假设与画图结合在一起了，使解题过程变得简单了，独特的方法，给大家留下了深刻的印象。

生3：我是一个个写的。

师：好呀，给我们展示一下。

生3：我先假设有1只兔，6只鸡，共有4条腿＋12条腿＝16条腿，不对；再假设有2只兔，5只鸡，共有8条腿＋10条腿＝18条腿，还是不对；继续假设有3只兔，4只鸡，共有12条腿＋8条腿＝20条腿，对了，所以有3只兔，4只鸡。

师：他先尝试着从简单的开始一个一个地试，最终找到了答案，多么简单的方法呀！我们把它写在黑板上吧，你觉得怎么写更简单？

生4：列表。

师：怎么列？

生4：上边写总头数、鸡/只、兔/只、总腿数，下边写数字。

师：好，我们就按照你的想法把它写在黑板上。

（生说师写）

师：如果我们在横竖加上几条线，就变成了美观的表格，看来列表还确实简单，不管多难的题，只要我们一直这样尝试着列下去，就一定可以找到答案，如果现在试着把鸡和兔的只数增加一些，还能解决吗？

（二）渗透尝试猜测，体会总结方法

出示例题：

师：看明白了吗？那还不赶快行动，把你们的想法写在表格上。

（学生独立试做）

师：把你的想法和过程与同桌互相说说。

（学生在下面相互讨论）

师：通过你们的声音告诉我，大家已经想好了，谁愿意把自己的过程给大家展示一下。

生实投，师提问：看谁在听的过程中能提出最有价值的问题。

方法1：

生1：我先假设有1只鸡，19只兔，共有78条腿，比条件多，然后把鸡的只数增加1只，兔的只数减少1只，这样一直试下去，直到腿数符合要求。

师：这么快你就学会了，看来还真挺简单，大家有问题吗？

方法2：

生1：老师！我的方法比他简单！

师：是吗？让我们看看。

生1：我先假设有10只鸡，10只兔，共有60条腿，比条件多，然后把鸡的只数增加5只，兔的只数减少5只，腿少了，说明鸡多，再往回减少鸡的只数去试，这样一直试下去，直到腿数符合要求。

师：说完了，老师还沉浸在你精彩的讲述过程中，为你巧妙的方法而感到骄傲，真的要感谢你使我们列表速度加快了。如果刚才的方法称为逐步列表法，那现在可以叫做……

生2：跳跃式列表法！

生3：我觉得叫中间列表法比较合适。

师：可以，我们把它称为取中列表法，谁还有问题？

生4：如果找不到中间的数怎么办？如15。

师：（问生1）你可以解答吗？

生1：你只要找到相近的两个数就可以了，比如7和8。

生5：你怎么知道要把鸡的只数增加，兔子的只数减少？

生1：因为现在腿的只数多，兔子有4条腿，说明兔子多，所以要减少兔，如果要减少鸡，腿还会增多。

生5：那你为什么增加5只鸡，而不是增加4只？

生1：因为我第一次是找的中间数，不合适，再找10和20的中间数，所以是15。

师：这样解答你满意吗？

生5：满意。

生6：老师我发现规律了，您看只要增加1只鸡减少1只兔子，总腿数就减少2条，这样就不用每次都算了，直接减2就可以。

师：还真是这样，细心的你值得我们学习。

方法3：

生1：我的方法和他们不一样，我还是先假设有1只鸡，19只兔，共有78条腿，一看腿差得太多，就增加2只鸡，这样也可以找到答案。

生2：你为什么不一次增加4只鸡，这样不是更快吗？

生1：没想到。

生3：我给你提个意见，每只兔子4条腿，这样我们就可以先求出兔子最多不会超过14只，就没有必要先假设有19只兔子了，列表的速度还可以快。

生1：谢谢你的建议。

师：你们的想法真有创意，每次都是跳着增加，这样称为跳跃式列表法比较合适吧。

师小结：列表虽然简单，但也不是随随便便就列的，要想又快又正确地找到答案还真是要动动脑筋。看来做什么事情都不能循规守矩，一定要认真观察，仔细思考，只有这样才能找到自己独特的见解和想法，做到技高一筹，处处领先别人。听了他们介绍的这些方法，你有什么启发吗？

（三）巩固提高练习，感悟列表本质

师：我们通过“鸡兔同笼”研究了尝试与猜想，你们知它最早记录在哪本书上吗？（课件介绍）记载在我国的古代数学名著《孙子算经》上（简介《孙子算经》，《孙子算经》作者是谁？至今也无法判定。其中下卷第31题，可谓后世“鸡兔同笼”题的始祖。）

师：聪明的古人早在1500年前就对此题有所研究了，想知道古人是怎么做的吗？

古人也向你们一样，有一套自己独特的想法。

（师出示课件演示古人的解题方法，并把算式列在黑板上）

师：先让鸡和兔都抬起一半的腿，还有20÷2＝10（只），现在动物的头与腿的只数有什么关系？

生：鸡的头与腿一一对应，而兔子的头对应两条腿。

师：现在再让每个动物抬起一条腿，还剩下10－7＝3（只），这个3就是3只兔，7－3＝4（只）鸡。

师：同学们，你们觉得古人的方法怎么样？

生1：我怎么没有想到古人的方法！

生2：古人真的很聪明！

师：其实你们比古人更聪明，有想法就立刻尝试，在列表过程中还不断地猜想发现规律。

师：“鸡兔同笼”的问题从中国传到日本，就变成了“龟鹤问题”，看来这类问题我们不能仅仅局限在“鸡兔”问题上，题目要是变化一下你们有信心解答吗？

出示练习：

1.有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共104条，龟、鹤各有几只？

2.自行车和三轮车共有26辆，共有60个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？

师：试着做做，可以选一道也可以选两道。

先独立思考，后汇报。

生1：我选的是龟鹤问题，先假设龟和鹤各20只，共有120只腿，用120－104＝16只腿，每增加1只鹤减少1只龟就少2只腿，现在多出16只，16÷2＝8，所以就要增加8只鹤，得28只鹤，12只龟，这样我只需要列2行就可以找到答案。

师：真了不起，你把列表与计算结合在一起，只用两行就可以找到答案，聪明。

（学生情不自禁地为她巧妙的方法鼓掌）

生2：我求的是自行车和三轮车，假设都有13辆，共有65个轮子，说明三轮车多，减少3辆，就是有16辆自行车，10辆三轮车，共有62个轮子，还多，再减少3辆三轮车，得59个轮子，少了，还要加回去一辆三轮车，所以自行车有8辆，三轮车有18辆。

师：通过练习，可以看出同学们的收获还真不少。

（四）总结反思，引发思考

课后反思

《尝试与猜想》是一节相对较独立的内容。本活动的目的是通过学生对一些日常生活中现象的观察与思考，从中发现一些特殊的规律，其目的是加强数学知识与现实生活中问题的结合，以提高学生综合应用的能力。在教学中力争做到激活学生的创新思维，让思维插上自由的翅膀。正是本着这样的理念，在这一教学活动的设计中：首先在教师的引导下，学生通过动手实践、自主探索、合作交流，发现了列表中的一些规律，进而运用规律解决问题。以下几点体会和老师们交流。

1.创设兴趣情境，以趣引思。

心理学研究表明，人在情绪低落时的思维水平，只有情绪高涨时的二分之一。因此，在教学中教师要想方设法激发学生的学习兴趣，使学生进入欢乐愉快的最佳心理状态。

首先借助“鸡兔同笼”引出课题，激发学生的兴趣。由于它是奥数中一道非常经典的例题，学生会不会受到干扰？为此教师作了前测，发现有60%以上的同学都学过此内容，并可以用假设法解答，因此在备课中牢牢抓住“两条线”，一是抓住尝试猜想这条主线；二是抓住思维发展层次这条辅线。从课前的猜价格游戏即让学生回顾感悟学过的一种解决问题的有效策略——逐步逼近，为后面列表时逼近“腿的数量”打好伏笔，学生在积极思考、踊跃猜测的过程中，渗透了区间的思想。另外，重视学生学习过程，在师生互动交往中，情感体验充分，通过比较、判断及时调整，以此发展学生思维质量。

2.创设操作情境，以动启思。

“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”可见人的手脑之间有着千丝万缕的联系。

本课利用鸡与兔的只数增加了，为学生搭建探索问题的平台，鼓励学生探索和交流。在教学中，学生明确任务后，探索鸡与兔的只数时，为学生提供了探索的素材，我们可以看到，列表中的规律，是由学生通过观察、动手操作、自己归纳总结出来的。

3.创设讨论情境，以说促思。

由于学生的生活背景、数学知识、能力和思考问题的角度不同，在探索数学问题时，必然会出现多种不同的思考方法。如在二次列表时，不同的学生有着不同的思维，有的按照前面的方法逐一列表（大多数是这样的），而那些思维活跃的却努力寻找着使列表简单的方法，事实表明：只要空间足够宽阔，他们是有潜力可挖掘的，像跳跃式列表法、取中列表法、列表计算结合的方法都是他们自己发现的。抓住他们善于表现的欲望，让他们互相交流。而正是这种多角度的思考方法，才能使解决问题的策略多样化。

4.创设发散情境，以做强思。

在教学过程中，怎样使全体学生普遍得到提高也是教师的思考之一。通过这节课，优秀学生列表的步骤越来越少，到最后只有两步，多数孩子能省略中间的某些步骤，只有极个别的学生还停留在逐一列表阶段。在讨论中互相交流启发，每位学生都获得了不同程度的成功。还启用学生自己提问、自己解答的方法，使课堂异常活跃。

案例分析[3]

《鸡兔同笼》是大家非常熟悉的数学问题，但编入教材主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略——列表，赵老师通过钻研教材理解了编者的意图。细细品味此课，主要表现在以下三个方面：

（1）自然的导入环节。良好的开端是成功的一半。看得出赵老师在课堂导入环节别具一格，自然轻松。一上来就与学生在聊天中进入课堂，这样的导入，关注了学生已有的知识经验，关注了数学知识内在的魅力，也关注了学生学习数学的后劲。

（2）灵活的探究过程。《课程标准》指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。在引导学生解题过程中，首先从简单入手，逐步加深难度，使学生感觉到这样做“麻烦”，从而自己寻找简单的方法，实际就是优化列表的过程。之后的练习，更是有学生能把列表与计算巧妙地结合在一起，有利于学生进一步领悟学习方法。

（3）精巧的练习设计。巩固练习是帮助学生掌握新知、形成技能、发展智力、培养能力的重要手段。在新课程的小学数学课堂教学中，必要的训练是不可少的。本节课，赵老师设计的练习有重点、有层次、有针对性、有深度和广度。最后的练习经过变式，使学生真地看到了列表的优势，并能联系实际加以运用，对于巩固本节课的知识，发展学生的思维具有非常重要的意义。

因此，对课堂教学进行预设时，应“着眼于整体，立足于个体，致力于主体”，能跳出教材看学生，定位“高”一点。

选题五　九年义务教育教材第九册第三章“三角形面积的计算”

教学目标

C层：

1.能在教师指导下，会推导出三角形面积公式，会利用公式计算三角形的面积。

2.培养学生动手操作的能力。

B层：

1.能通过动手操作推导出三角形面积公式，会利用公式计算三角形的面积。

2.能灵活运用公式解决一些简单的实际问题。

3.通过动手操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生动手实践能力，概括综合及解决实际问题的能力。

A层：

1.能多途径探索推导出三角形面积计算公式，培养学生的求异思维和创新精神，会利用公式计算三角形的面积。

2.能灵活运用公式解决一些实际问题。教学重点

三角形面积的计算。

教学难点

三角形面积计算公式的推导。

教学用具

4套三角形（2个同样大小的直角三角形，2个同样大小的锐角三角形，2个同样大小的钝角三角形，2个同样大小的等腰直角形）。

教学过程

一、创设情境，引入新课程（合）

大家每天都佩戴着红领巾，谁能估算一下一条红领巾的面积大约是多少平方分米？……红领巾是什么形状？（三角形）大家猜一猜要想计算三角形的面积，必须要知道哪些条件？大家估算的对不对，猜想的是否正确？这节课我们就一起来研究——三角形面积的计算。

（从学生熟悉的生活实例入手，紧紧抓住新旧知识间的联系，巧妙自然、通俗易懂，既培养了学生估算的能力，又使学生感受到了数学与生活的密切联系，体会到了数学就在人们周围，增强了数学学习的应用意识，同时又为学生明确“怎样计算三角形的面积？”作了孕伏。）

二、探究新知（合）

师：我们前面学过平行四边形的面积，你用什么方法推导出平行四边形面积的……能不能也运用这种转化图形的方法把三角形转化成我们已经学过的图形推导它的面积呢？

1.出示思考题

（1）两个完全一样的三角形可以拼成什么图形？

（2）拼成的图形面积与原三角形的面积有什么关系？

2.分组活动，动手操作（分）

3.组际交流（分）

（1）两个完全一样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形，一个三角形的面积就是拼成平行四边形面积的一半。

（2）两个完全一样的钝角三角形可以拼成一个平行四边形，一个三角形的面积就是拼成平行四边形面积的一半。

（3）两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形或平行四边形，一个三角形的面积就是拼成平行四边形面积的一半。

（4）两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形或平行四边形，一个三角形的面积就是拼成平行四边形面积的一半。

4.教师引导学生推导出三角形的面积公式（分）

观察A层：仔细看黑报上所拼成的图形，你发现了什么？

B层：把拼成的平行四边形与原三角形比较，你发现了什么？

C层：以上所拼成的平行四边形的底相当于原三角形的什么？拼成的平行四边形的高，相当于原三角形的什么？

板书：三角形的面积：底×高÷2

提问：①为什么要除以2？

②计算三角形的面积必须具备哪些条件？

（在教学中，我让学生动手操作，分别将四组两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，并比较每个三角形与拼成的平行四边形各部分间的关系，同时在操作中向学生渗透旋转、平移的方法，让学生体验和感知三角形面积公式的推导过程。在这个过程中，学生们表现出了浓厚的兴趣，个个都很积极、很投入地动手操作，极大调动了学生思维活动。学生真正成为了学习的主体。在教育教学过程中，实施和渗透分层教学，对于提高教学效率，促进学生个性的和谐全面发展都具有重要的意义和作用，也是促进教学过程积极化的过程。仅就课堂设问而言，面对学生存在很大的差异性，要求所有学生都对某一知识点达到统一的层次，必然会出现“吃不了”和“吃不饱”的现象，如果将某一知识点的问题分层提出（基础、拓展、延伸）让好、中、差生分别来解决，是关心、爱护每一位学生，平等对待每一位学生的实际表现。尤其是差生通过分层提问，教者很易及时捕捉他们的“闪光点”，予以表扬鼓励，使他们从细微处体会到老师的尊重和关注，从而激发上进心。）

5.指导学生用字母表示面积公式（合）

如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积计算公式可以写成：S＝ a?h

三、实际应用（合）

4人合作动手量一量红领巾的底和高，再计算出面积。

（新课程非常重视学生在活动中的体验，强调学生身临其境的体验，让学生运用所学三角形面积公式解决实际问题。补充了一些生活中的实例，使学生体会到应用知识的快乐，把课堂气氛推向高潮。）

四、反馈练习（分）

1.基本练习

指出下面每个三角形的底和高，并分别算出它们的面积：

①一块三角形的玻璃，量得它的底是12. 5分米，高是8分米，这块玻璃的面积是多少？如果每平方分米玻璃的价钱是0. 28元，买这块玻璃要用多少钱？

②某商场装修，在一面长10米，宽3米的墙上贴三角形彩砖（右图），一共需要多少块这样的彩砖？

2.拓展思维训练

出示三角形图：图中哪个三角形的面积与画阴影的三角形的面积相等？为什么？

你能在图中画出一个与画阴影的三角形面积相等的三角形吗？试试看。

（针对本班学生的学习水平和接受能力以及相应的教学目标，制定出不同的练习题目或提出不同的要求。对C层、B层学生可采取“低起点，再逐步提高，最终达到《课程标准》中所制定的基本要求”的办法；对于A层学生可要求他们多做一些综合性和富有思考性的题目，以提高他们的学习能力和创造能力。为此，教师在设计练习时，要仔细考虑每个学生应该做些什么，为他们设计出通过自身努力都能独立完成的练习题。）

五、总结（合）

本节课你认为哪些小组表现最出色，那么，你通过本节课的学习有哪些收获？

师：大约在2000年前我国数学名著《九章算术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的算法，指导出三角形的面积：底×高÷2，但在21世纪的今天同样有很多复杂的问题还没有解决，我相信只要大家勤于思考，善于探索，同样可以做出许多贡献。今天大家是非常能干，通过用两个完全一样的三角形拼一拼、摆一摆，推导出三角形的面积公式，下课以后继续探讨一下，看你能不能用一个三角形通过剪一剪、拼一拼的方法，推导出三角形的面积公式。

板书设计

平行四边形的面积＝底×高

三角形的面积＝底×高÷2

S＝ah÷2

案例评析

儿童有一种与生俱来的以自我为中心的探索性学习方式。学生学习知识是接受的过程，更是发现、创造的过程。教学的最佳方式就是让学生主动探究。给学生多一点思维空间，凡是学生能探究得出的，教师应放手给学生表现自己的机会。本课通过两次动手操作，使学生先通过各自的方法将三角形转化成已经学过的会计算其面积的规则图形，再找出原三角形与所剪成或拼成的图形的联系，结合同桌、小组合作等活动，不断地提升学生的概括和认识，从而使三角形面积的计算方法“水到渠成”、“动态生成”。

现代数学教育观认为：数学教育必须着眼于学生的发展。作为具有育人功能的数学，有别于纯粹的数学，有自身的特点与规律，是以促进学生的发展为固定点。在本节课中，教师尝试了把教学建立在学生自我意识、主动探究的基础上，先让学生用自己的方法将三角形转化成会计算面积的图形，在此基础上，进行探究面积的操作。在这两次有层次的实践操作的过程中，学生体验到了自主探究带来的收获和成功感。这样的教学活动，使学生对转化的思想更加重视并真正内化，为下阶段的学习与生活打下基础。

学生的差异是客观存在的，不同的学生对顺序知识的建构是不同的。因此，在教学本课时，教师允许不同的学生可以用不同的方法与策略探究三角形的面积计算方法。教师就应尊重学生的个性。因此，教师允许学生的自由发挥，让学生用自己的方法探究“求三角形面积”，从而使学生建立个性化的数学模型。这样的有的放矢，真正实现了“不同的人学习不同的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的新理念。