本书首先把所有60份课堂录音、5份学生综合访谈录音以及12份学生访谈记录均转录或整理成正式文本资料，研究者再结合自身的亲身感受以及反复听取录音原始文件对这些文本资料进行筛选。筛选的首要标准是事件本身既触动了研究者，也使燕老师有所自觉，在此基础上进行深度分析。本章选择了“质数与合数概念”“求不规则物体体积”“复式折线统计图”以及“分数乘法之画线段图”等4个案例作为分析数据，学生访谈等资料则融入数据分析之中。另外根据学生访谈资料以及研究者对学生的观察专门探讨了3位学生的学习投入状况以印证燕老师教学交互决策的特点。
一、对教师的分析与讨论
（一）“把焦点聚集在因数的个数上”：“质数和合数”的概念学习
“质数与合数”是第一轮数据收集到的第二个课时的相关资料。当时，燕老师刚刚上过“3的倍数的特征”（前面已分析），由于试图完整呈现教学全过程而使她对那堂课并不满意，隐约还有一种是否损害了自己形象的担心（实际上笔者已经从不同角度说明了本书的目的以及研究者的信用承诺）。因此，尽管“质数和合数”的教材篇幅和内容含量与“3的倍数的特征”相仿，燕老师却把它分为了两个课时。此处提供的是第一课时的内容，旨在通过学生的自主探究和合作交流，认识并理解质数和合数的概念。从教师提供的简案看，完全按照教材呈现的素材和线路进行教学（见图3.1(8)）。而其头脑中的计划（mental planning）也是在此基础上的扩展和延伸。
图3.1 质数和合数
为了使读者对本节课的发生过程有一个全景的认识，有必要先呈现该节课的课堂实录（KT-ch-j-20080311-2）。当然，笔者省略了关系不大的话语和过程。
T：看了这个课题，你想提什么问题？
……
S3：质数和合数各自有什么特征？
T：这个（问题）现在就来回答他。一起来看，同学们，质数和合数有什么特征呢？今天燕老师告诉你，研究数总有一个方向。比如看2的倍数，先看个位数的特征，比如看5的倍数，找个位数的特征，对吧？3的倍数，各个数位数字和的特征，那研究质数和合数从哪里下手呢？燕老师要你们做一件事，非常简单，那就是因为研究质数和合数要从它的因数领域下手。所以，你们现在要做的事就是把1～20这20个数帮我把它的因数写出来，然后再来研究……
……
T：现在同学们已经做完第一件事了，为什么要你们做这件事呢？老师有过交代，是因为研究质数和合数，它们哪，之所以研究它，是因为它们跟那个因数的个数有关系。现在把我们的焦点聚集在因数的个数上。……如果燕老师请你们给这些数按照因数的个数分分类，你心里想把它分成多少类？
S：3类，3类。
T：先想一下，不急着回答。
……
T：好，停。现在想听听同学们的想法了。好了，燕老师说按照因数（个数）给这些数分分类，你心里想把它分成几类？你是怎么想的？
S1：分3类。
T：你想分3类，你怎样分3类的？（在黑板上画图填表）
S1：先把1类分成只有1个因数的。
T：这么多数中，一个因数的是谁？ S1：1
T：你觉得1可以分到哪里去？ S1：第一个（指表）
……
T：还能怎么分？ S1：两个因数
T：两个因数的这些数字是哪些数字？ Ss：2，3，5，7，…
T：老师要问你们，这些数它是怎么形成的？
Ts：它的因数只有1和它本身两个。
T：对不对？ Ss：对！
T：……哪一些是两个以上的因数啊？ Ss：4，6，8，10，12，…
T：两个，两个以上是包括什么啊？ Ss：3个、4个、…
T：以上包不包括两个啊？ Ss：不包括！
T：……他分成3类有没有道理？ Ss：有！
……
T：好了，按照这样的分法，就把20以内的数按照它因数的个数分成了3类。
……
T：数学上的规定啊，同学们，质数和合数是这样得来的。你们打开书，仔细找一找，看能不能找到什么叫质数，什么叫合数，打开书第23页，你觉得该怎么叫，为什么这么叫？找到了告诉燕老师啊！
T：你觉得从书上找哪句话比较重要？
S：只有1和它本身两个因数（的数）叫做质数，也叫素数。
……
T：他不看书能把定义说出来，你们能吗？质数是什么？
Ss：只有1和它本身两个因数的数叫做质数。
……
T：再说一次！
Ss：只有1和它本身两个因数的数叫做质数或素数，如2，3，5，…
T：有些同学看一两眼就会了，其实不用背对吧？只要把握两个因数即可，它就是质数，也叫素数。好了，那么合数、合数是什么？
……
T：同桌互相读一读，背一背。
……
T：大家一起背一遍，预备起！
……
T：那你看看，刚才写到20，我想啊，数学里的数可多了，数都数不完，那么这多数，随便写个数可不可以判断是质数还是合数？行不行啊？
T：我写一个37。
Ss：质数。
T：为什么认为它是质数？它的因数什么啊？
Ss：1和它本身。
……
为了更清楚理解燕老师的整个思考、决策和行为过程的相互关联性，将上述教学过程中教师作出的交互决策析离、分类，并根据计划决策的口语报告（KYch-j-20080311-2）和课后的即时访谈（FT-ch-j-20080311-2）寻找教师对交互决策的解释和说明，在此基础上列出表3.1。
表3.1 燕老师“质数和合数”第一课时交互决策分析表
续表
在这4个课堂交互决策中，执行决策1和2是教师对教学计划决策的细化和具体化，进一步选择用结论性和明确性的语言（质数和合数与数的因数的个数有关）告知学生学习活动和思考的方向；变化决策1和2在教学计划决策中并没有提及，但也不是教师根据课堂情况作出的应变决策，而是教师的头脑教案的隐藏部分，或者说是燕老师的常规决策，即燕老师认为数学概念是人为规定好的，学生不可能探索出什么名堂，只能照教材这么教和学。当然，燕老师在课后访谈中对这两个决策作出了解释。
总体上看，燕老师作出执行决策1和2是基于这样的认识：数学概念不具有探索性（数学家规定好了的，不能随意乱定，小孩不是数学家肯定探索不出来），于是就按照规定好的（教材呈现的）要求学生照做就行了。作出的变化决策是基于教师的常规认识和决策，即要求学生看书是培养他们的自学能力，而要求学生读背概念是因为数学概念比较严谨。
正好阅读到上海宝山区实验小学特级教师潘小明执教《质数与合数》的教学实录，(9)颇有感触，便出示以作比较，有了参照也能更好地表达本书的观点。
（潘老师相继出示3个、4个和12个正方形，学生探讨能拼出几个不同的长方形？前两个问题由于正方形数较少，学生可以凭借表象进行思维和判断，当进行到第三个问题时，由于涉及12个正方形，许多同学借助在纸上画图的方式寻找答案……）
师：我看到许多同学不用画就已经知道了。
（学生便开始思考，交流讨论，潘老师融入其中……）
……
师：（装作没听清楚）给出的正方形的个数越多，拼出的长方形的个数，你们是说——（同学们清楚又响亮地回答“越多”。）
……
生：刚才4个正方形能排出两个，如果用5个正方形只能排出1个。如果用潘老师的说法，5个正方形排出的不同的长方形应该不止两个。所以，这话是错的。
……
师：一个例子就把你们刚才的结论给否定了。多有说服力的反例！
师：同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种？
……
师：发现表示正方形个数的数只能被1和它本身整除的时候，只能拼成一个长方形。什么情况下拼得的长方形不止一种？
……
师：那么，应该怎样回答这个问题呢？（一些学生发出无奈的叹气声：啊……）这些数有什么共同的特征？
生1：这些数中，第2个、第3个每次都比前一个数增加2，然后第4个增加1，后面又每次增加2……（话没说完，一些学生“呀——”地表示不同意。）
生2：我觉得这些数都能被两个以上的数整除。
……
师：这些数有着共同的特点，那就是它们除了能被1和它本身整除外，还能……
生：还能被别的数整除。
……
（教师给出概念并出示数字让学生判断，如24，43，71，2178135，10000032等，并要求学生说明理由）
成功的喜悦洋溢在同学们的脸上，大家非常自信地回答“对”！这时，教师随手板书“1”，许多学生都笑了起来。
师：请同学们人人发表自己的意见。你认为1是质数就打手势“1”，认为1不是质数就用手势“2”表示。结果，班上只有5个学生认为1不是质数，其余学生都认为1是质数。
师：同学们，你能说出选择的理由吗？
……
师：同学们的讨论是很不错的。对于“1”是不是质数，大家都在从概念出发进行判断。有的同学认为1是质数，也有的认为1不是质数，在认为1不是质数的人中间，还有一个人，他是谁啊？（学生猜测谁，最后说是老师！）
师：我告诉你们，这1确实不是质数！
……
作者仔细阅读多次，这节课正栩栩如生在我眼前。此处不谈论该课的设计缘何如此精妙，仅谈论潘老师作出的课堂交互决策。当潘老师看到多数学生采取画图的方式寻找问题的答案，及时作出交互决策进行“教学调控”：“我看到许多同学不用画就已经知道了。”这是一个生成决策，课前并未预料，是由于学生都在通过画图寻找答案的突发事件促使潘老师作出的决策，是在课堂中生成的。对于这个决策，潘老师自己也作出了明确的解释：“渐渐地，越来越多的学生也拿出笔在纸上画了起来，这是我未曾想到的。但为了尊重学生自己的思维方式，我给出一定的时间让他们画。但是，我又不能让学生将大量的时间花在画出所有不同的长方形上面。因为引导学生进行空间想象及利用长方形面积计算方法进行数学地思考，促进思维的深入发展，这才是更加重要的。于是，我就进行教学调控。……我说这话的目的既起‘暗示’作用——暗示学生不需将各个不同的长方形一一画出，也有办法知道‘能拼出几个不同的长方形’；又起导向作用，让学生思考其他的方法或策略。我这话还真见效，一些学生立即停笔思考，很快有许多学生积极地举着手。”(10)
在听到燕老师对她作出的课堂交互决策的解释，以及后期的多次解读中，总体会不出滋味来，哪怕是酸、苦、辣，一时也不能用言语加以表达。后来看到潘老师的课堂实录及其对生成决策的解释和说明，翻然悟出燕老师的课堂交互决策的一个重要特点，即是对学生数学思维培养的忽视，受到其传统教学信念、教学思维方式、相关知识等的深入影响。但是，仅凭一节课便下此论言似乎有些牵强。怀着否定自己的希冀继续走进燕老师的思维世界，探寻她的教学决策空间。
（二）“有刻度的量杯”：求不规则物体的体积
与燕老师的相处是愉快的，便感觉时间过得似乎有点快，在这个过程中对燕老师的认识也在逐步深入。她虽然是十几年的老教师了，却从来没有任教过小学高年级数学，此次是第一次进入高年级数学教研组，从这个角度也可以说她是“新手”教师。
图3.2中(11)的例5、例6是学习长方体、正方体体积和容积单位后进一步学习的内容，其中例6的主题是如何求不规则物体的体积。在课堂进程中，对例6的交互决策感触颇深。仍然将本节课的实录摘选如下：（KT-ch-j-20080407-9）
……
T：……那么怎样计算物体的容积呢？今天来解决一些简单的问题……
（计算例5并讨论为什么从里面量？）
T：……其实在生活中可以算体积的东西可多啦，同学们，你们看燕老师带的正方体盒子，有茶叶盒子，还有宝宝金水的盒子，所有这些东西（的形状）都是有规则的！……但是你们看，这些东西有规则么？（出示西红柿、摆设物等）
图3.2
Ss：没有规则！
T：它能不能按长方体正方体来算体积啊？
Ss：不能，不会算。
T：……我带了一个小小的西红柿，它是什么形状啊？
Ss：椭圆形。
T：不是长方体也不是正方体，那它的体积有多大？
WS：排水法，哎，不是……
T：阿东有一点了解，我请阿东说，他说了一个词，这个词叫做“排水法”，阿东介绍一下什么叫做排水法！
WS：先倒一杯水。
T：先倒一杯水。
WS：然后（把西红柿）放进去。
T：放进去干嘛？
WS：（小声嘀咕，听不清楚）
T：水会升高一点，是吧？
WS：西红柿放进去水会升高。
……
T：……比如我今天带来的还有橡皮擦，它们的体积你们想不想知道？
……
T：那这些物体的体积怎样算呢？书上有介绍，我给你两分钟时间看书（阿东没有说到“有刻度”的量杯）
T：请看51页的例6，学会的告诉我，啊，举手，两分钟，看谁效率高。
T：如果老师想算一下这个西红柿体积有多少，我应该怎样做？啊，张韶山，介绍一下。
ZS：就是随便拿一个有码的杯倒那个水，再把那个西红柿放进去……
T：从他的话中我听懂了，那个杯能不能随便拿啊？（教师释然）
Ss：不能！
T：那个杯上必须有什么？
Ss：刻度！
……
T：这两个杯有什么不同？
Ss：一个有刻度，一个没有刻度。
……
T：这个杯子必须有刻度，我这个杯子上有的刻度是300，100，200，300，400，我现在往里面倒一些水，你想我要倒多少？
（教师演示把西红柿放入有刻度的杯中、水位上升的过程，学生计算西红柿体积）
T：……好的，还想知道这个的体积么？
Ss：想！
（仍然教师演示，学生读刻度数，大家一起计算）
T：好，继续，想知道它的体积么？
Ss：想！
（仍然教师演示，学生读刻度数，大家一起计算）
T：好，最后来看看这个的体积，想知道吧？
Ss：想！
（仍然教师演示，学生读刻度数，大家一起计算）
……
由于是例题，所以在课前燕老师并没有专门作一个口语报告。在教师眼里，例题是不用做什么准备的，燕老师只提及准备教具的情况，比如找有刻度的量杯和西红柿、橡皮擦等。但是从课堂事件和课后访谈（FT-ch-j-20080407-5）中，可以捕捉到一些计划决策的思路。比如，量杯必须要有刻度，这是燕老师处理例6的核心。因此，课堂上的大部分决策都是执行决策，仅有上面抹黑的文字是教师在课堂上根据当时的教学情况作出的生成决策，总结起来就是作了一个核心决策：一定让学生知道测量不规则物体体积的量杯必须有刻度。教师设计时并未预料到有学生会说出“排水法”，于是临时决策由阿东回答什么叫排水法，但是阿东（WS）回答问题时只说了“先倒杯水”并没有提及“有刻度”。于是教师就决策要求学生看教材上例6的内容，有学生（ZS）看出“刻度”后，教师便不断强调“有刻度的量杯”。教师的生成决策根本上源于对教材的认识和计划决策方案。
严格地说，教师的这个决策也没有错，严格遵循教材的呈现，但是笔者听了这节课后总觉得不是滋味，很困惑教师的这个交互决策的意义与目的。下课后叫住阿力和阿东，先问他们这节课的内容学会了没，他们很爽快地回答说：“都懂了，简单！不就是量杯要有刻度吗？”看来老师的强调起到了作用，笔者接着问：“那么，怎么测量你的体积呢？”他们愣了一会儿，阿力小声嘀咕：“还可以测量人的体积？”阿东大声说：“跳到游泳池里，把游泳池标上刻度！”阿力接着说：“游泳池那么大，跳进去都没有什么感觉（水位变化）。”“对啊，那怎么办呢？”两个孩子一时间都没有回应。“你们小的时候妈妈给你们洗澡的浴盆知道吗？比它稍大些，足以容纳你们，把水装满这个盆，你们进去……”还没有等笔者说完，阿东抢着说：“阿基米德！满（溢）出来的水的体积就是我们的体积！”虽然阿基米德定律与正在探讨的体积并无关系，重点是的孩子思路打开了，从思维的夹缝中走了出来，见到了挂在蓝天上的那些舞动的云彩！事实上，如果没有受到一些误导和限制，也许孩子们除了“水测法”还能想到“沙测法”或者“等积变形”等方法呢。
课后访谈中，作者和教师也谈到了“有刻度的量杯”这个问题，当说及“……因为你一再强调这个杯子一定要有刻度，我觉得有点限制他，有点儿限制思维”时，教师承认：“对，有点。”后来她补充说：“我问他（某个学生）今天有什么收获，他说他可以把东西放在杯子里，计算这个物体的体积，然后我就追问了一句（没有刻度吗？），追问完了我也马上后悔了。其实也不管它，就是一种方法，不管它有没有刻度，没有刻度也可以想其他的方法去量的。后来我问完，我才知道，哎呀，不要强调这个问题才好，因为有些孩子问细了以后，局限性就比较大了，我就发现他们是这样的。”
这节课堂后，在与燕老师交流时，开始有意识凸显培养学生数学思维的问题，但是如何才是和才能做到呢？
（三）“重复体验”的艺术：“复式折线统计图”的交互决策比较
已经开始收集第二轮数据了，为了配合作调查，燕老师特意将教材后部分的统计内容调前教学，因为本书想收集一些“概率与统计”领域的数据，燕老师则选择了“复式折线统计图”。复式折线统计图是五年级下册的学习内容，之前的义务教育教材没有编排此内容。学生在四年级上册学习过复式条形统计图，四年级下册学习了单式折线统计图，已经知道了“复式”相比“单式”的好处，“折线”相比“条形”的优点。但是学习“复式折线统计图”时分别在学习了相关知识的一年和半年以后，在所难免要复习相关的知识。而统计内容的操作性强，小学生对于直观体验的统计知识更容易理解。所以，教师复习“单式折线”和“复式条形”的课堂过程肯地必不可少，而且学生也会重复性体验一些过去曾经操作过的过程，这个过程至少会呈现出两种可能情况：一是纯粹重复；二是艺术重复。教师的课堂交互决策决定“重复”的形式，下面两个案例分别体现了这两种情况。
第一个案例“重复体验”事件链和决策链：（FT-ch-j-20080508-11）
事件1：教师出示中国和韩国从24到28届奥运会获金牌枚数的文字信息，请学生阅读。
决策1：……不看这个表，你们能记住刚才某某读的这些获得金牌的枚数么？……为了让每一个人能清楚的记忆或者是了解这些信息，你认为用什么办法可以更好一些？
（学生先后说出统计表和折线统计图）
事件2：教师出示准备好的统计表，教师问“韩国25届获金牌多少枚？”“中国27届获金牌多少枚？”类似问题，学生看表抢答，最后得出“这个统计表确实很直观，比刚才的文字表达更容易更清楚。”的结论。
事件3：教师出示准备好的折线统计图，教师“考”学生横轴、纵轴分别表示什么（金牌的枚数和届数）以及再次询问了事件2中提到的问题。
决策2：教师提问“在这个统计图中，你获取了哪些信息”
（学生分别说出：中国获金牌的趋势增高，25届和26届金牌数一样，中国获金牌最少枚数的是在24届，最多枚数是在28届，26届到27届增加的金牌数最多。最后得出“这就是四年级学过的折线统计图，折线统计图啊，有个非常好的地方，就是它那个折线的升或降让人很容易看出它的数量的变化”的结论。）
决策3：你们做一做韩国获金牌的情况，用折线统计图来描述。
（学生作图，教师巡视。学生展示，教师请一位成绩较好的学生陈述作图过程。）
事件4：教师请学生比较中国获金牌枚数和韩国获金牌枚数并回答。
（学生答案涉及两国各届金牌数多少比较，中国的金牌相差的比较大而韩国的呢相差的比较平稳）
决策4：一会中国的，一会韩国的，我觉得非常的不方便，你能帮我想什么办法？（学生很快说“把它们两个结合在一起”。）
师：为什么？
生：比较省力方便，而且不用这样点来点去。
师：是，不要跟老师换来换去，点来点去，不好比较，你们的眼睛看在图上也是看来看去、看来看去，非常的麻烦，对不对？如果把两个这样的统计图，这样的折线统计图叫做单式，单式折线统计图，如果把这两个单式的统计图和在一起，那应该叫做什么？
生：双式折线统计图（复式）。
事件5：教师画复式折线统计图
决策5：你发现了什么？
（学生回答中国用实线表示，韩国用虚线表示。）
事件6：学生画复式折线统计图（教师提供材料，上面已经画出中国的折线统计图）。
事件7：结合上述过程，师生一起归纳复式折线统计图的好处，并请学生估计马上开始的北京奥运会中国会获得多少枚金牌。
（总结出3个好处：方便对比、直观、上升金牌就增加，下降金牌即减少。）
第二个案例“重复体验”事件链和决策链(12)：
事件1：出示问题（从两位同学中选拔一位参加跳绳比赛，两位同学各有5次训练成绩）
张明：201 205 208 213 217
王星：206 204 210 209 202
（学生从数据变化趋势中一致认为应该选张明）
决策1：想更清楚、直观看出两人成绩变化趋势，还可以用什么来表示？
（学生很快说出是统计图）
决策2：已经学过条形统计图和折线统计图，你认为用什么统计图来表示比较合适？（学生讨论得出应选用折线统计图，因为“可以清楚地看出数据增减变化情况”。）
事件2：分别呈现两位同学成绩的折线统计图，非常清楚，淘汰王星。
事件3：再呈现刘辉成绩统计图，张明和刘辉谁获胜可能性更大？
（学生讨论都认为张明获胜可能性大。因为他们成绩虽然都在上升，但张明折线斜得厉害，说明他上升趋势更明显。）
决策3：能否想个办法对两张图作个处理，使得一下子就能看出张明比刘辉进步更快？（学生说把两张统计图合并在一起。）
决策4：直接过渡，教师说以前学过两张条形统计图合并在一起，今天试试把两张折线统计图也合并在一起。
（学生操作，教师课件演示合并。）
事件4：再次唤醒旧知，用不同颜色区分两条折线，并板书揭题。
事件5：感悟优点（你怎么一下子就看出张明的成绩进步快呢？）
（学生先说，师生共同得出“便于比较两组数据的变化趋势”。）
事件6：变式练习（出示以体重为题材问题），验证复式折线统计图是否真的便于比较。
决策5：教师先呈现王芳体重变化折线，学生说出自己的看法，教师接着呈现“标准体重”折线，学生再说自己看法。
事件7：尝试绘制复式折线统计图。（9～14届亚运会中国和韩国获金牌情况）
事件8：出示中国和美国在24～28届奥运会获金牌情况的复式条形统计图，请学生分析中、美情况，并预测中国能否在北京奥运会上金牌总数赶超美国。
决策6：课件演示复式条形统计图转化成复式折线统计图的过程，再次观察趋势。
事件9：知识梳理，总结体验。
两位老师的交互决策列表，见表3.2。
表3.2 两位教师“复式折线统计图”教学交互决策比较分析表
续表
如果给两个课例的每个事件赋值，并绘制成复式折线统计图，那么这两个课例的课堂发展趋势也能一目了然呈现在眼前。
横向比较，在序号为1的决策框里，两位教师都是通过重复过去的某些知识引出折线统计图。但是案例1教师在决策提问中强调了对数据的“记忆”，似乎与折线统计图关联度不大，案例2教师通过重复熟悉的例题直接询问“条形和折线统计图哪个更合适解决此问题”，使学生既重复体验了之前的经历，又将这种体验通过上升到另一个层面。正像文章所说，这个决策“富有挑战性，既复习体验了折线统计图的优点，也为本节课的体验重点‘复式折线统计图便于比较数据的趋势’做了思想上的铺垫。”(13)这两个过程中，学生都说出了“折线统计图”，但是思考的容量和力度是截然不同的。
序号为2和3的决策框里，案例2教师都未涉及。案例1教师意图复习从折线统计图中获取信息并复习做折线统计图（教师提供模板，学生仅描点和连线）。
在序号为4的决策框里，两位老师都意在引出复式折线统计图并突出复式折线统计图的好处。案例1教师提出“方便”的好处，案例2教师强调数据比较的优势并直接由复式条形统计图过渡到复式折线统计图，对学生迁移思维的培养有所关照，由此而直接唤醒学生复式条形统计图的体验，简洁快速地“产生”复式折线统计图，因为“对学生而言不算全新知识，挑战性也不大”。
在序号为5和6的决策框里，案例2教师先呈现王芳体重变化折线，重复体验单式折线统计图的数据分析过程，随后呈现“标准体重”折线，使学生在修整之前的结论过程中深刻体悟复式折线统计图的优点。“这是本课的一大亮点，再次体验了复式折线统计图便于比较两组数据变化趋势的特点”。(14)随后的决策“演示复式条形统计图转化成复式折线统计图的过程”是“本课的另一个独到之处。将复式条形统计图转化成复式折线统计图后，学生感悟到了知识之间的紧密联系，更深刻体会到了复式折线统计图在比较数据变化趋势时，相比复式条形统计图所具有的更大优势。”(15)其最大特点是，学生对复式折线统计图好处的认识是在解决问题链的思维过程中深刻体悟出来的，而不是单一地说出来的。而案例1教师的决策并没有激发学生的思维。纵向观察各个教师的决策线路，案例2教师构建了一个以良好数学问题为载体的丰富的决策网络，引领学生在相关知识点之间建立网络思维联系（见图3.3），使学生在重复、比较的数学活动中得到新的发展。
图3.3 案例2教师“复式折线统计图”决策图
案例1教师的决策系统所构建的知识网络则显单一（见图3.4），而且知识点之间的联系不直接和紧密，跨度较大，再加上问题设计得欠考虑，造成学生只能机械记忆了。
图3.4 案例1教师“复式折线统计图”决策图
课后访谈时燕老师解释说：“昨天下午随便问了几个，想不起来，那个是什么？不知道，这个是什么？不知道。我原来想放开去讲，那不是什么都不知道了啊，天啊，我想了下不对劲啊，我就重新不要了。……我就是因为了解了学生，（时间）久了，他们都忘记了。所以我才会把图先呈现，就相当于一个复习和回忆，复习和回忆这个折线统计图，从这个图中能读取信息，能进行一些简单的分析，还了解各部分的名称，做一个简单的复习，这样，他下面做这个图和做复式统计图就有一个很好的过渡。如果他刚刚学过（单式折线）以后就学（复式折线），就没有必要这样子做。所以我就觉得这个环节很有必要，如果不做，他连到下面数据分析和标数字都很有问题啦……”
总之，案例1可以说是“纯粹重复体验”过往知识，简单回忆和再认，忽视知识的内在和恰当联系，造成学生思维空白或障碍。同样的内容和形式在不同的时空里发生，但是学生已经不是以前的那些学生了。案例2则是“艺术地重复体验”，学生不是一张白纸，学生也在重复体验一些东西，但是体验的着力点已经调整，并且超越了以往的体验。
听完这节统计课，便完成了第二轮的数据收集工作，和燕老师专门做了一个综合性的交流和访谈（FT-zh-20080511-12）。这次的访谈是半开放式的，围绕一个问题展开话题，即“在介入课堂进行研究的这两个月中，您感受到了什么？您变化了吗？是哪些变化？”并且把前期的一些研究想法与燕老师做了一些交流，大部分内容都得到认可。
我觉得还是有些改变的，在原来备课的时候，就写教学目标，写了以后自己知道教学目标。然后，在教学的过程中也知道哪些环节会有这样的目标，这是以前。那现在呢，就是说我不光考虑老师，就是说自己要想知道要落实什么，可能还要去关注学生怎样才能叫达到这个目标，我在这一点上也有所改变，以前我不会想说学生会怎么样达到哪一样的程度，没有想太细，会有，但是不细，比如说这个复式统计图，我的教学目标第一个就是让学生认识复式统计图，知道它的特点和优越性。如果想细化一下让学生知道它的特点，我会想学生知道哪些特点，怎么样说出来。可能这样去想了一下，或者去备课的时候就会刻意地去留意一下，学生能说出它的特点是怎么样的，有两组数据，以点来代表数据，以折线来表示比较容易看上升趋势，学生能说出来，比较细。可能就觉得这样备课以后学生会懂得哪些，可以在课堂环节中，在具体的环节就会想学生要怎样说才好，学生要做哪些东西才能达到这个目标，可能自己会想多一些，这可能跟以前有点稍微的不同，这一点是比较明显的……
（四）线段图：画与非画
时隔数月，孩子们已经是小学六年级的学生了，研究者对这些孩子们平添了一些思念，而孩子们也对研究者的“重出江湖”表示出了好感。和燕老师再次见面的那天依然是晴空万里，俨如我们的心情那样敞亮！燕老师说我瘦了些，我觉得燕老师变得更漂亮了。时空蕴涵着各自的变化，我们感受着彼此的变化，也期待着共同的变化。
六年级上册教材内容包括位置、分数乘除法、圆、百分数、统计等内容。再次进入他们的课堂时，孩子们正学习分数的乘法，并学习完成了分数乘法的运算和运算法则，教材随后编排的是分数乘法的“解决问题”。解决分数乘分数应用性问题，画线段图是一个重要的策略，教师也因此把它确定为教学目标之一。教材中的“解决问题”共有3个例题，例1的计算非常简单，教师介绍说主要是训练学生会画线段图，找准问题中的单位“1”，并会运用分数乘法解决生活中具体的问题。具体地说，最开始的时候并没有选择观察例1这节课，因为内容太简单了，似乎没有什么需要准备的事情。与燕老师交流时，她也表达了这样的意思，她说解决问题这类课就是计算，感觉没有什么讲的，学生听起来也觉得没有意思，课堂上死气沉沉的。他们小学教师都不愿选择这类内容去上公开课，因为学生不能操作，难以展开。于是选择听例2，因为计算稍稍复杂一些。但是凑巧要上例2那天，燕老师是两节连堂课，先上例1，便一起听了。可是，出人意料的偏偏是例1引发了更多的思考和研究，而这个思考源于课堂上教师要求学生画线段图的一个应变决策。（见图3.5(16)）
按照教学计划决策，教师准备讲解完例1，就完成“做一做”和“习题”的第9题。课堂进展基本按照计划进行，但是完成“做一做”后，教师并没有继续做习题的第9题。因为燕老师突然发现第9题属于例2对应的习题，于是课堂应变，决定把做习题9改为画线段图。该教学片断如下：（KT-ch-20080918-22）
（A表示教师；其余符号表示不同的学生）
A：现在，我来训练画一下线段图。请你快速的表示。刚才那个分数（分母）很大，所以有些同学画线段图很麻烦，现在该你介绍方法了……
请你标出3/4……快速！……你体验一下……
（一学生介绍方法）
A：对吧？画4 cm的线段，4格。1 cm就是1格，对不对？……可能画1 m不？可能画4 mm不？（有学生说“可以”，老师不理会）有跟他不同么？
B：他画8 cm！
A：好，你画8 cm，你说说看。（学生解释）一格就是2 cm。都可以，他是把4 cm看做单位1，他是把8 cm看做单位1，都是可以的，你明白没有？
（有学生回答明白，有学生问“那4 mm呢？”，教师没有理会。）
A：再来一个，看谁聪明，25/100……25/100难道就是画100格么？……某某同学，你来介绍下经验！
图3.5
（全班同学说画4 cm，该同学说画10 cm，其他同学用“啊？！”表示不同意）
A：那你怎样标出1/4的？……100和25的关系你还不能很快看出来，你还要去画100格！……有些同学就是脑袋不转弯，难道3/1 000你要画1 000小格了？（学生迟疑）或者300/1 000你要画1 000小格，取300格了？
这节课的课后访谈时，没有谈论这个话题。但是，笔者却思考了很多。
首先，从表层看，燕老师的“画线段图”的变化决策隐含两个子决策：其一，是把实际长度与分数的分子和分母绝对对应。比如表示1/4，则画4 cm长表示整体，取1 cm表示其中的一份，然后又说“可能用分米或毫米来画吗？”给出“不方便”的暗示；其二，是认为画25/100就是画1/4，并因此还责备试图画100格（cm）的学生。变化决策1把线段实际长度与分子和分母绝对对应，违背了线段图本身固有的相对性；变化决策2把25/100的线段图与1/4的线段图绝对等同，违背了分数的意义。从分数意义角度看，这两个分数是不一样的，而画线段图实际上是分数意义的一种体现形式。这两个子决策除了说明教师的学科知识理解的欠缺，更重要的是揭示了教师作出决策的随意性，以及决策过程限制学生思维的支配性走向。
更进一步地，越来越感受到一种“束缚”，这种感觉是在别的小学数学教学场景中也时常感受到的。一个是教师自我的束缚，其次是对学生思维空间的束缚。教师的自我束缚引发了学生思维空间的束缚，其本质在于教师的教学思维方式的固化、单一（这个问题的理论探讨将在后面进行，此处仅就事论事）。就本节课画线段图而言，如果改变一种教学决策思维方式，教师可以使学生的思维活化，可以构建一个基于分数乘法、分数相对性、分数化简等知识点的“画线段图”的教学模式（见图3.6）。
图3.6 “画线段图”决策模式图
基于上述模式图，分别作如下解释：
画线段图与分数乘法的联系：先把线段平均分成7份（或5份），再把其中的一份平均分成5份（或7份），取出其中的2份，便得到2/35。这其中蕴涵了（1/7）×（2/5）或者（1/5）×（2/7）的分数乘分数的过程，也包含乘法原理的含义，又与前面引入和讲解分数乘分数的例题相呼应，使学生能够整体地认识和理解数学知识，建立合理的知识网络。
画线段图与分数相对性、分数意义的联系：先把线段平均分成4份，取其中的一份，用分数表示就是1/4；再把其中的一份平均分成25份。于是原先的线段平均分成了100份，原先的1/4所占的份额就变成25/100，即表示把线段平均分成100份，取出其中的25份。同样长短的线段被置于不同的“平均分”情境中，所表示的分数及其意义是不同的。
画线段图与分数运算法则的联系：承接上述过程，纯粹从分数计算的角度看，1/4等于25/100，即25/100可以约分为1/4，或者1/4的分子分母同时乘以25，即可得到25/100。
而上述的3个知识点分数乘法、分数意义和相对性以及分数运算法则之间又是相互联系的。
基于此设想的这个交互决策和教学模式，画线段图的重点已经不在“画”的外在行为上，而在于“画”的内容与思考上。从这个意义上，可以说此“画线段图”的应变交互决策，借助“画”却意不在“画”。
二、对学生学习投入的分析与讨论
教师教学决策的一个根本目的就是促进学生能够投入地学习数学，使他们在教学情境中生成数学学习的个人意义。学生学习投入是继课程设计、课程实施因关注学生学习质量而成为研究焦点之后的又一研究课题。最近的研究指出，学生学习投入本身就是教学的一个目的，学生学习投入是一条教学理论和实践的基本原理。
（一）学习投入的含义及分类
学生学习投入定义为：“学生对学业上要求的学习、理解、掌握知识、技能、工序之心理投资及努力”，它不仅仅指完成指定习作或对获取高分的承诺。学生对学习的投入和学习结果有着密切的关系，这种关系不仅是定量的，更是定性的，投入的质量起着重要作用。(17)教师促动和推进学生数学学习的投入可以消除学生学习的无助感，使他们在课堂学习活动中主动思考，积极参与讨论，集中精神，减少对教师的依赖。
学生学习投入包括情感投入、智性投入和行为投入。行为投入是基本的学生学习投入形态，指学生的学习行为表现是否积极；智性投入包括学习、思考和问题解决的策略，具体包括两个方面：一是积极的投入；另一种是表面的投入，前者表示学生在学习过程中使用了较好的认知和元认知的技能，后者指的是学生完成工作的学习策略是浅层次的；情感投入包括4方面的课堂体验：兴趣（与厌倦相对）、快乐（与忧伤相对）、忧虑和愤怒。(18)
本书把行为投入界定为学生在课堂学习过程中的专心和钻研两个维度。专心是一种心理状态，表情凝神专注，钻研除了心理专注外还有肢体行动的配合；智性投入则从学生数学思维层次的角度进行分析，因为智性投入与学生在学习活动中使用的思维层次相关联(19)；情感投入仍通过4个维度分析：兴趣（厌倦）、快乐（忧伤）、忧虑和愤怒。
（二）学生基本情况
研究者跟踪观察了3个孩子，由燕老师依照研究者的要求推荐的数学考试成绩分别处于好、中、差的阿力、阿东和阿玲。据燕老师介绍，阿力父母似乎都存在一些生活自理方面的困难，他相对比较懂事，学习比较主动，在班上数学成绩保持在前3名；阿东的父母离异，他跟随母亲生活，母亲不太关注他的学习；阿玲的家庭条件比较优越，母亲全职照顾家庭，她比同班同学小半岁，“发育迟一些”，每天上课的书包是由妈妈整理，“她经常不知道书包里都装了哪些教材”。笔者请了3个观察员分别观察其中一个孩子，笔者主要观察教师，辅助观察这3个孩子。在每节数学课后立即对这些孩子进行访谈。
1.阿东：思维敏捷、渴求关爱
阿东是一个活泼、开朗、健谈的男孩子。课堂内外表现都很积极，有极强的表现欲，对老师的每一个提问都举手，嘴里还高声向老师喊：“我，老师！……”某节课老师没有叫他的名字，课后他会跟笔者说：“下节课我要燕老师点我名字，你就好好记录吧。”他的思维比较敏捷，但是却不怎么爱动脑筋深入思考问题，所以每次回答问题都挺迅速的，但是有时候却会答错。问他回答错时是什么感觉，他还幽默地说“哦，感觉很尴尬，一时疏忽了。”所以每次考试总处在中间地带。在课堂上更多地感受到、看到的是他对数学学习的兴趣和学习数学的快乐。特别是被叫到回答问题的时候，回答问题得到表扬的时候就更快乐了。当然，他还有忧虑的情感因素，笔者发现他在五年级和六年级的课堂表现差别挺大。六年级的阿东并不总是举手回答老师的提问了，笔者非常好奇地就这个问题询问了他，他腼腆地笑笑说：“怕回答错了。”说话的时候身体还摇晃着退后半步显示出不好意思的表情。燕老师说，由于家庭因素，阿东较少得到长辈的关爱，他便经常在课间的时候有意无意与老师们搭讪，希望得到关心和爱抚，燕老师也因此给予他更多一些的帮助和关心。比如，她会在阿东学习进步时及时给予物质和精神奖励，为此还惹来其他同学的嫉妒。
2.阿玲：可爱、率真、任性
观察员对阿玲的第一印象是活泼、聪明、好动、不爱回答问题。上课的时候整个身体都在不停地动，经常拨弄头发和打哈欠。偶尔有节课表现非常积极，学习效果似乎也不错，问她为什么会有这样的表现，她的回答是“今天的课简单，所以喜欢上。”后来发现她说的“简单”的课几乎都是“空间与图形”的内容领域，这样的课教师通常会让学生操作学具或者画点什么。这似乎与她的爱好有关，她告诉作者她的爱好“是画画，我会画国画和水彩画。”燕老师说她喜欢上动手的课，比如几何课、统计课，同时她还把这类课界定为“不用太用大脑的”。她喜欢“不用太用大脑的”课，这样她“一点都不累”。阿玲是学校的播音员，语文成绩不错，语文课堂上表现积极，与数学课堂表现不同。燕老师说阿玲的爸爸以前总帮她预习要学的内容，导致她上课不认真听讲，以为自己都会了。后来由于她爸爸工作忙就没有时间辅导她了，从那以后她就不知道该怎样学习，上课也不知道该怎样听课。所以现在她上课经常走神发呆，老师的关注对她也没有什么改变，综合运用能力“特别差”。阿玲在数学课堂上，兴趣或厌倦和快乐是她情感投入的两个主要体验，她在数学课上是否有兴趣和快乐取决于她的个人爱好、家庭教育等。
3.阿力：心重、自尊心强
阿力与阿玲正相反，他不喜欢语文，非常喜欢数学。他认为语文“一直读书很累，很乏味，一看就懂的”。但是数学课上他并不总是很投入，也没有明显地表示出快乐或兴趣。在回答较难的问题方面总是最积极的，老师一有这类的问题他就会马上举手，一些对他来说较简单的内容产生不了兴趣。比如，老师让同学们展示各自的正方体展开图以及从不同角度观察展开图的时候他表现的并不是那么的积极，而是在那里做自己的事，并没有像别的同学那样迫不及待地想老师看自己的展开图。因为在他看来，“太简单了，没什么好看的。”阿力自尊心非常强，燕老师说有一个阶段他连续三次的数学考试成绩得99分，他就说再考不到100分就跳楼了。阿力也很聪明，思维敏捷，爱打篮球，上课小动作较多。但是他的思路都是跟着老师的，没有掉过队。他对空间图形的兴趣比代数大很多，用他自己的话说就是“空间图形比较难”。如果老师上课的内容太简单，他就会做很多小动作，相反比较难的东西他就会很感兴趣，积极发言。课外读物以科技类为主。如果请他给老师教学提出建议，他总说“中途不要中断讲课”。
（三）分析与讨论
通过上面的介绍，这三个孩子在数学课上的情感体验和投入似乎与教师的教学设计和教学决策没有直接的关联性，更多与他们各自的喜好和性格有关。当然并不排除有间接关系，因为燕老师从一年级就一直与这些孩子在一起，并将送他们到小学毕业，据说“是家长们要求的”。这种情况说明燕老师的课堂交互决策在使孩子们获得更多更好情感体验方面贡献不大。
行为投入方面，三个孩子都能做到专心。阿玲仅仅对空间与图形内容（概率与统计除外）才能做到专心，因为她喜欢动手操作，简单的东西不太用大脑；阿力在课堂的前半段很专心，当他会了的时候，或者他认为比较简单的内容，他就会做些自己的事情，比如看后面的教材内容，或者做后面的练习题；阿东应该是专心的时间和程度最长和最高的，因为他需要老师的鼓励和表扬以弥补家里得不到的关注。钻研来自于内在的驱动力，首先要对数学由内而生发出一种热爱，阿力可以归属于这样的情况，三个孩子中也只有他具有钻研的行为投入。因为他自尊心很强，不能接受自己不会的东西。在他学习数学遇到困难时通常会向同学求助，因为他认为老师讲过的东西再去问老师是一件不好的事情。
智性投入方面，阿东和阿力都是跟随老师思路而进行思考的。教师所展示和提出的问题梯度越大，阿东思考的深度和效度就越好；阿力通常会先预判问题的难易程度，他认为简单的就会很随意地回答，他认为有难度的，一定会很认真地思考；阿玲更多的是跟随老师的说法。在解决数学问题的过程中，阿力有一定的元认知监控能力。比如，在“100以内的质数表”课堂上，他总是试图寻找比一个一个试更简捷的方法，在寻找过程中又不断反问自己是否正确。阿东则稍弱，但是阿东具有一定的学习策略知识。阿玲是三个孩子中智性投入最差的一个。
关于三个孩子数学学习投入方面，燕老师也有自己的看法。她说阿东“知道一些（问题）的本质，潜力很大。”还介绍说阿东曾经带动了班上的一个学生认真学习，这个学生原先上课好“走神”，还说是从爷爷辈就遗传给他的。后来跟阿东在一起改了很多，这个孩子“在完成事情上现在稍微好些”。“阿东现在上课十分投入，有时候甚至觉得比阿力还投入，阿力觉得他懂得东西就不愿意听。”而她认为阿玲小，不成熟，“不懂数学没有对她造成什么损害”，所以对于数学成绩好坏有些无所谓。
实际上，学生智性投入的程度影响着其“个人意义”的获得。诸多小学数学教学实践警示，教师的教学要使学生产生“个人意义”。如果教学内容对某个学生来说是已经熟悉的内容，那么这些内容对特定的学生就不再具有“个人意义”。可以进一步说，教师在教学中并没使学生产生认知冲突的话，学生很难进行内部思维活动进而达到一定的智性投入，也就难以产生“个人意义”。顾名思义，“个人意义”是对学生个体产生的意义，尽管这样，课堂教学对学生的个人意义是需要特别关注的，因为“个人意义”是学习过程中对话和交流的基础。教师的思维方式会影响学习者个人意义的创建(20)，因为教师的思维方式决定着教师的教学决策的方式和结果，而这些又会直接或间接地影响学生学习投入的程度，特别是智性投入方面。学生学习的智性投入不够是很难获得真正意义上的“个人意义”，个人意义是内部思考的结果，不是外力强加的。
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