一、什么是数学模型与数学建模

一、什么是数学模型与数学建模

简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等^[1]。

举个简单的例子。例如，在某个医院有四个婴儿的身份标签被搞错了。假如两个婴儿的标签不错，而另外两个婴儿的标签弄错了，那么，发生这种错误的情况有多少种？

一种简单的计算方法是把所有可能的情况列成一个表格，其结果表明两个婴儿搞错的情况共有六种，即ABDC、ADCB、ACBD、DBCA、CBAD、BACD六种情况。这个问题的数学结构就是上面的表格。

现在假设标签搞乱了后，恰有三个是正确的，只有一个搞错了，问这个问题有多少种不同情况？

这个问题许多人乍一听都茫然不解，其原因是他们作了下列错误的假设：在四个婴儿中，三个婴儿与其标签相符的情况有许多种。但是你如果用“鸽巢原理”思索一下，情况就一清二楚了。假设有四个鸽巢，一一标出应放物品的名称。若三样物品都放在了正确的位置中，那么第四样物品只有一处可放，自然该处即为那件物品应放的位置，正确的可能只有一种，即所有四样物品都放置恰当这一情况，而不可能有其他更多的情况。一般的，如果n件物品，其中已经有n-1件放对了地方，那么剩下的一件也必定放置在正确的位置上了。

基金项目：四川文理学院教改项目《川东地区中学数学分层教学探讨》（项目编辑：2009-33-28）成果之一

苟格（1980—），男，四川巴中人，讲师，四川大学在读硕士，研究方向：应用数学

再如从一副扑克牌（52张）中最多要抽出几张就能确保有6张同花的牌？这是一个现实生活中的实际问题，根据分析，我们可以根据“鸽巢原理”得到如下公式：要在N个不同花色的牌中确保选取K张牌同花，最多要抽出M张，则M=N（K-1）+1=4×（6-1）+1=21即最多要抽21张牌就能确保有6张同花的牌。这个问题的数学结构就是上面的数学公式^[2]。

其他许多发人深省的难题都与上面的婴儿问题有关，同样也涉及初等概率论。例如假设婴儿的标签以随机的方式搞乱，那么四个标签全部正确的概率是多少？全部弄错的概率是多少？至少有一个正确的概率是多少？恰好有一个正确的概率是多少？至少有两个正确的概率是多少？恰好有两个正确概率是多少？最多有两个正确的概率又是多少？诸如此类。

观察、揭示和解决现实世界中存在各种各样、方方面面的问题，如火车晚点、气候变暖是否正常，排队买饭、电梯停留规律何在。从揭示地摊抽奖盈亏的秘密，到公关优化方法、随机对象处理、不对称性处理及对策等。把这些现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，再通过模型假设、模型分析、模型建立、模型求解、模型检验，并用该数学模型所提供的解答来揭示现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。