自动控制原理课程非线性控制部分的教学探讨

自动控制原理课程非线性控制部分的教学探讨

李世华　田玉平

（东南大学自动化学院，江苏南京，210096）

【摘要】　本文对自动控制原理课程教学进行了探讨。以非线性系统教学内容为主要的分析对象，讨论了该内容的教学特点和难点，提出了一些针对性的教学建议和方法。文章还给出了两个新颖的教学案例，来阐释如何根据上述方法改进教学。第一个是关于如何通过极限环分析建立描述函数法与相平面法之间联系；第二个是关于如何通过介绍继电器型PID参数整定方法，促进系统校正与描述函数分析方法之间联系。

【关键词】　自动控制原理　课程教学　非线性系统

【中图分类号】　TP13；G64214　　　　　　　　　【文献标识码】　A

【文章编号】　1008－0686（2007）02－95－04

1．引言

自动控制原理课程是自动化专业乃至电类相关专业一门重要的专业基础课。从课程分类特点来看，该课程属于原理性课程。其主要内容比较成熟，教学大纲涵盖了自动控制学科的一些最基本的理论、方法和知识点。因此，一般的自动控制原理教材的主要内容基本上是相同的，不同之处主要是内容组织安排上的不同和知识点侧重之处的不同。从内容特点来看，该课程的理论性较强，涉及内容相当广泛，涵盖了系统建模（时域机理建模和频域建模）、系统分析（稳定性、动态性能、静态性能）和系统设计（校正综合）三大内容。按照方法分类又涵盖了线性系统与非线性系统、连续系统与离散系统、输入输出系统与状态空间系统、时域分析设计与频域分析设计等内容。

2．非线性系统内容的教学特点

非线性系统分析是自动控制原理的主要内容之一。它的研究意义很明显：一方面，几乎所有的控制系统都是非线性系统，采用线性控制方法往往难以取得优异的性能，对于本质非线性系统，只有非线性系统方法才是最有效的分析和设计方法；另一方面，随着控制理论、计算机、微电子技术的发展，更多的非线性系统方法被应用到实际控制系统中，该方法越来越受到控制研究者和控制工程师的重视。现有的非线性系统理论很多，有许多涉及复杂的数学知识。考虑到本科阶段主要目的是让学生了解并掌握非线性控制分析中几种基本的代表性方法，能够对简单的非线性控制系统进行分析，为今后的进一步深造或研究打下基础。因此，这部分授课内容不宜过深，课时不宜过多。一般自动控制原理教材讲授的内容主要包括：常见的非线性特性，描述函数分析方法和相平面分析法，利用非线性改善系统性能等。

但在学习中，还是有相当多的学生反映这部分内容比较难学难懂，难以把握知识要点，学生作业正确率偏低。根据笔者的调查分析，客观上的原因主要有如下两个方面：

（1）非线性系统比较复杂，数学知识多

就频域分析而言，线性系统频域分析比较简单，因为线性系统的频率特性与正弦输入信号的幅值无关，只与正弦输入信号的频率有关。利用Nyquist判据直接对系统Nyquist频率图进行分析即可得到系统的稳定性、稳定裕度等特性。而非线性系统的频域分析方法－描述函数法则不同。由于非线性系统频率特性与正弦输入信号的幅值和频率均有关，分析时首先需要利用傅里叶级数得到非线性环节在正弦信号下响应的基波信号或描述函数（由于非线性环节各式各样，描述函数往往较复杂），然后利用扩展的Nyquist判据进行稳定性分析。与线性情况不同，非线性系统稳定性与初始条件及输入信号有关，除了稳定、不稳定两种情况，还会出现特殊情况：极限环。此时，还需要分析极限环是否稳定，即系统是否会出现自激振荡。

在时域分析方法方面，线性系统分析涉及的数学知识是线性常微分方程，比较容易掌握，稳定性分析可用Routh2Hurwitz判据等工具解决，稳态误差套用现成的公式即可以得到。对于非线性系统，情况则完全不同。首先，描述系统的方程变成了非线性微分方程。由于非线性环节往往是不连续的，例如具有继电特性环节的非线性系统，因此，这些方程往往不满足解析条件，是不连续的。在这种情况下，将非线性系统在平衡点附近泰勒线性化得到线性方程，然后利用线性系统分析方法进行处理的方法是行不通的。一般的解决方法是采用图形化的分析方法，绘制较为复杂的相平面轨迹图，利用相轨迹图形分析系统的稳定性、稳态性能和极限等。

（2）非线性方法缺乏紧密联系

非线性部分与线性部分缺乏紧密联系，学生难以将众多知识点融会贯通，把握控制理论的本质规律。以非线性系统特有的现象——极限环为例，对一个固定的非线性系统，其极限环是否存在，是否稳定，利用描述函数法或相平面方法进行分析均可以得到答案。问题是这些不同的非线性系统分析方法之间存在什么必然的联系？一般的自动控制原理教材均没有强调不同非线性分析方法之间的内在联系，学生很难系统地认识非线性系统分析方法。另外，虽然线性和非线性系统分析方法存在诸多本质上的不同，但是它们都是自动控制原理课程的重要组成部分。

3．教学探讨

对上述问题，笔者建议：根据当前控制理论与应用的发展趋势和特点，引入一些创新性的教学案例，加强知识点之间的有机联系，促进学生对知识点之间的融会贯通。教师可以根据课程的教学大纲，将方法按照时域、频域分类比较，在介绍非线性系统时可以先回顾对应的线性系统情况，然后再介绍非线性特点，重点突出两者不同之处。围绕重要的知识点精心组织和安排教学，在讲授描述函数和相平面方法之后，对这两者进行分析比较，通过巧妙引入一些新颖的案例，建立不同非线性方法之间的联系，建立非线性和线性知识点之间的联系。下面以两个具体的教学案例为例来介绍。

（1）通过极限环分析建立描述函数法与相平面法之间联系

极限环是非线性系统特有的现象，一般教材在相平面奇点、奇线之后介绍，通常将极限环分成四种情况：稳定的极限环、不稳定的极限环、半稳定的极限环和双极限环。为了形象化说明极限环现象，部分教材还给出了极限环的相轨迹曲线图形和以时间为横坐标的时域响应曲线图形。非线性系统的稳定极限环和半稳定极限环情况分别如图1（a），（b）和图2（a），（b）所示。

图1　稳定的极限环现象

图2　半稳定的极限环现象之一

为了进一步促进学生理解极限环现象，可以在讲授这部分内容时引入描述函数方法分析极限环（为此建议教学顺序是先讲描述函数再讲相平面），在原有的极限环相轨迹曲线和时域响应曲线基础上，增加不同极限环情况下对应的描述函数分析情况，即G（jω）与－1／N（A）曲线情况，稳定极限环和半稳定极限环情况分别如图1（c）和图2（c）所示。我们将极限环的四种情况（其中半稳定的极限环又分为两种情况）分别绘制，每张图又分为（a），（b），（c）三张小图，分别代表相轨迹，时域响应曲线和G（jω）与－1／N（A）曲线，将非线性系统极限环情况进行了完整的图形分类。五张图形以及相应的文字分析请参见文献［1］。

以图2为例，图2（c）中的G（jω）与－1／N（A）曲线相切情况的分析，很形象地描述了半稳定极限环情况：系统只可能在G（jω）与－1／N（A）曲线相切点，即输入信号幅值和频率正好是某个精确值时，系统才会出现振荡。这样，半稳定极限环的相平面曲线图2（a）和描述函数方法分析曲线图2（c）一一对应，非常直观。

在具体教学时，可以采用启发式、互动式教学方式，安排学生分组讨论，要求他们根据前面学过的描述函数方法，讨论如何绘制四种不同极限环情况下（已经先给出相轨迹和时域响应曲线）对应的G（jω）与－1／N（A）曲线。通过这样的教学案例，不仅丰富了极限环分析，而且很好地将描述函数分析法与相平面分析法紧密联系起来。既让学生回顾了描述函数方法，又促进了学生相平面分析方法的理解。

（2）引入继电器型PID参数整定方法

相当一部分的教材中在校正综合内容中较为详细地介绍了PID校正方法，介绍了典型的PID参数整定方法，包括齐格勒—尼柯尔斯方法。笔者在教学中引入了一种PID参数整定方法——理想继电器振荡法。这样做的优点之一是多介绍了一种工程上有效的PID参数整定方法。与齐格勒—尼柯尔斯参数方法相比，该方法更为简便，不需要靠调整比例控制增益使系统振荡，不会产生增幅振荡情况；二是理想继电器型方法产生振荡的原理需要用到描述函数方法，在讲解原理的同时将PID参数整定、相平面分析法紧密联系起来。

系统串入理想继电器环节会产生振荡的原理如图3所示。在对象的输入之前串入一个继电器非线性环节。当系统闭环后继电环节可以使得对象在有限个周期内产生稳定的振荡信号（而不是增幅振荡），采用描述函数方法可以方便地得到系统动态过程的临界振荡比例增益和振荡周期，再套用齐格勒—尼柯尔斯经验公式即可得到相应的PID参数，这种方法保证了较为稳定的闭环振荡响应。可以先在校正部分简单介绍理想继电参数整定法，将系统为什么会产生临界振荡的问题留到介绍完描述函数方法之后，然后将理想继电参数整定法作为描述函数方法的一个应用示例进行讲解，具体介绍如下。

图3　带继电环节的非线性系统

图4　被控对象的频率特性G（jω）与－／N（A）

【例1】　设采用继电振荡法整定PID控制器参数的闭环系统如图3所示，对象为一传递函数未知的线性系统，其频率传递函数G（jω）如图4所示。试利用描述函数分析证明：

（1）系统一定会产生自激振荡；（2）确定系统产生振荡的临界增益值和振荡周期。

解：查表可知，理想继电环节的描述函数为：

－1／N（A）轨迹变化趋势如图4所示，轨迹随A的增加从原点沿负实轴趋于－∞，A→0时，－1／N（A）→0；A→∞时，－1／N（A）→－∞。线性环节G（jω）与负实轴交点处的频率为ωr＝2π／Pr，由于－1／N（A）轨迹位于（－∞，0）区间，G（jω）与－1／N（A）相交，且交点处的－1／N（A）轨迹是沿A增加的方向由不稳定区进入稳定区，因此在该交点将产生稳定的极限环－自激振荡。

由等幅振荡条件有：1／｜N（A）｜＝｜G（jωr）｜，arg［G（jωr）］＝－π将式（1）代入，可得此时误差信号e（t）的振荡幅值满足A＝4b｜G（jωr）｜／π，此时的临界振荡增益值Kr满足Kr＝1／｜G（jωr）｜＝4b／（πA）。所以，根据测得的自激振荡信号的幅值A和频率ωr可以确定系统的临界增益Kr和振荡周期Pr。

该示例使学生加深了对PID参数整定方法的理解，了解如何利用非线性方法透彻地分析一种实用性很高的继电器型PID参数整定方法。学生会发现掌握了相平面分析法后，完全可以自己证明继电器振荡方法的振荡原理，觉得非线性部分内容不是那么枯燥，而且很实用，有助于提高他们对该课程的兴趣和学好课程的信心。

4．结束语

本文通过笔者编著的文献^［1］，对自动控制原理课程特点进行了分析，重点讨论了非线性系统内容的教学特点和难点，提出了一些针对性的教学方法，并给出了两个具体的教学示例。通过引入一些新颖的示例，能够很好地加强各个非线性知识点之间的联系，加强非线性知识点与其他知识点之间的联系，促进学生对知识点的融会贯通，能够很好地促进自动控制原理课程的教学，提高课程的教学质量。

参考文献：

［1］　田玉平，蒋珉，李世华．自动控制原理［M］．北京：科学出版社，2006

［2］　吴麒．自动控制原理（上、下册）［M］．北京：清华大学出版社，1992

［3］　胡寿松．自动控制原理［M］．北京：科学出版社，2001

［4］　曹柱中，徐薇莉．自动控制理论与设计［M］．上海：上海交通大学出版社，1991

［5］　罗抟翼，程桂芬，付家才．控制工程与信号处理［M］．北京：化学工业出版社，2004

［6］　Katsuhiko Ogata．卢伯英，于海勋等译［M］．现代控制工程（第三版）．北京：电子工业出版社，2000

（原载于《电气电子教学学报》，2007年第2期）