多因素方差分析的图怎么看

第二节　单因子方差分析

单因子方差分析所涉及的因子只有一个，而这个因子又具有多种水平。分析的目的在于判断多种水平之间的差异是否显著，以及哪种水平为最优水平。

一、方差分析的程序和方法

(1)设计试验方案、搜集试验数据。若将考察的因子用A表示，则A₁，A₂，A₃……A_γ，表示试验所选择的水平(不同的状态或方案)，x_ij表示试验获得的数据。如［例9.1］中有三种水平:A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，每种水平有5个试验数据(n₁=n₂=n₃=5，其可以不相等)。用表9.1来表示。

由此求得组平均值:总平均值22.33。

(2)建立原假设H₀。即假定各组(方案)均值相等，其差异主要是由于随机误差的原因；其对立的原假设是备择假设H₁，假定各因子水平的均值不相等。单因子方差分析就是要在这二者中作出判断。

(3)计算方差，编制方差分析表基本过程

①求各组的样本平均数:

②求第i组及所有各组内的误差平方和:

③求各组组间误差平方的总和:

④求各组样本平均数的平均数(总平均数):

⑤计算组内离差平方和:

⑦计算组间方差(S₁²)、组内方差(S₂²)和总方差(S²)。计算式如表9.3所示。

⑧编制单因子方差分析表，格式见表9.4。

表9.3　　　　　　　　　　单因子方差分析表

各组组内误差平方和分别为:10，40，18。

各组的组内误差平方和:Q₁=10+40+18=66。

全部数据总离差平方和:Q=Q₁+Q₂=68+23.3=91.3(见表9.4)。

表9.4　　　　　　　　　　方差分析表

(4)计算统计量F，作F检验。上例F=S₁²/S₂²=2.06，显著水平α= 0.05，在F分布表中查得F_0.05(2，12)=3.89＜F=86.3，F＜F_0.05，所以没有理由拒绝原假设H₀，即认为三种不同文化程度的妇女初婚年龄没有显著性的差别。

(5)计算效应值，选择最优水平。

本例大学及其以上文化程度者初婚年龄最高，初中及其以下文化程度的妇女初婚年龄最早，表明文化程度越高初婚年龄越高，学习推迟了初婚时间。

二、方差分析的基本思想

从本例看，方差分析是把全部数据的离差平方和分解为两大部分。一部分是可控因素的影响(因子水平不同)造成的离差平方和——组间离差，一部分是不可控因素(随机因素)影响造成的误差平方和——组内离差。据此计算的因子方差与误差方差之间的差异越大，随机因素影响(组内离差)则越小，因子各水平的(组间)差异就越明显，反之则相反。对于n_i(每组样本)不相等时，可以同样计算。

三、范例分析

［例9.3］某灯泡厂用四种不同配料材料制成的灯丝，生产四批灯泡。在每批灯泡中随机地抽取若干个灯泡测其使用寿命(单位:小时)，数据列于表9.5中。现在想知道，对于这四种灯丝生产的灯泡，其使用寿命有无显著差异。

表9.5　　　　　　　　　　四种不同配料方案制成灯丝的灯泡寿命(单位:小时)

解:本例是一个样本容量不等的单因子方差分析。

显著性水平α=0.05，查表F_0.05(4－1，26－3－1)=F_0.05(3，22)=3.05

各水平的误差平方和分别为:22771，84080，46688，24550。

组内误差平方和:Q₁=22771+84080+46688+24550=178089。

全部数据总离差平方和:Q=Q₁+Q₂=178089+39802=217891

表9.6　　　　　　　　　　方差分析表

续上表

由于F_0.05(3，22)=3.05＞F=13267/8095=1.639，说明没有足够的证据拒绝原假设H₀，即组间并不明显大于组内误差。或者说，有95%即(1－α)的把握认为，四种配料生产的灯泡质量没有显著差异。虽然其中第一、第三种配料生产的灯泡平均使用时间较长、质量较好，而第四种配料质量较差。